基于分形理論的人工骨料比表面積計(jì)算方法
——以白鶴灘水電站為例

尹 岳 降，朱 子 晗，盧 文 波，于 永 軍，李 瑞 澤，陳 明

(1.中國水利水電第八工程局有限公司，湖南 長沙 410004； 2.武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072； 3.武漢大學(xué) 水工巖石力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072)

近年來，隨著大型工業(yè)與民用建筑建設(shè)的興起，人工骨料被廣泛應(yīng)用于水利、港口、交通等巖土工程的建設(shè)中。黨的十九大召開以來，各生產(chǎn)企業(yè)對節(jié)能減排以及綠色環(huán)保的要求日益重視，許多高耗能行業(yè)都逐步開始著手于降低能耗，以達(dá)到綠色環(huán)保的要求。在人工骨料的開采中，隨著爆破破碎、運(yùn)輸、機(jī)械破碎等能量的輸入，巖石的比表面積不斷增大，人工骨料開采加工的能耗和骨料的比表面積呈正相關(guān)。因此，準(zhǔn)確地計(jì)算骨料的比表面積，研究整個流程骨料比表面積的變化規(guī)律，是控制整個生產(chǎn)過程能耗的關(guān)鍵。目前，骨料的比表面積常用軟件處理計(jì)算，但該方法計(jì)算過程復(fù)雜，且存在一定誤差。近些年，分形理論已經(jīng)逐步應(yīng)用到巖體爆破工程研究領(lǐng)域。利用分形理論可以對礦巖爆破塊度進(jìn)行預(yù)測，從而對爆破參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，解決了一些過去難以處理的實(shí)際問題和理論研究，利用分形理論計(jì)算骨料的比表面積具有重要的研究意義。

20世紀(jì)80年代以來，謝和平將分形幾何理論運(yùn)用于巖土力學(xué)問題中[1]，其研究結(jié)果顯示：由形狀和大小各異的巖土體顆粒和孔隙組成的材料均存在自相似性，具有分形特性；劉松玉等人研究了我國黃土、膨脹土、紅土3類特殊土的粒度成分特征，發(fā)現(xiàn)3類特殊土的粒度分布具有分形結(jié)構(gòu)，并在此基礎(chǔ)上指出分形維數(shù)是描述黏性土粒度特征的一個合適指標(biāo)[2]；徐永福等人建立了土體結(jié)構(gòu)的分型模型，并據(jù)此解釋了土體的力學(xué)行為[3]；石修松等人的研究表明[4]，破碎分形維數(shù)可以反映破碎后石料粒徑大小，分布的均勻程度。對于粗粒土，現(xiàn)有研究成果表明[5-6]，在不同粒度范圍內(nèi)，粗粒土均表現(xiàn)出一定的分形特征。分形維數(shù)作為分形理論的研究手段，已經(jīng)成為研究巖土材料的一個重要指標(biāo)。

近年來，李功伯等人運(yùn)用顆粒形狀分形維數(shù)的概念描述了顆粒形狀的不規(guī)則程度[7]，發(fā)現(xiàn)粉碎顆粒分形維數(shù)隨粒度減小而增大，根據(jù)分形理論可以得到和Hukki粉碎能耗表達(dá)式相同的結(jié)果；李國強(qiáng)，鄧學(xué)均等人也對級配骨料的分形效應(yīng)進(jìn)行了研究[8]。但目前分形理論仍很少運(yùn)用于人工骨料的比表面積計(jì)算。

本文基于分形理論，推導(dǎo)了利用分形幾何學(xué)公式計(jì)算人工骨料比表面積的方法，結(jié)合白鶴灘水電站旱谷地料場不同級配成品料的級配曲線，計(jì)算了不同級配成品料的比表面積，并與軟件分析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。

1 基于分形理論的級配骨料比表面積計(jì)算

人工級配骨料存在著隨機(jī)性和不規(guī)則性，屬于分形理論可研究的對象。骨料經(jīng)過爆破開采、機(jī)械破碎、碾磨等工序后，碎石的表面就是一種分形[9]。其次，當(dāng)不同尺寸的碎石按照一定的級配混合后，表征碎石特征尺寸的粒徑形成一種分布，這種粒徑的分布函數(shù)也是一種數(shù)學(xué)分形。因此，級配骨料的質(zhì)量分布函數(shù)、體積、空隙率、比表面積也是一種數(shù)學(xué)分形。通過這些分形現(xiàn)象和分形效應(yīng)之間的相互關(guān)系，可以得出級配骨料比表面積的計(jì)算方法?；诜中卫碚?，常用且較為準(zhǔn)確的骨料比表面積計(jì)算方法如下。

