考慮絕熱邊界條件的地埋管換熱器傳熱模型研究

方燕燕

1南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院

2常州市規(guī)劃設(shè)計(jì)院

0 引言

地源熱泵系統(tǒng)地下埋管換熱器中應(yīng)用最為普遍的是豎直U型地埋管換熱器，其傳熱過(guò)程是復(fù)雜的三維非穩(wěn)態(tài)傳熱過(guò)程，故在工程應(yīng)用進(jìn)行傳熱分析時(shí)需進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化計(jì)算。通常簡(jiǎn)化方法是：以鉆孔壁為界，將鉆孔周圍的土壤區(qū)域劃分為鉆孔外的土壤部分和鉆孔內(nèi)的地埋管兩個(gè)部分，并采用不同的方法進(jìn)行分析[1]。對(duì)于鉆孔內(nèi)的地埋管部分，一般近似用穩(wěn)態(tài)的傳熱模型進(jìn)行分析，對(duì)于鉆孔外部分土壤的傳熱，由于傳熱過(guò)程的復(fù)雜性，必須采用非穩(wěn)態(tài)的傳熱模型。鉆孔外部的傳熱為導(dǎo)熱過(guò)程，通?？醋魇蔷€熱源或柱熱源在半無(wú)限大介質(zhì)或無(wú)限大介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)過(guò)程。常用的簡(jiǎn)化傳熱模型有：無(wú)限長(zhǎng)線熱源模型，無(wú)限長(zhǎng)柱熱源模型、有限長(zhǎng)線熱源模型及一些數(shù)值模型[2～5]。

從理論研究的角度看，柱熱源傳熱模型比線熱源模型更符合實(shí)際情況，具有一定的研究?jī)r(jià)值，但也存在一定的局限性，如下：

1）假設(shè)鉆孔壁處熱流密度恒定，實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，熱流密度隨建筑物負(fù)荷的逐時(shí)變化而變化。

2）假設(shè)周圍土壤無(wú)限大，即遠(yuǎn)邊界處的土壤溫度等于土壤初始溫度，即鉆孔內(nèi)的熱量可以向無(wú)窮遠(yuǎn)處傳遞，且遠(yuǎn)邊界處的土壤溫度未受到波動(dòng)，實(shí)際上由于豎直地埋管換熱器鉆孔間距一般為3～6m，系統(tǒng)長(zhǎng)周期運(yùn)行時(shí)，相鄰鉆孔的傳熱已經(jīng)造成附近土壤溫度的變化。在系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間較短或負(fù)荷較小的情況下，兩鉆孔中心處的土壤溫度未發(fā)生變化時(shí)，使用傳統(tǒng)傳熱模型進(jìn)行計(jì)算是合理的。但是由于土壤源熱泵的壽命周期較長(zhǎng)，該處的溫度受到波動(dòng)，故土壤無(wú)限大的假設(shè)并不合理。

因此，在實(shí)際傳熱模型建立時(shí)，需考慮井間的相互熱影響及盤管負(fù)荷的變化特性對(duì)地下埋管換熱器傳熱過(guò)程的影響。故本文傳熱模型在兩鉆孔中心處建立絕熱邊界條件，鉆孔壁處建立熱流密度隨時(shí)間變化的邊界條件，對(duì)豎直地下埋管換熱器進(jìn)行更準(zhǔn)確的傳熱分析。

1 變熱流無(wú)限長(zhǎng)柱熱源模型

有限長(zhǎng)線熱源在計(jì)算單個(gè)鉆孔壁溫度時(shí)，不僅考慮本鉆孔外土壤的傳熱對(duì)鉆孔壁溫度的影響，尚需考慮周圍鉆孔傳熱對(duì)本傳熱的影響。這樣要進(jìn)行疊加計(jì)算，計(jì)算過(guò)程十分繁瑣。故本文在無(wú)限長(zhǎng)柱熱源的基礎(chǔ)上加了遠(yuǎn)端半徑處的邊界條件。

假定單個(gè)鉆孔僅在以鉆孔中心為圓心，遠(yuǎn)端半徑為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)進(jìn)行傳熱。避免多個(gè)鉆孔間熱干擾的復(fù)雜計(jì)算。另外傳統(tǒng)傳熱模型大多針對(duì)恒定熱流或者恒定埋管進(jìn)口溫度的情況來(lái)分析，沒(méi)有考慮負(fù)荷的逐時(shí)變化對(duì)地埋管換熱器傳熱過(guò)程的影響，在實(shí)際的工程應(yīng)用中，地埋管鉆孔壁的邊界條件隨著建筑物負(fù)荷的變化而變化。

