四邊簡(jiǎn)支層合板在剪切作用下的穩(wěn)定分析

呂津燦 單魯陽(yáng)（浙江工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，浙江 杭州310000）

由于復(fù)合材料的廣泛應(yīng)用，對(duì)復(fù)合材料的研究也越來越多。蔣詠秋、劉印章、張?jiān)獩_、胥曉鵬、秦飛[2-4]等人采用離散型最小二乘配點(diǎn)法，把二次特征值轉(zhuǎn)換為一次特征值，分析復(fù)合材料層合板的屈曲荷載及自振頻率,再采用雙五次B-樣條函數(shù)來代替一般多項(xiàng)式得到了簡(jiǎn)便而高精度的計(jì)算屈曲荷載的方法。王列東[5]研究了復(fù)合材料層合板的初始缺陷和拉伸.彎曲禍合對(duì)于其振動(dòng)、屈曲和非線性動(dòng)力穩(wěn)定性的影響，推導(dǎo)出非線性Mathieu 控制方程，并應(yīng)用Galerkin 變分法求出控制方程。

但是國(guó)內(nèi)對(duì)于FRP 板剪切屈曲荷載的研究還不是很多，利用能量法-伽遼金法，小撓度變性理論以及線性代數(shù)中的理論為背景，分析四邊簡(jiǎn)支層合板剪切荷載下的彈性屈曲（圖1）。把理論值與有限元得到的值進(jìn)行對(duì)比，得到了在半波數(shù)≤3 時(shí)精度較高的四邊簡(jiǎn)支層合板的剪切屈曲計(jì)算公式。對(duì)層合板在實(shí)際工程中的應(yīng)用有一定的參考價(jià)值。

1 理論背景

1.1 層合板在小撓度理論下的平衡方程

其中： Dij是層合板的抗彎剛度；ω 為撓度；Nx,Ny是面內(nèi)拉力；Nxy是縱向剪力。

1.2 伽遼金法

已知板的平衡偏微分方程為：

需假定符合板的幾何與自然邊界條件的撓曲面函數(shù)：

建立伽遼金方程組

上式經(jīng)積分后可得到A1，A2，…，An的線性方程組，為得到它們的非零解，其系數(shù)行列式應(yīng)為零，即為屈曲方程，由此得到屈曲荷載。

1.3 四邊簡(jiǎn)支層合板的剪切屈曲

對(duì)于特殊正交各項(xiàng)異性層合板

用能量法求解剪切屈曲荷載時(shí)，板的撓曲面函數(shù)可用二重三角級(jí)數(shù)表示。今假定板的撓曲面函數(shù)為：

代入公式（2）可得

對(duì)于長(zhǎng)寬比小于2 的矩形板，在一級(jí)近似中下標(biāo)m,n,s,t,采用下列組合：

其中：

對(duì)長(zhǎng)寬比在2-4 的矩形板，作二級(jí)近似解，取下列下標(biāo)組合：

解得：

也與此書里面的二級(jí)近似解吻合，從而間接驗(yàn)證了公式的準(zhǔn)確性。

針對(duì)長(zhǎng)寬比不同的層合矩形板，在剪切作用下的屈曲理論解可歸納為：

表1 板幾何尺寸

2 有限元計(jì)算

在使用伽遼金法推導(dǎo)層合板的屈曲荷載時(shí)只考慮了材料彈性階段，所以在進(jìn)行有限元分析的時(shí)候只要用特征值屈曲分析。

2.1 材料參數(shù)

本文選用了一組厚度均為0.64cm的矩形板，具體尺寸與材料見表1 和表2。

2.2 有限元模型建立

采用有限元ANSYS 軟件進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于FRP 薄板的屈曲分析采用了SHELL93 單元。從計(jì)算結(jié)果中看出，在剪切屈曲過程中，每塊板在斜對(duì)角方向形成半波，其中板1-3 形成了2 個(gè)半波（圖2），板4 形成了3 個(gè)半波（圖3）。

圖2 2 個(gè)半波數(shù)板的變形云圖

圖3 3 個(gè)半波板的變形云圖

2.3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論解對(duì)比分析

將材料1-4 分別代入理論公式（5）和（6）并與數(shù)值分析結(jié)果進(jìn)行比較（表3，結(jié)果吻合較好，并由結(jié)果看出，理論解更適合長(zhǎng)寬相近的矩形板，在長(zhǎng)寬比為1 時(shí)，誤差在1%內(nèi)，隨著長(zhǎng)寬比增大，理論解誤差增大。當(dāng)a/b 不大于2 時(shí)用公式（5）計(jì)算，a/b 大于2 時(shí)用公式（6）計(jì)算，但是當(dāng)長(zhǎng)寬比大于4 時(shí)，已經(jīng)不適合此理論模型。

表2 材料參數(shù)

表3 材料的理論值與有限元值的誤差分析

3 結(jié)語(yǔ)

應(yīng)用伽遼金法對(duì)四邊簡(jiǎn)支層合板在純剪作用下的屈曲進(jìn)行了理論和數(shù)值計(jì)算，初步得到以下結(jié)論:

1）隨著長(zhǎng)寬比a/b 的增大，四邊簡(jiǎn)支層合板在純剪作用下的屈曲極限值逐漸變??；

2）研究所提出的理論解在一定范圍內(nèi)（長(zhǎng)寬比小于4）與數(shù)值分析結(jié)果吻合較好，對(duì)于長(zhǎng)寬比大于4 的矩形板還應(yīng)提出更為合適的新的屈曲方程。

3）研究所得理論公式對(duì)實(shí)際工程有一定的參考價(jià)值，并在一定程度上豐富了復(fù)合材料層合板屈曲公式的理論研究。

[1]蔣詠秋、張?jiān)獩_、胥曉鵬 用加權(quán)殘數(shù)法分析纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板的屈曲及自振率[J] 計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)及其應(yīng)用 1986,3(4)

[2]蔣詠秋、劉印章 纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板的屈曲荷載[J] 西安工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào) 1986,(3):1-14

[3]蔣詠秋、秦飛用 樣條元分析纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合中厚板的彎曲[J] 西安工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào) 1987,(3)

[4]王列東，劉正寧，周承調(diào)，初始缺陷和拉-彎耦合對(duì)于疊層板的振動(dòng)、屈曲和非線性動(dòng)力穩(wěn)定性的影響[J]應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，1999,20(5):477-485.

[5]王克林、劉俊卿、趙冬 平板的彎曲、振動(dòng)和屈曲[M].北京:冶金工業(yè)出版社.2006:77-78

[6]陳驥 鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論與設(shè)計(jì)[M]. 北京:科學(xué)出版社.2011:400-419