1.1 骨料粒徑分布的分形

骨料粒徑滿足：

F(x)=N(x)/N0

(1)

式中，F(xiàn)(x)為粒徑分布函數(shù)；N(x)為不大于粒徑x的骨料顆粒總量；N0為全部骨料顆?？倲?shù)，粒徑x用篩孔直徑來表示。

將式(1)微分處理可以得到：

dN(x)=N0dF(x)

(2)

級配骨料粒徑分布的分形表達(dá)式為

(3)

式中，xmax為骨料最大粒徑；D為骨料的分形維數(shù)值。

對式(3)微分處理可以得到：

(4)

式(4)即為級配骨料粒徑分布函數(shù)的分形表征。

1.2 骨料的分形級配

定義骨料的質(zhì)量分布函數(shù)[8]：

P(x)=M(x)/M0

(5)

式中，P(x)是級配骨料篩分通過率；M(x)為粒徑不大于x的骨料總質(zhì)量；M0為全部骨料的總質(zhì)量；同樣的，粒徑x用篩孔直徑來表示。

對式(5)微分處理可以得到：

dM(x)=M0dP(x)

(6)

骨料質(zhì)量和體積、密度之間滿足如下關(guān)系[10]：

dM(x)=ρV(x)dN(x)

(7)

式中，ρ為級配骨料的密度；V(x),dN(x)分別為區(qū)間(x，x+dx)中的骨料體積和骨料顆?？倲?shù)。

其中，

V(x)=kvx3

(8)

式中，kv是骨料體積因子。

聯(lián)立公式(2)～(8)，積分可得：

(9)

式中，c為積分常數(shù)。

根據(jù)篩分通過率的定義，可知道函數(shù)的邊界條件為[11]

(10)

式中，xmax為骨料最大粒徑；xmin為骨料最小粒徑。

聯(lián)立公式(9)～(10)可得：

(11)

式(11)就是骨料的分形級配表達(dá)式。對于不同的分形維數(shù)D值，即可得到不同的級配曲線[8]。同理，根據(jù)骨料不同的級配曲線，可以反推求骨料的分形維數(shù)。

由式(11)可知，當(dāng)最小粒徑xmin=0時，lgP(x)=(3-D)lg(x/xmax)成立。為了方便計(jì)算，在計(jì)算時近似取最小粒徑xmin=0，當(dāng)骨料級配知道的情況下，可以利用最小二乘法對每段篩孔孔徑的粒徑分布率做直線回歸擬合，直線的斜率為k，則可以得到每段篩孔孔徑的粒徑分布分形維數(shù)D=3-K[12]。

則整體骨料的粒徑分布分形維數(shù)為[13]

這里篩孔的孔徑不包括最大粒徑xmax和最小粒徑xmin。

1.3 骨料體積分形和孔隙率計(jì)算

當(dāng)級配骨料混合后，由于它們的不規(guī)則性導(dǎo)致它們不能填滿所占據(jù)的三維空間，在它們之間存在空隙，按照分形的定義，這種空間填充能力的不足就是體積分形現(xiàn)象。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]，可得級配骨料分形體積為

(12)

式中，V為級配骨料的分形體積；V0為級配骨料堆積的整形體積；Dv為體積分形維數(shù)。

將式(12)微分可得位于區(qū)間(x，x+dx)的分形體積為

dV=(x/xmax)3-DvdV0

(13)

而根據(jù)體積的定義有：

dV0=M0/ρdP

(14)

聯(lián)立公式(11)，(13)，(14)并在區(qū)間(x，x+dx)上積分得：

(15)

式中，V為級配骨料的分形體積；Dv為體積分形維數(shù)；ρ為骨料的自然堆積密度；M0為全部骨料的總質(zhì)量；D為骨料的分形維數(shù)值。

根據(jù)空隙率的定義，可得：

(16)

除了通過體積分形維數(shù)的計(jì)算，空隙率還可以通過實(shí)測得出：

(17)

式中，ρ為骨料的自然堆積密度，g/cm3；ρa(bǔ)為骨料的表觀密度，g/cm3。

1.4 骨料的比表面積計(jì)算

單個骨料的表面也存在分形現(xiàn)象，所以，對于單個骨料可得其分形表面積為

A=A0(δmin/x)2-Ds

(18)

式中，A為骨料的分形表面積；δmin為測量骨料分形面積時所用的最小尺碼長度，在計(jì)算時可以取δmin=xmin，即用骨料的最小粒徑作為測量的最小尺碼長度；A0為整形骨料的表面積，A0=ksx2；ks為整形骨料的表面形狀因子；Ds為骨料的表面分形維數(shù)。