為了考慮長(zhǎng)周期變負(fù)荷對(duì)地下埋管換熱系統(tǒng)的影響，在圖1所示傳熱模型的基礎(chǔ)上，基于下述簡(jiǎn)化處理建立地源熱泵系統(tǒng)地下埋管換熱器的變熱流柱熱源模型。

圖1 本文傳熱模型示意圖

本文的傳熱模型假設(shè)：

①土壤原始溫度分布均勻，忽略深度方向的變化；

②土壤的熱物性為常數(shù)，不隨溫度發(fā)生變化；

③忽略地下水的流動(dòng)，認(rèn)為埋管與土壤之間的傳熱為純導(dǎo)熱過(guò)程；

④埋管與土壤接觸很好，忽略接觸熱阻；

⑤假設(shè)土壤各向同性；

⑥忽略軸向傳熱，只考慮一維傳熱。

本文模型的一維熱傳導(dǎo)微分方程為：

式中：Ts為土壤的初始溫度，℃；rb為鉆孔半徑，m；r∞為遠(yuǎn)端半徑，m；a為土壤的導(dǎo)溫系數(shù)，m2/s；ρ為土壤的密度，kg/m3；c 為土壤的比熱，kJ/(kg·℃)；λs為土壤的導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·℃)；q(t)為單位埋管長(zhǎng)度負(fù)荷，W/m。

夏季埋管放熱量為：

冬季埋管吸熱量為：

式中：Qc(t)、Qh(t)為建筑物的逐時(shí)冷、熱負(fù)荷，W；L 為埋管長(zhǎng)度，m；COPc(t)、COPh(t)為熱泵機(jī)組的制冷、制熱性能系數(shù)，在考慮逐時(shí)負(fù)荷變化時(shí)，該值隨著埋管出水溫度的變化而變化。

1.1 初始條件確定

本文模型的初始條件就是土壤在t=0時(shí)刻的初始溫度，地源熱泵系統(tǒng)地埋管一般在60～120m，屬于溫度常年不變的土層。本文是一維傳熱模型，忽略了土壤溫度在深度方向上的變化，故取初始溫度恒定為Ts。

1.2 邊界條件

把整個(gè)傳熱區(qū)域看成是無(wú)限長(zhǎng)的圓筒壁，有兩個(gè)邊界條件，r=rb，r=r∞。對(duì)這兩個(gè)邊界條件分別進(jìn)行討論有：

1）r=rb邊界

因?yàn)楸P管的熱容量較小，所以近似認(rèn)為埋管傳向土壤的熱量等于管內(nèi)流體傳向埋管的熱量，所以單位管長(zhǎng)鉆孔壁處的熱流密度為：

式中：q1(t)為單位埋管長(zhǎng)度的熱流量，W/m2。

2）r=r∞邊界

熱泵機(jī)組運(yùn)行時(shí)，埋管會(huì)向周圍土壤放熱或者吸熱，周圍土壤溫度不斷升高或降低，熱量或冷量會(huì)向遠(yuǎn)處傳遞。由于鉆孔間距在工程應(yīng)用中有相應(yīng)的范圍，故遠(yuǎn)端的土壤溫度場(chǎng)由于受到周圍鉆孔的影響發(fā)生了變化，現(xiàn)定義鉆孔間距的一半處到鉆孔中心的水平距離為遠(yuǎn)端半徑，在遠(yuǎn)端半徑處建立絕熱邊界條件，即熱量或冷量只能在以鉆孔中心為中心，鉆孔間距為直徑的圓形土壤區(qū)域內(nèi)傳遞。

2 變熱流無(wú)限長(zhǎng)柱熱源傳熱模型的格林函數(shù)法求解

2.1 格林函數(shù)法

格林函數(shù)法是求解數(shù)學(xué)物理偏微分方程的常用方法之一，這種方法可以求解含熱源的，且具有非齊次邊界條件與某一初始條件的非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程[6]。該方法廣泛應(yīng)用于各類非齊次的問(wèn)題，處理問(wèn)題的方式大都相同，而且，對(duì)于一維、二維或三維問(wèn)題的解在形式上都可表示的非常緊湊[7，8]。應(yīng)用格林函數(shù)法求解的時(shí)候困難之一就是格林函數(shù)的構(gòu)造，格林函數(shù)的選取與坐標(biāo)系的形式、邊界條件及問(wèn)題的定義域有關(guān)[9]。

