航天器隨機(jī)振動(dòng)設(shè)計(jì)載荷比較

張玉梅 韓增堯 劉紹奎

（北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094）

1 引言

在全壽命期間，航天器要經(jīng)歷不同類(lèi)型的動(dòng)力學(xué)環(huán)境，其中包括：噪聲、隨機(jī)振動(dòng)、沖擊、低頻瞬態(tài)振動(dòng)等［1］。將上述動(dòng)力學(xué)環(huán)境載荷等效為準(zhǔn)靜態(tài)的設(shè)計(jì)載荷，是目前航天器結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計(jì)采取的主要方法。對(duì)于航天器主結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，主要考慮恒加速度環(huán)境以及低頻（150Hz以下）振動(dòng)。制定低頻振動(dòng)設(shè)計(jì)載荷的主要方法有：質(zhì)量加速度曲線(xiàn)（MAC）、廣義模態(tài)沖擊譜、瞬態(tài)分析以及耦合載荷分析［2］。次級(jí)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)則需要綜合考慮和權(quán)衡正弦振動(dòng)環(huán)境、噪聲環(huán)境和隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境。對(duì)于同時(shí)發(fā)生的動(dòng)力學(xué)環(huán)境，則需要耦合其設(shè)計(jì)載荷。耦合方法有直接相加、概率聯(lián)合分布和蒙特卡羅等方法。

結(jié)構(gòu)在隨機(jī)振動(dòng)下的失效形式分為首次穿越失效和疲勞失效兩種［3］。將隨機(jī)振動(dòng)載荷等效為準(zhǔn)靜態(tài)載荷是基于首次穿越失效模式，不考慮疲勞破壞。在航天領(lǐng)域，從20世紀(jì)60年代起就有學(xué)者研究如何將隨機(jī)振動(dòng)載荷等效為準(zhǔn)靜態(tài)載荷［4］；在地震領(lǐng)域中，該問(wèn)題也受到很多學(xué)者關(guān)注。但是，將隨機(jī)振動(dòng)載荷等效為準(zhǔn)靜態(tài)載荷的等效原則一直是比較模糊的概念。迄今為止，還沒(méi)有一個(gè)能夠被廣泛接受的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范用于設(shè)計(jì)和驗(yàn)證振動(dòng)環(huán)境的等效過(guò)程。歸納現(xiàn)有的等效方法，可將其等效原則分為三種：加速度峰值響應(yīng)等效、位移峰值響應(yīng)等效以及應(yīng)力峰值響應(yīng)等效。本文重點(diǎn)比較了加速度峰值響應(yīng)等效和位移峰值響應(yīng)等效的設(shè)計(jì)載荷。

2 兩種等效原則簡(jiǎn)介

（1）基于加速度峰值響應(yīng)等效的設(shè)計(jì)載荷

加速度峰值響應(yīng)等效即設(shè)計(jì)載荷所產(chǎn)生的加速度響應(yīng)與隨機(jī)振動(dòng)中的加速度響應(yīng)峰值是相等的。外載荷激勵(lì)條件下，加速度峰值響應(yīng)等效的設(shè)計(jì)載荷計(jì)算公式為

式中 Fa為加速度峰值響應(yīng)等效的設(shè)計(jì)載荷；M為質(zhì)量矩陣；F（t）為隨機(jī)載荷；K為剛度矩陣；C為阻尼矩陣；x為位移向量為速度向量為加速度向量。

由公式（1）可以看出，計(jì)算設(shè)計(jì)載荷的關(guān)鍵步驟是計(jì)算加速度峰值響應(yīng)。常用的加速度峰值的估算方法有Miles公式法、試驗(yàn)規(guī)范法、全頻段功率譜密度法、模態(tài)質(zhì)量參與法、半功率點(diǎn)法、加權(quán)的半功率點(diǎn)法和有限頻段法。上述幾種方法都是假設(shè)加速度響應(yīng)呈零均值高斯分布，然后根據(jù)3σ準(zhǔn)則得到其加速度峰值。目前，我國(guó)航天領(lǐng)域常用的是全頻段的功率譜法，其公式為［5］

式中 S為加速度響應(yīng)譜密度。一般來(lái)講，有限元分析法適用于低頻段，高頻段采用統(tǒng)計(jì)能量法。但是在實(shí)際工程計(jì)算中，有限單元法應(yīng)用較為普遍。

2001年，Chung Y T 提出了有限頻段法，公式為［6］

式中 f0為積分頻率上限。

有限頻段法是根據(jù)波音公司和NASA 的試驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)高頻部分的應(yīng)變收斂很快，而加速度收斂很慢，因此，應(yīng)該以應(yīng)變的收斂區(qū)間確定加速度積分的范圍。根據(jù)波音公司的測(cè)量結(jié)果，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的應(yīng)變通常在300～400Hz收斂［7］，建議計(jì)算隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)峰值的積分區(qū)間應(yīng)取為20～300Hz。文獻(xiàn)［8］總結(jié)了國(guó)內(nèi)噪聲試驗(yàn)的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)次級(jí)結(jié)構(gòu)在600Hz附近應(yīng)變收斂。由此看出，不同的結(jié)構(gòu)形式在不同種類(lèi)的隨機(jī)激勵(lì)下，其積分上限存在一定的差異，目前仍沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)。