同理，位于區(qū)間(x，x+dx)的骨料顆粒數(shù)目為

(19)

由此，可以得到位于(x，x+dx)區(qū)間的骨料總表面積為

ds=AdN(x)

(20)

聯(lián)立式(11)，(18)～(20)，并在區(qū)間(x，x+dx)上積分可以得到骨料的總表面積S，再由總比表面積Sm=S/M0得到：

(21)

式中，ks/kv是骨料表面形狀因子和體積因子的比值，主要反映骨料顆粒的形態(tài)，如球形、正方形、長方形、針片狀等。

對于級配骨料分形體積和分形表面的數(shù)學(xué)模型，文獻(xiàn)[8]通過對邊長為L的立方體的等分變形計(jì)算，得到了骨料體積分形維數(shù)和面積分形維數(shù)的關(guān)系式如下：

(22)

(23)

另外在計(jì)算K，n時，盡量使n靠近K3/2 取值。

2 人工骨料比表面積計(jì)算

巖體的爆破破碎本質(zhì)上是炸藥內(nèi)部的化學(xué)能轉(zhuǎn)化為巖石表面能的過程。在顆粒破碎的過程中，外荷載所做的功轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的表面能，顆粒的破壞產(chǎn)生了大量新的表面積。巖石在加工為成品料的過程中，先后經(jīng)過爆破破碎和機(jī)械破碎兩個過程，了解各個生產(chǎn)階段不同塊度巖石比表面積變化情況，對有效利用炸藥能量、減少能源浪費(fèi)、提高經(jīng)濟(jì)效益有重要作用。

而巖石顆粒是不規(guī)則的，所以計(jì)算顆粒比表面積比較困難，目前常用的方法是采用圖像處理技術(shù)，應(yīng)用軟件對拍攝的顆粒圖片進(jìn)行處理從而計(jì)算顆粒的比表面積。但這種方法比較繁瑣，且計(jì)算出的比表面積不能和顆粒級配產(chǎn)生聯(lián)系。

由于巖石顆粒擁有自相似性，故可以采用分形理論，結(jié)合白鶴灘水電站人工骨料成品料級配曲線對成品料表面積進(jìn)行計(jì)算。由于缺少成品料的空隙率，所以假定成品料表面均為光滑即取表面分形位數(shù)Ds=2；同時假定成品料均為球體。將計(jì)算結(jié)果與軟件處理圖片所得計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析。

2.1 成品料分形維數(shù)計(jì)算

我國在人工骨料料場、大型礦山開采中常以爆代破，建筑骨料礦石的爆破對爆破巖石塊度分布要求較高，巖體爆破破碎質(zhì)量對后續(xù)的鏟裝運(yùn)輸、二次破碎、磨細(xì)效率和能量消耗等有重要影響。此外骨料生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的巖粉經(jīng)濟(jì)價值低，若作為棄料處理將帶來巨大的經(jīng)濟(jì)損失，且不利于保護(hù)環(huán)境。

為了研究不同塊度巖石對于下游骨料生產(chǎn)加工過程能量消耗的影響，統(tǒng)計(jì)巖石在機(jī)械破碎過程中比表面積和能量消耗的關(guān)系，降低骨料開采加工的總能耗，實(shí)現(xiàn)“綠色環(huán)保-節(jié)能高效”爆破開采，對白鶴灘水電站旱谷地料場進(jìn)行了調(diào)研。

調(diào)研期間對成品料進(jìn)行取樣拍照記錄。成品料級配分布比較均勻，WipFrag軟件識別成品料顆粒邊緣較準(zhǔn)確，分別對每個級配成品料進(jìn)行塊度圖像分析，得到4種級配成品料的級配分布曲線，并將其繪制在同一張圖，見圖1。

圖1 成品料粒徑分布曲線

從圖1中可以得到4種級配成品料的級配分布和各個級配成品料的最大、最小粒徑。通過式(11)的反函數(shù)可以求出每一段篩孔孔徑的粒徑分形維數(shù)。特大石(80～150 mm)的計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 80～150mm成品料分形維數(shù)計(jì)算結(jié)果

根據(jù)式(12)和表1,可以分別計(jì)算出80～150,40～80，20～40，5～20 mm成品料的整體骨料粒徑分布分形維數(shù)，計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 成品料分形維數(shù)

