概率方法在恢復(fù)力模型參數(shù)識(shí)別中的應(yīng)用分析

劉佩，袁泉，魏慶朝

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京，100044)

結(jié)構(gòu)識(shí)別是對(duì)模擬結(jié)構(gòu)響應(yīng)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)之間的差距進(jìn)行極小化運(yùn)算，進(jìn)而識(shí)別出結(jié)構(gòu)參數(shù)的過(guò)程。一般來(lái)說(shuō)，結(jié)構(gòu)識(shí)別計(jì)算需采用某種分析模型來(lái)構(gòu)造參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，此分析模型包含一系列作為識(shí)別參數(shù)的待估計(jì)參數(shù)，對(duì)待識(shí)別結(jié)構(gòu)的當(dāng)前狀態(tài)進(jìn)行描述。由于所選定的結(jié)構(gòu)模型并不是真實(shí)的結(jié)構(gòu)，所以，結(jié)構(gòu)模型誤差總是存在的，并且對(duì)于結(jié)構(gòu)模型參數(shù)來(lái)說(shuō)，沒(méi)有真實(shí)值，結(jié)構(gòu)模型參數(shù)及模型誤差都是不確定的?；谪惾~斯理論的模型參數(shù)識(shí)別方法不僅能給出參數(shù)的最有可能值，而且能得到定量描述模型參數(shù)不確定性的協(xié)方差矩陣。Beck等[1]首先將貝葉斯理論引入系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別研究中，建立了基于貝葉斯理論的參數(shù)識(shí)別框架。基于貝葉斯理論的模型參數(shù)識(shí)別方法目前主要應(yīng)用于采用實(shí)測(cè)環(huán)境振動(dòng)數(shù)據(jù)的線性結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別中[2?6]。本文以恢復(fù)力模型為例，將貝葉斯理論擴(kuò)展應(yīng)用到已知實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)非線性模型參數(shù)的識(shí)別中。恢復(fù)力模型可以用于模擬鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)在強(qiáng)震作用下的滯回特性。針對(duì)鋼筋混凝土構(gòu)件恢復(fù)力模型的研究，比較有代表性的有三線性退化Takeda模型[7]、Nogami等[8]提出的一種考慮極限荷載后強(qiáng)度降低的恢復(fù)力模型和Ozcebe等[9]提出的一種考慮滑移捏攏現(xiàn)象的恢復(fù)力模型。沒(méi)有一種恢復(fù)力模型適用于所有結(jié)構(gòu)或構(gòu)件及不同的加載方式，選取1種恢復(fù)力模型對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算分析時(shí)，需要考慮選取的恢復(fù)力模型的不確定性。系統(tǒng)識(shí)別法是確定恢復(fù)力模型參數(shù)的一種途徑。Lu[10]以鋼筋混凝土柱的振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，建立了誤差函數(shù)，通過(guò)自適應(yīng)步隨機(jī)搜索優(yōu)化算法識(shí)別了恢復(fù)力模型的參數(shù)值；Loh等[11]將修正的Bouce-Wen模型和系統(tǒng)識(shí)別過(guò)程應(yīng)用于振動(dòng)臺(tái)測(cè)試數(shù)據(jù)來(lái)評(píng)估模型參數(shù)；Kunnath等[12]提出了一種可用來(lái)確定鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)連續(xù)光滑型滯回模型參數(shù)的系統(tǒng)識(shí)別法，該方法以修正的Gauss-Newton方法為基礎(chǔ)。這些識(shí)別方法只能得到模型參數(shù)的最優(yōu)值，并不能得到模型參數(shù)的不確定性。在此，本文作者首先建立基于貝葉斯理論的非線性模型參數(shù)識(shí)別計(jì)算框架；其次，根據(jù)密肋復(fù)合墻體在低周反復(fù)加載下所得滯回曲線，提出1種針對(duì)該墻體的用于識(shí)別的恢復(fù)力模型；最后，根據(jù)貝葉斯理論及2塊密肋復(fù)合墻體試件的實(shí)測(cè)滯回曲線數(shù)據(jù)，對(duì)2塊試件的恢復(fù)力模型參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，并對(duì)貝葉斯概率方法的特性及識(shí)別結(jié)果進(jìn)行分析。

