利用“弦”求解帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

何琰

(寧波市效實(shí)中學(xué) 浙江 寧波 305012)

求帶電粒子在有界磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.這類問(wèn)題的常規(guī)解法是,先作出粒子的軌跡圓，應(yīng)用牛頓第二定律和洛倫茲力公式,再結(jié)合圖像的幾何關(guān)系進(jìn)行求解.然而，當(dāng)這類問(wèn)題與極值或臨界問(wèn)題相結(jié)合，即要求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)或最短時(shí)間時(shí)，情況就會(huì)變得復(fù)雜，學(xué)生往往感到無(wú)從下手或走彎路.這時(shí),若能以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的“弦”為突破口，問(wèn)題的處理就會(huì)簡(jiǎn)捷得多.筆者結(jié)合具體的例子來(lái)說(shuō)明“弦”在解磁場(chǎng)題中的應(yīng)用.

1 弦與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系

情境:半徑為r的圓柱形區(qū)域內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外.一質(zhì)量為m,電荷量為+q的粒子以初速度v從磁場(chǎng)邊界的A點(diǎn)垂直射入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后,從C點(diǎn)射出，已知粒子的軌跡圓半徑R>r，忽略粒子重力，如圖1所示.

圖1

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

(1)

(2)

結(jié)論:由式(1)、(2)可以看出，當(dāng)帶電粒子垂直射入有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的速率v一定(即粒子軌道半徑一定)時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與弦長(zhǎng)有關(guān)，圓心角θ在0～180°的范圍內(nèi)，弦越長(zhǎng)、圓心角越大，帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng).

2 粒子速度大小方向均確定情況中弦的應(yīng)用

圖2

【例1】如圖2所示，在xOy平面內(nèi)x>0處有一半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域圓心為O，半徑為R=0.10 m，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.5 T，磁場(chǎng)方向垂直xOy平面向里.有一線狀粒子源放在y軸左側(cè)(圖中未畫出)，不斷沿平行于x軸正方向放出電荷量為q=+1.6×10-19C,初速度為v0=1.6×106m/s的粒子，粒子的質(zhì)量為m=1.0×10-26kg，不考慮粒子間的相互作用，粒子重力忽略不計(jì)，求粒子在該磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間，并指出該粒子入射時(shí)的坐標(biāo).

這是2011年某市高三理綜調(diào)研卷中的一道試題，參考答案提供的解法如下.

r=0.2 m

圖3

在直角三角形ODE中，有

OE2+ED2=OD2

(3)

而OE=OO′-O′E=r+y-rcosθ

(4)

ED=rsinθ

(5)

將式(4)、(5)代入式(3)得

(r+y-rcosθ)2+(rsinθ)2=R2

化簡(jiǎn)得

y=-0.027 m

此時(shí)

即入射點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-0.027)時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)

代入數(shù)據(jù)得

tm≈6.5×10-8s

上述解答利用了求函數(shù)極值的方法，運(yùn)算技巧要求高.其實(shí)利用軌跡圓對(duì)應(yīng)的“弦”,可以很方便地確定哪一個(gè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng).

因?yàn)樯淙氪艌?chǎng)的粒子速度相同，所以,它們?cè)诖艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑均相同.要使得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)即弦CD最長(zhǎng),圓心角θ最大，就要讓ED最長(zhǎng).粒子的入射點(diǎn)變化時(shí)，其在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡也將上下變動(dòng).當(dāng)ED變到OD′時(shí)對(duì)應(yīng)的弦C′D′最長(zhǎng)，如圖3所示.此時(shí)有

入射點(diǎn)C′的縱坐標(biāo)y=-(r-rcosθm).代入數(shù)據(jù)可求得與前面相同的解.

3 粒子速度大小恒定 方向不確定情況中弦的應(yīng)用

圖4

解析:因射入磁場(chǎng)的粒子初速度大小相等，則它們的軌跡圓半徑都相等.作動(dòng)態(tài)變化軌跡圓，如圖5所示.

圖5

(1)最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的速度的大小；

(2)最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的速度方向與y軸正方向夾角的正弦.

圖6

圖7

(1)設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，其做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，有

得

(2)設(shè)最后離開磁場(chǎng)的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為α，由幾何關(guān)系得

Rsinα=a-Rcosα

且

sin2α+cos2α=1

解得

通過(guò)以上幾例表明，利用圓中弦的性質(zhì)，求解了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，只要教師加強(qiáng)引導(dǎo)，學(xué)生會(huì)有較好地理解和掌握.