一維非齊次熱傳導(dǎo)問(wèn)題：

由文獻(xiàn)[6]可得以上一維非齊次熱傳導(dǎo)問(wèn)題的解為：

式中：x′p為斯特姆-劉維爾權(quán)函數(shù)，p 分別為 0（平板）、1（圓柱體）、2（球）。

上式各項(xiàng)的物理意義如下：第一項(xiàng)為初始溫度分布F(x)的影響；第二項(xiàng)為分布熱源g(x,t)的影響；第三項(xiàng)為邊界條件的非齊次性fi(x,t)的影響。

2.2 變熱流無(wú)限長(zhǎng)柱熱源傳熱模型的格林函數(shù)法求解

為求得本文傳熱模型的格林函數(shù)，先討論這一問(wèn)題的齊次形式。

2.2.1 分離變量法求解齊次部分

分離變量法現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于求解各種熱傳導(dǎo)問(wèn)題，對(duì)齊次問(wèn)題處理起來(lái)尤其方便。對(duì)多維的、不含熱源的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題，如果有一個(gè)邊界條件是非齊次的也可以用分離變量法，對(duì)于多個(gè)非齊次邊界條件的問(wèn)題，可以分成幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，每個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題只包含一個(gè)非齊次邊界條件[6]。

對(duì)于本文的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，齊次部分的解為：

式中：R0(βm，r)為特征函數(shù)；N(βm)為范數(shù)；βm為特征值。

由文獻(xiàn)[6]可得本文傳熱模型的特征函數(shù)、范數(shù)和特征值，如下：

βm是下面特征方程的解：

2.2.2 格林函數(shù)法求解非齊次部分

將式（18）變換可得本文模型齊次部分的解為：

另外齊次部分的解還可以根據(jù)式(13)用格林函數(shù)表示為：

將式（22）和式（23）相比較可得到：

在式（24）中，用(t-τ)代替 t可得所需的格林函數(shù)為：

本文取土壤溫度恒定為Ts，故不考慮初始溫度分布的影響，只考慮第二類邊界條件的影響。由此可以得到鉆孔周圍一維土壤溫度分布為：

式中：J0為第一類零階貝塞爾函數(shù)；Y0為第二類零階貝塞爾函數(shù)；J0′為第一類貝塞爾函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，J0′(βm，rb)；為第二類貝塞爾函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，定義如上。

以上即為考慮絕熱邊界條件的變熱流無(wú)限長(zhǎng)柱熱源傳熱模型的解析解表達(dá)式。表達(dá)式第一項(xiàng)為初始溫度的影響，第二項(xiàng)為隨時(shí)間變化的熱流密度對(duì)土壤溫度的影響。

考慮絕熱邊界變熱流無(wú)限長(zhǎng)傳熱模型的優(yōu)勢(shì)：

①該解析解考慮了建筑負(fù)荷變化對(duì)地埋管換熱器的影響，使傳熱模型更加精確；

②在本文傳熱模型下，由于增加了絕熱邊界條件，可忽略相鄰鉆孔之間的熱干擾，避免了多個(gè)鉆孔間由于熱干擾問(wèn)題而進(jìn)行復(fù)雜的疊加運(yùn)算，為長(zhǎng)周期運(yùn)行的地埋管換熱器的設(shè)計(jì)計(jì)算提供了理論基礎(chǔ)。

3 總結(jié)

經(jīng)濟(jì)性是地埋管熱泵技術(shù)能否可以廣泛應(yīng)用的關(guān)鍵，該技術(shù)換熱效率高，運(yùn)行費(fèi)用低，但是鉆孔費(fèi)用過(guò)高，發(fā)展受到制約，故需要一種精確可靠的設(shè)計(jì)方法來(lái)降低其鉆孔費(fèi)用。因此，完善地埋管換熱器的傳熱模型，使其可以更精確地描述地埋管換熱器的傳熱過(guò)程，由此衍生出更豐富的設(shè)計(jì)方法，以確定地埋管換熱器的最佳尺寸是發(fā)展和推廣地源熱泵技術(shù)的關(guān)鍵。本文在豎直埋管換熱器傳熱模型的基礎(chǔ)上提出了一種考慮絕熱邊界的變熱流無(wú)限長(zhǎng)柱熱源傳熱模型，并用格林函數(shù)法求解本文非齊次非穩(wěn)態(tài)的傳熱問(wèn)題的傳熱模型，得到地下埋管換熱器溫度場(chǎng)分布的解析解表達(dá)式，為地埋管換熱器的設(shè)計(jì)計(jì)算提供了一種更精確的傳熱模型。本文傳熱模型雖然精確，但計(jì)算起來(lái)比較復(fù)雜，需要進(jìn)一步簡(jiǎn)化。

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