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    全柔性隔振系統(tǒng)功率流的有限元計(jì)算及其傳遞特性研究

    2019-12-27 06:19:24湯又衡牛軍川
    噪聲與振動控制 2019年6期
    關(guān)鍵詞:柔性峰值機(jī)器

    湯又衡,牛軍川,2

    (1.山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,濟(jì)南250061;2.山東大學(xué) 高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,濟(jì)南250061)

    隨著科技的進(jìn)步,工程中出現(xiàn)了大量速度快、精度高、體型大的機(jī)械設(shè)備。振動問題愈發(fā)不可忽視。有害的振動會極大縮短機(jī)械設(shè)備的使用壽命,并降低使用精度,其帶來的噪聲,還對相關(guān)人員的健康帶來巨大危害。如何控制振動是伴隨著機(jī)械設(shè)備不斷發(fā)展必須解決的一個(gè)問題。

    在隔振問題的研究中,必須有更高精度的隔振模型,才能滿足現(xiàn)階段機(jī)械設(shè)備本身的要求。傳統(tǒng)的隔振模型將基礎(chǔ)和機(jī)器設(shè)備視為絕對剛體,并用只能軸向拉壓的無質(zhì)量彈簧和阻尼模擬隔振器,因此無法充分考慮基礎(chǔ)和機(jī)器柔性、隔振器質(zhì)量、隔振器中彎曲波等對振動傳遞的影響。為考慮基礎(chǔ)彈性,宋孔杰[1]用彈性支承的剛性桿對基礎(chǔ)進(jìn)行模擬,研究了彈性基礎(chǔ)對隔振效果的影響。隨著結(jié)構(gòu)的大型化和輕薄化,機(jī)器和基礎(chǔ)的柔性問題,成為影響隔振效果的最主要因素之一,問題的研究得以深入。Snowdon[2]基于連續(xù)體模型首先研究了一維對稱隔振系統(tǒng)基礎(chǔ)的柔性。熊冶平[3]運(yùn)用子系統(tǒng)導(dǎo)納綜合法,對非對稱柔性隔振系統(tǒng)中柔性基礎(chǔ)的影響進(jìn)行了探討。牛軍川[4]建立柔性基礎(chǔ)上主動隔振系統(tǒng)模型,并采用子結(jié)構(gòu)導(dǎo)納綜合法建立了多激勵多支承的全柔性隔振系統(tǒng)的一般動力學(xué)模型。

    柔性基礎(chǔ)和多維多支撐的引入給傳統(tǒng)的隔振性能評價(jià)指標(biāo)帶來挑戰(zhàn)。許多學(xué)者注意到功率流指標(biāo)的優(yōu)勢,并將其運(yùn)用于柔性基礎(chǔ)隔振模型研究[5-7]。傳統(tǒng)模型的基礎(chǔ)一般采用梁板等規(guī)則結(jié)構(gòu),這是因?yàn)橛?jì)算功率流時(shí)需要獲得基礎(chǔ)的導(dǎo)納表達(dá)式,對于一些梁、板等簡單柔性結(jié)構(gòu),通過理論計(jì)算可以獲得其導(dǎo)納,但對于非規(guī)則的結(jié)構(gòu),則只能使用實(shí)驗(yàn)的方法。但實(shí)際工程中,無論是基礎(chǔ)還是機(jī)器,形狀皆不規(guī)則,傳統(tǒng)隔振模型在這方面缺陷明顯。

    數(shù)值離散方法可以很好地彌補(bǔ)導(dǎo)納法本身的缺陷。有限元法是應(yīng)用最廣的數(shù)值離散方法。由于單元能按不同的聯(lián)結(jié)方式進(jìn)行組合,且單元本身可以有不同形狀,因此可以模型化幾何形狀復(fù)雜的求解區(qū)域。國內(nèi)有些學(xué)者也運(yùn)用有限元和功率流方法,對一些簡單模型進(jìn)行了分析[8-10]。但是這些工作,仍舊沒有涉及到不規(guī)則形狀設(shè)備和基礎(chǔ)、機(jī)器柔性、隔振器質(zhì)量、彎曲波傳遞等諸多問題。

    文中充分考慮機(jī)器、基礎(chǔ)的不規(guī)則性和柔性,采用有限元方法將其離散,同時(shí)對隔振器采用空間梁單元建模,建立不規(guī)則形狀的全柔性隔振系統(tǒng)的功率流計(jì)算模型,基于該模型可進(jìn)一步研究各環(huán)節(jié)柔性、彎曲波等對傳遞功率流的影響規(guī)律,另外,采用此方法,還可以計(jì)算每一個(gè)節(jié)點(diǎn)處的能量密度大小,預(yù)示功率流的傳遞情況。