從表2可以看出級配骨料的粒徑越小，級配料的分形維數(shù)越大，說明級配骨料的粒徑對于骨料的分形維數(shù)有直接的影響。

取級配的平均粒徑(即50%篩分通過率粒徑)為橫坐標(biāo)，分形維數(shù)為縱坐標(biāo)繪制曲線圖擬合如圖2所示。

圖2 骨料平均粒徑與分形維數(shù)關(guān)系

2.2 成品料比表面積計(jì)算

根據(jù)白鶴灘水電站現(xiàn)場調(diào)研結(jié)果，按照料場篩分結(jié)果，到旱谷地料場成品料料場取80～150，40～80，20～40，5～20 mm 4種級配樣品，在室內(nèi)對樣品進(jìn)行清洗，清除表面雜物。將成品料式樣放置在干凈的環(huán)境中充分晾干，放置合適比尺獲取多張高質(zhì)量圖片，優(yōu)選出清晰的照片，采用中值濾波法對分布和大小沒有特定規(guī)律的噪點(diǎn)進(jìn)行去噪處理，選取最好的照片進(jìn)行二值化處理。

根據(jù)體視學(xué)原理，等價橢圓長短軸之比是骨料粒形在平面內(nèi)投影的反映，周長是骨料表面積在平面內(nèi)的反映，面積是骨料體積在平面內(nèi)投影的反映，這些參數(shù)可由Image-Pro Plus軟件直接計(jì)算得出，并由此計(jì)算得出成品料比表面積,即為軟件計(jì)算得出的比表面積[15]。

根據(jù)表2計(jì)算得到的不同級配料的分形維數(shù)，并結(jié)合式(21)可以計(jì)算得到不同級配成品料的比表面積。各種級配的成品料比表面積計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 成品料比表面積計(jì)算結(jié)果

2.3 分析與討論

根據(jù)表3結(jié)果，并利用分形理論計(jì)算得出的比表面積變化如圖3所示。

從圖3中可以看出:骨料粒徑越細(xì)，其比表面積越大，兩者成冪函數(shù)相關(guān)。通過分形維數(shù)公式計(jì)算，80～150 mm級配成品料比表面積為22.57；40～80 mm級配成品料比表面積為30.75；20～40 mm級配成品料比表面積為60.44；5～20 mm級配成品料比表面積為150.06。計(jì)算結(jié)果顯示骨料比表面積受級配骨料粒徑影響較大。

圖3 成品料比表面積變化

將通過分形公式計(jì)算得出的比表面積和軟件處理計(jì)算出的比表面積進(jìn)行比較。發(fā)現(xiàn)兩者趨勢基本一致，但計(jì)算結(jié)果存在一定偏差。相對誤差基本在10%左右，但5～20 mm級配成品料的計(jì)算結(jié)果誤差較大，接近18%。誤差存在是由于計(jì)算模型的誤差和以及軟件處理的誤差。在計(jì)算中假定骨料的表面光滑，且為球形。理論上這些假定會使計(jì)算結(jié)果偏小，但是在實(shí)際計(jì)算結(jié)果基本都比軟件測量偏大，說明計(jì)算模型還存在一些誤差。

計(jì)算結(jié)果趨勢符合規(guī)律，且與軟件計(jì)算所得比表面積比較誤差均低于18%，處于正常誤差范圍，說明用分形理論計(jì)算人工骨料比表面積的方法可行。

3 結(jié) 論

通過對級配骨料的累計(jì)質(zhì)量百分比、質(zhì)量分布函數(shù)、空隙率、體積分形、面積分形的推導(dǎo)，得出了一種新的級配骨料比表面積計(jì)算方法，并利用該方法計(jì)算得到了白鶴灘水電站旱谷地料場人工骨料的比表面積，得到以下結(jié)論。

(1)確定各篩孔孔徑的粒徑分布的分形維數(shù)D(x)，可計(jì)算出級配骨料的分形維數(shù)D，結(jié)合實(shí)測空隙率計(jì)算得到骨料的體積分形維數(shù)Dv，從而計(jì)算得到面積分形維數(shù)Ds，最終可計(jì)算出級配骨料的比表面積。

分形理論模型在計(jì)算級配骨料的比表面積時，可以考慮不同粒徑的骨料之間的相互嵌擠的情況，還考慮了級配骨料的空隙率、體積等因素，所以計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確，且計(jì)算較為方便。

(2)80～150 mm級配成品料比表面積為22.57；40～80 mm級配成品料比表面積為30.75；20～40 mm級配成品料比表面積為60.44；5～20 mm級配成品料比表面積為150.06。通過分形理論公式計(jì)算所得比表面積數(shù)值和軟件處理分析得出結(jié)果有相同的趨勢，且數(shù)值接近，說明用分形理論計(jì)算骨料比表面積的方法是可行的。

(3)兩者計(jì)算結(jié)果仍存在一些偏差，相對誤差均在10%左右，針對小石的比表面積兩種計(jì)算結(jié)果誤差較大，接近18%，但仍在工程可接受范圍內(nèi)。