有限頻段法的重要意義在于對(duì)加速度峰值響應(yīng)等效原則提出了質(zhì)疑，即對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)時(shí)關(guān)注的參數(shù)應(yīng)該是應(yīng)變而非加速度。文獻(xiàn)［9］回顧了美國(guó)航天40年發(fā)展，并提出載荷設(shè)計(jì)關(guān)心的參數(shù)不應(yīng)該是加速度而應(yīng)該是應(yīng)變或者力。

（2）基于位移峰值響應(yīng)等效的設(shè)計(jì)載荷

隨機(jī)振動(dòng)的設(shè)計(jì)載荷問(wèn)題在土木工程行業(yè)也很受重視。文獻(xiàn)［10］提出以位移峰值響應(yīng)等效來(lái)制定等效靜態(tài)載荷，并給出了等效靜態(tài)載荷的具體定義：當(dāng)結(jié)構(gòu)承受動(dòng)態(tài)載荷時(shí)，在某一時(shí)刻，結(jié)構(gòu)都發(fā)生變形從而形成一個(gè)位移場(chǎng)。如果一個(gè)靜態(tài)載荷，能夠產(chǎn)生相同的位移場(chǎng)，則稱(chēng)該靜態(tài)載荷為這一動(dòng)態(tài)載荷在某一時(shí)刻的等效靜態(tài)載荷。

外載荷激勵(lì)下，設(shè)計(jì)載荷計(jì)算公式為

式中 Fx為基于位移響應(yīng)等效的設(shè)計(jì)載荷，其余參數(shù)與式（1）相同。由于剛度矩陣是系統(tǒng)固有參數(shù)，因此該方法中最重要的是計(jì)算位移峰值。傳統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析方法均可用于獲得結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)，航天工程中最為常用的手段是利用一些商業(yè)軟件，如NASTRAN 等，進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)有限元分析。通過(guò)數(shù)值分析可以得到位移均方根值，假設(shè)位移響應(yīng)亦呈零均值高斯分布，那么根據(jù)3σ準(zhǔn)則可以得到其峰值位移：

式中 S1為位移響應(yīng)譜密度。

3 基于解析法的設(shè)計(jì)載荷對(duì)比

3.1 基于單自由度振動(dòng)模型的設(shè)計(jì)載荷比較

圖1 基礎(chǔ)激勵(lì)下的單自由度振動(dòng)模型Fig.1 Single－degree－of－freedom vibration model with moving base

基礎(chǔ)激勵(lì)下的單自由度振動(dòng)模型如圖1所示。

假設(shè)激勵(lì)為白噪聲，則根據(jù)線(xiàn)性隨機(jī)振動(dòng)理論，可以得到相對(duì)位移的方差響應(yīng)為［11］

式中 ωn＝2πfn，fn為固有頻率；2S¨U為白噪聲常數(shù)；ξ為系統(tǒng)阻尼比；z（t）＝ x（t）－u（t），z（t）為相對(duì)位移，x（t）為絕對(duì)位移，u（t）為基礎(chǔ)位移

亦可以得到絕對(duì)加速度的均方響應(yīng)為

由位移峰值等效得到的設(shè)計(jì)載荷為

式中 k為系統(tǒng)剛度。

由加速度峰值響應(yīng)等效得到的設(shè)計(jì)載荷為

式中 m為系統(tǒng)質(zhì)量。

兩種設(shè)計(jì)載荷相比可得

通常ξ數(shù)值比較小，由此看出加速度峰值響應(yīng)等效的設(shè)計(jì)載荷與位移峰值響應(yīng)等效的設(shè)計(jì)載荷基本相等。

3.2 基于二自由度振動(dòng)模型的設(shè)計(jì)載荷比較

圖2是二自由度振動(dòng)模型示意，其系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為［12］

圖2 二自由度振動(dòng)模型Fig.2 Two－degree－of－freedom vibration model

假設(shè)：

絕對(duì)加速度的均方響應(yīng)為

式中 i＝1，2；S0為白噪聲常數(shù)。

相對(duì)位移響應(yīng)的表達(dá)式為

式中 i＝1，2；質(zhì)量m2相對(duì)位移響應(yīng)Δ2表達(dá)式為

兩種設(shè)計(jì)載荷比為

式中 a1為質(zhì)量m1的絕對(duì)加速度；a2為質(zhì)量m2的絕對(duì)加速度；z2為質(zhì)量m2相對(duì)于基礎(chǔ)的位移。