    1 隔振系統(tǒng)動力學(xué)模型

    如圖1所示為全柔性隔振系統(tǒng)模型,機(jī)器和基礎(chǔ)都采用彈性板來模擬,隔振器則用空間彈性梁進(jìn)行建模??臻g梁每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6 個(gè)自由度,可以承受沿x、y、z3 個(gè)方向的力和繞x、y、z軸的力矩,從而克服了傳統(tǒng)隔振器模型只能傳播縱向波的缺陷,充分考慮彎曲波等的影響。

    1.1 功率流計(jì)算

    當(dāng)上板受到一個(gè)點(diǎn)激勵時(shí),傳入機(jī)器的功率流為Pin。為對其隔振性能進(jìn)行評價(jià),需進(jìn)一步計(jì)算經(jīng)過隔振器傳遞至基礎(chǔ)的功率流Pout。傳遞至基礎(chǔ)的功率可以用傳遞至梁末端的功率流來表示。

    圖1 全柔性隔振系統(tǒng)模型

    文中梁和板為點(diǎn)接觸,故而梁截面上的凈功率流可以通過將梁末端節(jié)點(diǎn)上所有自由度的結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)相加獲得[11],即

    式中:k表示末端節(jié)點(diǎn)的一個(gè)自由度;Ik為k自由度的結(jié)構(gòu)聲強(qiáng),用式(2)計(jì)算

    式中:j 為虛數(shù)單位;ω為角頻率;Re(·)表示取虛部;(*)表示復(fù)共軛;Fk為截面處k自由度方向的廣義力;Uk為截面處k方向的廣義位移。則梁末端截面處通過節(jié)點(diǎn)p的功率流可以表示為

    式中:H表示共軛轉(zhuǎn)置;Fp={N,Qy,Qz,T,MyMz}T為空間梁廣義力矢量;Up={u,v,w,θ,θy,θz}T為空間梁廣義位移矢量。

    由式(3)可知,為計(jì)算梁末端截面處的功率流,必須得到該處的力和位移響應(yīng)。為充分考慮隔振器彎曲波、不規(guī)則機(jī)器和基礎(chǔ)的柔性影響,分別采用2節(jié)點(diǎn)12 自由度空間梁單元及4 節(jié)點(diǎn)12 自由度四邊形單元對隔振器、機(jī)器和基礎(chǔ)進(jìn)行劃分。根據(jù)虛功原理,建立整個(gè)隔振系統(tǒng)的有限元離散數(shù)值模型

    式中:K為系統(tǒng)總剛度矩陣;M為系統(tǒng)總質(zhì)量矩陣;C=αM+βK為系統(tǒng)總阻尼矩陣;α、β為比例系數(shù);U為各個(gè)節(jié)點(diǎn)自由度組成的廣義位移矩陣;F為廣義力向量。則式(4)可以化為

    式中:a0= ( -ω2+jωα);b0= ( 1+jωβ)。

    為了求解式(5),需要進(jìn)一步計(jì)算總剛度陣、總質(zhì)量陣以及廣義力向量。通過總體矩陣的組裝,可以得到這些要素。

    1.2 總體矩陣的組裝

    整體組裝是根據(jù)有限元耦合的思想,在梁板耦合節(jié)點(diǎn)處,將對應(yīng)自由度的貢獻(xiàn)相加。以如圖2所示的單梁雙板為例,其中左側(cè)板為激勵輸入板,或振源,右側(cè)板為功率流接收板。由于空間梁模型一個(gè)節(jié)點(diǎn)處有6個(gè)自由度,薄板模型一個(gè)節(jié)點(diǎn)處有3個(gè)自由度,故將空間梁耦合節(jié)點(diǎn)處的6 個(gè)自由度刪減為對應(yīng)板位移的3 個(gè)自由度,方便后面的總剛度矩陣的組裝。

    圖2 梁板耦合模型

    圖3 空間梁單元

    為求耦合節(jié)點(diǎn)處輸入的功率流,需要獲得節(jié)點(diǎn)處的廣義位移和廣義力向量。設(shè)系統(tǒng)總自由度數(shù)為N,梁和功率流接收板耦合節(jié)點(diǎn)為p,梁與輸入板耦合節(jié)點(diǎn)為q,則總剛度陣為

    式中:krp、ksq分別為接收板和振動輸入板上兩個(gè)耦合節(jié)點(diǎn)處的剛度矩陣;kbp、kbq分別為梁在兩個(gè)耦合節(jié)點(diǎn)處對應(yīng)板3個(gè)自由度的剛度矩陣;kbl表示除耦合節(jié)點(diǎn)外剩余梁單元組裝的剛度陣;剩余節(jié)點(diǎn)數(shù)為l;空余部分為零元素。

