對小球是否會脫離軌道類問題的探討

魏明遜

(昆明市第三中學(xué) 云南 昆明 650011)

趙堅

(昆明市五華區(qū)教師進修學(xué)校、五華區(qū)教育科學(xué)研究中心 云南 昆明 650031)

高中物理教學(xué)中經(jīng)常會遇到一類討論沿光滑曲面由靜止自由滑下的小球在下滑過程中是否會脫離軌道的問題.如固定在地面上半徑為R的光滑半圓柱面，一小球無初速從頂點自由滑下，求小球脫離光滑半圓柱面的位置.教學(xué)中，有的優(yōu)秀學(xué)生提出，若將軌道面變換為半橢圓柱面、光滑拋物柱面、光滑雙曲柱面，其情況又將如何？為此，下面本文一一進行探討，供大家教學(xué)中參考.

1 光滑半圓柱面

如圖1所示，固定在地面上半徑為R的光滑半圓柱面，其頂點有一小球無初速滑下，求小球脫離光滑半圓柱面的位置.

分析：小球不能一直沿半圓柱面滑到B處，而是在某處P時脫離柱面做斜拋運動.

方法1：如圖1所示，設(shè)OP與豎直方向成θ角，當(dāng)小球運動到P點時，光滑半圓柱面對小球的支持力N= 0.

圖1

由向心力公式得

(1)

又由機械能守恒得

(2)

解式(1)、(2)得

圖2

方法2：用函數(shù)關(guān)系判斷，如圖2所示，建立坐標(biāo)系.

已知圓方程為

x2+(y-r)2=r2

這樣建立坐標(biāo)系目的是當(dāng)x=0時，y=0，速度等于零，與物理情境相對應(yīng).設(shè)小球下滑中經(jīng)P點時，速度為

故

利用Microsoft Mathematics4.0對上式作圖，得出函數(shù)關(guān)系如圖3所示，可以看出vx不是單調(diào)變化，有極大值，換言之，小球在下滑過程中會脫離圓軌道.

圖3 vx-x關(guān)系圖像

對vx求導(dǎo)，求極值

令g=10，r=1，可得

x≈0.745=rsinθ

亦即小球在此處脫離.利用數(shù)學(xué)公式

sin2θ+cos2θ=1

令r=1，計算得

與第一種方法所得結(jié)論相同.

事實上，雖然方法2是從數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系角度來進行判斷，但這種方法實質(zhì)上是基于下面的物理事實.現(xiàn)在此僅就光滑半圓柱面情況作出分析.如圖4所示，建立直角坐標(biāo)系.

圖4

由牛頓第二定律有

x方向

2 光滑拋物柱面

如圖5所示，建立坐標(biāo)系，拋物線方程為y=ax2(a>0)，一小球(視為質(zhì)點)自坐標(biāo)原點O，從靜止開始沿光滑拋物線軌道下滑.試問小球下滑中是否會脫離軌道?

圖5

設(shè)小球下滑中經(jīng)P點時，速度為

對y=ax2求導(dǎo),得

tanα=2ax

故

利用Microsoft Mathematics4.0對上式作圖，得出函數(shù)關(guān)系如圖6所示，可以看出,vx隨θ單調(diào)增，無極大值，故小球在下滑過程中不會脫離拋物線軌道.

圖6

3 光滑半橢圓柱面

(1)焦點在x軸上

圖7

如圖7所示，建立坐標(biāo)系，橢圓方程為

設(shè)小球下滑中經(jīng)P點時，速度為

故

利用Microsoft Mathematics4.0對上式作圖，得出函數(shù)關(guān)系如圖8曲線1所示，可以看出vx不是單調(diào)變化，有極大值，換言之，小球在下滑過程中會脫離焦點在x軸上的半橢圓柱面.

圖8

令g=10，a=2，b=1，可得

x≈1.704

小球在此處脫離，與圖8曲線1相對應(yīng).

(2)焦點在y軸上

如圖9所示，建立坐標(biāo)系.

圖9

橢圓方程為

設(shè)小球下滑中經(jīng)P點時，速度為

故

利用Microsoft Mathematics4.0對上式作圖，得出函數(shù)關(guān)系如圖8曲線2所示，可以看出vx不是單調(diào)變化，有極大值，也就是小球在下滑過程中會脫離焦點在y軸上的半橢圓柱面軌道.

令g=10，a=2，b=1，可得x≈0.592，小球在此處脫離，與圖8曲線2相對應(yīng).

4 光滑半雙曲柱面

如圖10所示，建立坐標(biāo)系.

圖10

焦點在y軸上的雙曲線方程

設(shè)小球下滑中經(jīng)P點時，速度為

故

利用Microsoft Mathematics4.0對上式作圖，得出函數(shù)關(guān)系如圖11所示，可以看出vx是單調(diào)變化，換言之，小球在下滑過程中不會脫離焦點在y軸上的半雙曲柱面軌道.

圖11

5 小結(jié)

綜上所述，一小球無初速從光滑半圓柱面、光滑半橢圓柱面、光滑拋物柱面、光滑雙曲柱面滑下，在光滑拋物柱面、光滑雙曲柱面滑下不會脫離軌道，而從光滑半圓柱面、光滑半橢圓柱面滑下會脫離軌道.我們認為，這樣的探討既有利于培養(yǎng)學(xué)生思維能力，開闊學(xué)生知識面,同時，也有利于命題者在命制試題時把握命題的深度及范圍，而不至于出現(xiàn)科學(xué)性錯誤.