為比較兩種設(shè)計(jì)載荷的大小，假設(shè)阻尼比均為0.03，質(zhì)量（m1）－彈簧（k1）系統(tǒng)的頻率為50Hz，質(zhì)量（m2）－彈簧（k2）系統(tǒng)的頻率為100Hz，則設(shè)計(jì)載荷比與質(zhì)量比的關(guān)系如圖3所示。假設(shè)阻尼比均為0.03，質(zhì)量m2＝0.01m1，則載荷比值與頻率比f(wàn)′的關(guān)系如圖4所示。

由分析可知，設(shè)計(jì)載荷比隨著頻率比以及質(zhì)量比的增大呈單調(diào)遞減，并最終趨近于1。因此可見(jiàn)，在假設(shè)阻尼比均為0.03的情況下，二自由度振動(dòng)模型中，基于加速度的設(shè)計(jì)載荷要不小于基于位移的設(shè)計(jì)載荷。

圖3 載荷比與質(zhì)量比的關(guān)系Fig.3 Relationship between the ratio of two loads and the ratio of two masses

圖4 載荷比與頻率比的關(guān)系Fig.4 Relationship between the ratio of two loads and the ratio of two frequencies

3.3 工程算例仿真分析

為了進(jìn)一步比較兩種設(shè)計(jì)載荷的關(guān)系，以某航天器產(chǎn)品單元為例進(jìn)行有限元仿真分析。模型如圖5所示，為長(zhǎng)方盒結(jié)構(gòu)，中空，內(nèi)有兩層隔板，隔板上的安裝器件用質(zhì)量點(diǎn)代替。主體結(jié)構(gòu)為殼單元，底座為實(shí)體單元，材料為鋁合金。約束方式為4個(gè)安裝底座全約束，載荷為基礎(chǔ)激勵(lì)。

分析步驟如下：

1）通過(guò)隨機(jī)振動(dòng)分析，得出隔板上一質(zhì)量點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)9048）的加速度響應(yīng)與位移響應(yīng)；

2）分別計(jì)算出加速度峰值響應(yīng)與相對(duì)位移峰值響應(yīng)；

3）將加速峰值響應(yīng)算出設(shè)計(jì)載荷作為靜載荷施加在質(zhì)量點(diǎn)上，進(jìn)行靜力分析，計(jì)算出9048節(jié)點(diǎn)位移；

4）與隨機(jī)振動(dòng)分析的相對(duì)位移峰值進(jìn)行比較。

載荷條件［13］如表1所示，有限元模型如圖5，加速度響應(yīng)如圖6，位移響應(yīng)如圖7所示。

圖5 某航天產(chǎn)品有限元分析模型Fig.5 FEM model of a spacecraft apparatus

表1 隨機(jī)振動(dòng)載荷條件Tab.1 Random vibration test level

圖6 加速度響應(yīng)功率譜密度Fig.6 Acceleration response PSD

圖7 位移響應(yīng)功率譜密度Fig.7 Displacement response PSD

Z 向加速度3σ峰值響應(yīng)為76.02gn，9 048質(zhì)量點(diǎn)為電子元器件，質(zhì)量為0.007kg，因此設(shè)計(jì)載荷為5.215N。將設(shè)計(jì)載荷施加在質(zhì)量點(diǎn)上，進(jìn)行靜力計(jì)算，該點(diǎn)的位移為7.66×10－5m。而隨機(jī)振動(dòng)時(shí)該點(diǎn)的絕對(duì)位移均方響應(yīng)為3.8×10－5m，底座的位移響應(yīng)為1.963×10－5m，因此相對(duì)位移峰值響應(yīng)為5.511×10－5m。根據(jù)加速度3σ響應(yīng)等效得到的設(shè)計(jì)載荷產(chǎn)生的位移比隨機(jī)振動(dòng)的峰值相對(duì)位移大了約40%。

4 結(jié)束語(yǔ)

綜合分析可以得出，若試驗(yàn)件為單自由度，在基礎(chǔ)激勵(lì)下，兩種等效原則的設(shè)計(jì)載荷近似相等；若試驗(yàn)件為二自由度模型，加速度峰值等效得到的設(shè)計(jì)載荷要大于位移峰值等效得到的設(shè)計(jì)載荷。等效原則的選用取決于破壞機(jī)理。在交變載荷下，材料仍然服從彈性力學(xué)原理。因此，本文推薦使用基于位移響應(yīng)等效的設(shè)計(jì)載荷，該方法將有效減少航天器結(jié)構(gòu)質(zhì)量。

進(jìn)一步研究工作包括：

1）開(kāi)展試驗(yàn)驗(yàn)證。等效原則的改變意味著設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的變換，本文只進(jìn)行了分析計(jì)算與仿真，還需要進(jìn)行充分的試驗(yàn)驗(yàn)證。

2）應(yīng)力響應(yīng)等效與加速度響應(yīng)等效的比較研究。

3）應(yīng)力峰值的計(jì)算方法研究。

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