    總質(zhì)量陣M的組裝方法與式(6)中的系統(tǒng)總剛度陣K的組裝方法相同,將總剛度陣和總質(zhì)量陣代入式(5)中即可求得廣義位移向量U。將式(5)寫為

    式中:up和uq分別為梁與功率流接收板、輸入板的耦合節(jié)點(diǎn)處3個(gè)自由度的位移向量;ul為梁除耦合節(jié)點(diǎn)外其余各單元節(jié)點(diǎn)的位移向量;提取對應(yīng)接收板耦合節(jié)點(diǎn)p的局部廣義剛度陣和廣義位移up,計(jì)算節(jié)點(diǎn)p處的廣義力向量

    或者

    這里

    將fp及up代入式(2)和式(3)即可求得傳遞至基礎(chǔ)的功率流及頻率平均功率流。

    2 仿真與分析

    傳統(tǒng)柔性隔振模型只考慮基礎(chǔ)柔性,將機(jī)器視為一個(gè)剛性的質(zhì)量塊。隔振器一般采用彈簧阻尼或者柱狀橡膠隔振器模擬,忽略它們的質(zhì)量,如圖4所示。

    圖4 傳統(tǒng)隔振器模型

    這時(shí)隔振器只存在2 個(gè)軸向自由度,其單元剛度陣為

    式中:ks為彈簧縱向剛度。傳統(tǒng)模型中將橡膠隔振器視為桿,其縱向剛度矩陣仍為式(12),式中ks=ErAr lr,Er為桿的楊氏模量,Ar為桿截面面積,lr為桿長。與12×12 的空間梁的剛度矩陣相比,傳統(tǒng)隔振器模型缺少了2 個(gè)方向的橫向彎曲剛度和繞3 個(gè)軸的扭轉(zhuǎn)剛度,因此無法計(jì)及由剪力和扭矩引入的功率流。

    傳統(tǒng)隔振系統(tǒng)中忽略隔振器的質(zhì)量,在低頻隔振和隔振器質(zhì)量較小時(shí)誤差不大,在當(dāng)今精細(xì)化程度很高的情下,小質(zhì)量會引起隔振器自振,造成高頻域振動傳遞的短路,帶來極大的誤差,必須加以考慮。

    相比彈簧及桿模型,空間梁模型充分考慮質(zhì)量的影響,兼顧6個(gè)自由度的所有信息,不僅可以傳遞縱向波,還可以傳遞彎曲波,因此比傳統(tǒng)隔振器更精細(xì)化、更具一般性。當(dāng)只考慮縱向2個(gè)自由度時(shí),空間梁模型可以近似地退化為桿模型。進(jìn)一步忽略質(zhì)量矩陣,則可進(jìn)一步近似退化為彈簧模型。

    為對全柔性隔振系統(tǒng)的動力學(xué)特性進(jìn)行評估,這里用板模擬機(jī)器和基礎(chǔ),用柔性空間梁模擬隔振器,系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

    2.1 不同激勵下的傳遞功率流

    新的柔性模型,克服了只能分析縱向激勵的缺陷,可以模擬橫向力激勵和力矩激勵等,為進(jìn)一步分析各種激勵情況下的功率流傳遞帶來了可能和方便。在xoy平面上,當(dāng)隔振器布置對稱時(shí),不同激勵形式下輸入到機(jī)器和基礎(chǔ)的功率流如圖5所示。

    表1 模型參數(shù)

    圖5 不同激勵形式對功率流影響

    功率流曲線在低頻域7.02 Hz處有一個(gè)峰值,即為機(jī)器的縱向安裝頻率,平面上的俯仰振動不會被激起。沿x和y向作用轉(zhuǎn)矩時(shí),低頻域的0.71 Hz 處和4.97 Hz處功率流曲線出現(xiàn)兩個(gè)峰值,分別對應(yīng)機(jī)器的滾轉(zhuǎn)和俯仰安裝頻率。3種激勵情況下,低頻域峰值較少,而在高頻域密集出現(xiàn),這是因?yàn)闄C(jī)器和基礎(chǔ)的柔性參與了進(jìn)來。由于系統(tǒng)柔性的影響,機(jī)器的曲線均在高頻域出現(xiàn)了抬升,而傳遞至基礎(chǔ)的功率流曲線則不斷振蕩下降。

    2.2 機(jī)器柔性對傳遞功率流的影響

    傳統(tǒng)隔振模型一般不考慮機(jī)器柔性,全柔性隔振系統(tǒng)則可以進(jìn)一步分析機(jī)器柔性對振動傳遞的影響。圖6和圖7所示為機(jī)器柔性對傳遞功率流的影響。

