一類隨機投入產(chǎn)出模型的穩(wěn)定解研究

李 亮

南京審計學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，江蘇南京 210029

一類隨機投入產(chǎn)出模型的穩(wěn)定解研究

李 亮

南京審計學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，江蘇南京 210029

對時滯為1且?guī)M的動態(tài)投入產(chǎn)出模型，研究投入產(chǎn)出消耗系數(shù)矩陣、投資矩陣均為隨機矩陣時，穩(wěn)定增長解的存在性問題。利用現(xiàn)代概率分析及馬氏過程等工具，證明不存在隨機動態(tài)投入產(chǎn)出模型的穩(wěn)定增長解。即投入產(chǎn)出模型反映的經(jīng)濟系統(tǒng)必須經(jīng)常進行調(diào)整，其崩潰時間為無窮大的概率為零。

消耗系數(shù)矩陣；投資系數(shù)矩陣；消費；穩(wěn)定增長解；崩潰時間

引言

Sargan J D從數(shù)學上指出[1]Leontief模型的內(nèi)在不穩(wěn)定性，由此引發(fā)數(shù)學上的爭論[2]，并使數(shù)學在該領域的應用研究取得重大結果[3-5]。近年來，許多學者[4-5]使用規(guī)劃等方法避開此模型的不穩(wěn)定性，找出了此模型的穩(wěn)定增長解。現(xiàn)實中，由于度量誤差、經(jīng)濟技術變化等眾多原因，使投入產(chǎn)出消耗系數(shù)矩陣及投資系數(shù)矩陣在實現(xiàn)時是隨機波動的[7-8]。因此，有必要研究隨機動態(tài)投入產(chǎn)出模型。

考慮到現(xiàn)實中社會對各部門產(chǎn)品的最終消費也是影響經(jīng)濟發(fā)展的一個重要因素，本文研究時滯為1且?guī)M的前向延遲型隨機動態(tài)投入產(chǎn)出模型穩(wěn)定增長解的存在性問題。利用現(xiàn)代概率分析及馬氏過程等工具，得 到了穩(wěn)定增長解不存在的結論。即經(jīng)濟崩潰時間為無窮大的概率為零。從而，從數(shù)學上證明了投入產(chǎn)出模型反映的經(jīng)濟系統(tǒng)需要不斷調(diào)整的必要性。

1 預備知識

設A(t,ω)m×m、B(t,ω)m×m分別為第t年m個部門投入產(chǎn)出消耗系數(shù)矩陣，第t年m個部門投資系數(shù)矩陣，且取可列值；S(t)表示第t年社會對各部門產(chǎn)品的最終消費列向量；X(t,ω)為第t年的產(chǎn)出列向量。我們考慮如下模型：

稱（1.1）為帶消費時滯是1的前向延遲型隨機動態(tài)投入產(chǎn)出模型。

以λ1,λ2,...,λm表D的特征值，x1,x2,...xm表D對應于λ1,λ2,...,λm的右特征向量，且λ1=ρ(D)，x1是D的Perron向量。設

2 隨機動態(tài)投入產(chǎn)出模型確定的產(chǎn)出序列是一個馬氏過程

現(xiàn)在考慮帶消費的隨機動態(tài)投入產(chǎn)出模型，由（1.1）可得

3 經(jīng)濟崩潰時間T(ω)為∞的概率為零

現(xiàn)在討論崩潰時間T(ω)的分布情況。記

4 結語

由于經(jīng)濟發(fā)展變化的隨機性，人們自然考慮利用隨機分析來刻畫經(jīng)濟規(guī)律。本文利用隨機分析的方法，研究了帶消費且投入產(chǎn)出消耗系數(shù)矩陣、投資系數(shù)矩陣均為隨機矩陣的動態(tài)投入產(chǎn)出模型，得到了經(jīng)濟系統(tǒng)必須經(jīng)常進行調(diào)整，其崩潰時間為無窮大的概率為零的結論。從而，從數(shù)學上說明了計劃經(jīng)濟的缺陷。換句話說，經(jīng)濟技術水平，投資水平和消費水平的波動對經(jīng)濟的影響是不容忽視的，從而一成不變的計劃經(jīng)濟體系是行不通的。

[1]Sargan J D. The instability of the Leontief dynamic model. Econometrica，1958，26：381-392[2]Leontief W. Lags and the stability of dynamic systems. Econometrica，1961，39：668

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[4]郝金良.非線性動態(tài)優(yōu)化投入占用產(chǎn)出模型及其仿真求解.系統(tǒng)工程理論與實踐，1996，(12)：44-48

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[6]Geng Xianmin. A dynamic input-output model solution with consumption.Systmes Sciencs and Systems Engineering，1999，8(2)：140-150

[7]陳木法.經(jīng)濟最優(yōu)化的隨機模型(Ⅰ)(Ⅱ).應用概率統(tǒng)計，1992，8(3)：289-294.1992，8(4)：374-377

[8]Chen Mufa，Li Yong. Stochastic model of economic optimization－collapse Theorem.北京師范大學學報(自然科學版)，1994，30(2)：185-194

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O211.6；F224.9

10.3969/j.issn.1001-8972.2013.06.017

李亮（1980－）．女，碩士，講師，主要從事金融數(shù)學與計量經(jīng)濟學研究。