    圖6 機(jī)器不同剛度下輸入機(jī)器的功率流

    由圖6可見,隨著機(jī)器剛度的不斷減小,即機(jī)器柔性的不斷增加,輸入機(jī)器的功率流曲線在高頻域不斷抬升,峰值的數(shù)量不斷增加。與此同時(shí),高頻域的峰值不斷向低頻域移動,最終與安裝頻率發(fā)生耦合。由圖7可見,當(dāng)機(jī)器的剛度增加時(shí),傳遞到基礎(chǔ)的功率流減小,中低頻處的峰值也較少。因此機(jī)器柔性對功率流存在較大影響,進(jìn)行高頻隔振評價(jià)時(shí)不應(yīng)忽略。

    圖7 機(jī)器不同剛度下輸入基礎(chǔ)的功率流

    2.3 隔振器特性對傳遞功率流的影響

    選用對稱安裝的全柔性隔振系統(tǒng),考查隔振器參數(shù)對隔振效果的影響。為比較傳統(tǒng)隔振系統(tǒng)與全柔性隔振系統(tǒng),文中著重對彎曲波及質(zhì)量的影響進(jìn)行分析,暫不考慮阻尼的影響。圖8為3種隔振器縱向剛度下輸入機(jī)器和傳遞至基礎(chǔ)的功率流曲線,EiA=1.96×104為橡膠隔振器的縱向剛度。當(dāng)隔振器縱向剛度減小或柔性增大時(shí),傳遞至基礎(chǔ)的功率流曲線峰值增多且向低頻域移動,而高頻處的峰值多為基礎(chǔ)和機(jī)器的固有彈性模態(tài),因此變化不大。

    圖8 不同隔振器縱向剛度下功率流傳遞

    圖9為激勵非對稱時(shí)不同隔振器彎曲剛度下功率流傳遞情況。從圖中可以看出,當(dāng)存在非對稱激勵時(shí),隔振器會傳遞彎曲波,彎曲剛度對傳遞至機(jī)器和基礎(chǔ)的功率流有較大影響,隨著彎曲剛度的增大,第1 階滾轉(zhuǎn)安裝頻率對應(yīng)峰值向高頻域移動,逐漸接近俯仰和縱向安裝頻率。彎曲剛度對于更高頻域的曲線影響較小。當(dāng)機(jī)器承受橫向載荷時(shí),隔振器主要承受彎矩,則這時(shí)隔振器傳遞的彎曲波則不可以忽略。

    圖9 不同隔振器彎曲剛度下功率流傳遞

    加大機(jī)器和基礎(chǔ)的剛度,將二者高頻域的峰值向高頻處推移,在此基礎(chǔ)上可以清楚地分析隔振器質(zhì)量對功率流傳遞影響。如圖10所示。

    圖10 隔振器質(zhì)量對功率流傳遞影響

    當(dāng)隔振器密度變化時(shí),保持隔振器尺寸或體積不變,相應(yīng)質(zhì)量呈正相關(guān)變化。當(dāng)密度為0時(shí),近似可以看成是無質(zhì)量的隔振器模型,此時(shí)在10 Hz 至1 000 Hz 內(nèi)功率流曲線平緩下降,沒有峰值出現(xiàn)。當(dāng)隔振器密度或質(zhì)量不斷變大時(shí),在10 Hz 至1 000 Hz區(qū)域內(nèi)峰值逐漸增多,且不斷向低頻域移動。這是因?yàn)楦粽衿鞯馁|(zhì)量增加后,隔振器的自共振被激起,使功率流傳遞短路,原本平緩的功率流曲線陡然抬升。

    3 結(jié)語

    建立了一個(gè)全新的全柔性隔振模型,用薄板代替?zhèn)鹘y(tǒng)的剛性機(jī)器和剛性基礎(chǔ),用空間梁代替?zhèn)鹘y(tǒng)的彈簧和隔振器。采用有限元方法對各子系統(tǒng)進(jìn)行離散,對耦合關(guān)系進(jìn)行處理和組裝,獲得耦合點(diǎn)處力和位移的信息,計(jì)算輸入機(jī)器的功率流及傳遞到基礎(chǔ)的功率流??梢缘玫揭韵聨讉€(gè)結(jié)論。

    (1)采用有限元方法計(jì)算隔振系統(tǒng)功率流時(shí),無需求取結(jié)構(gòu)導(dǎo)納,從而可以對不規(guī)則基礎(chǔ)進(jìn)行求解。

    (2)隔振器質(zhì)量對傳遞到基礎(chǔ)的功率流有著較為顯著的影響,會使高頻域峰值增多。質(zhì)量增大,峰值向低頻域移動,傳遞至基礎(chǔ)的功率流增大。隔振器彎曲剛度則主要影響滾轉(zhuǎn)安裝頻率。

    (3)機(jī)器柔性使得功率流在高頻域明顯抬升,峰值更密集,柔性的增大會逐漸影響低頻域內(nèi)原有的峰值。

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