1 基于貝葉斯理論的非線性模型參數(shù)識(shí)別方法

根據(jù)貝葉斯理論，若已知實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)y=[y1, …,yn]，n為數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，則模型參數(shù)θ的后驗(yàn)分布為

對(duì)式(10)進(jìn)行優(yōu)化求解，若通過(guò) matlab的fminsearch函數(shù)，則可得模型參數(shù)的最有可能值，進(jìn)而根據(jù)后驗(yàn)協(xié)方差的定義，可得模型參數(shù)的定量的不確定性。

2 密肋復(fù)合墻體的恢復(fù)力模型

密肋復(fù)合墻體試件CW1～CW4在水平低周反復(fù)荷載作用下得到的實(shí)測(cè)滯回曲線見(jiàn)圖1，其中，CW4為標(biāo)準(zhǔn)密肋復(fù)合墻體試件。CW1～CW3對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)試件肋梁和肋柱數(shù)量發(fā)生改變，有關(guān)試件的具體描述見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。試驗(yàn)時(shí)首先施加豎向荷載，穩(wěn)定后施加水平荷載：?jiǎn)握{(diào)加載至預(yù)測(cè)極限荷載后，轉(zhuǎn)為由位移控制，以預(yù)測(cè)極限荷載對(duì)應(yīng)位移的倍數(shù)控制加載，每級(jí)循環(huán)3次至試驗(yàn)結(jié)束。

密肋復(fù)合墻體試件CW5-CW7在水平低周反復(fù)荷載作用下得到的實(shí)測(cè)滯回曲線見(jiàn)圖1，其中CW5為標(biāo)準(zhǔn)密肋復(fù)合墻體試件，CW6為輕鋼龍骨密肋復(fù)合墻體試件，CW7為加固過(guò)的受損密肋復(fù)合墻體試件，有關(guān)試件的具體描述見(jiàn)文獻(xiàn)[14?15]。試驗(yàn)時(shí)，首先施加豎向荷載，穩(wěn)定后施加水平荷載：預(yù)測(cè)屈服荷載前，按10 kN遞增施加荷載，每級(jí)循環(huán)1次，預(yù)測(cè)屈服荷載后，按預(yù)測(cè)屈服荷載對(duì)應(yīng)的位移±3，±4和±5 mm等至試驗(yàn)結(jié)束。

從圖1可以看出：各試件均發(fā)生剪切破壞；試件出現(xiàn)了明顯的剛度退化、強(qiáng)度退化、滑移和捏攏現(xiàn)象。根據(jù)以上現(xiàn)象，本文提出一種適用于剪切破壞的密肋復(fù)合墻體的恢復(fù)力模型，見(jiàn)圖 2。這種模型假定達(dá)到極限荷載之前骨架曲線為雙線性。模型的控制參數(shù)為屈服前剛度k1，屈服后剛度k2，屈服荷載fy及其對(duì)應(yīng)位移xy，極限荷載fu及其對(duì)應(yīng)位移xu。考慮極限荷載后強(qiáng)度降低現(xiàn)象的參數(shù)?d，并考慮滑移捏攏現(xiàn)象的參數(shù)?p和?s。

模型假定：(1) 達(dá)到極限荷載前，前一次循環(huán)結(jié)束之后再加載時(shí)和反向加載時(shí)，直線指向前一次循環(huán)的最大變形點(diǎn)；(2) 達(dá)到極限荷載后，前一次循環(huán)結(jié)束之后再加載時(shí)和反向加載時(shí)，直線指向由前一次循環(huán)的最大變形點(diǎn)與?d之和對(duì)應(yīng)的位移及極限荷載確定的點(diǎn)的位置處；(3) 正向卸載及反向卸載直線通過(guò)考慮滑移捏攏參數(shù)軸正負(fù)?s位置前剛度為k1，之后指向力軸的考慮滑移捏攏參數(shù)負(fù)正?p位置處。該模型的滯回曲線共由13類(lèi)直線組成。

圖1 密肋復(fù)合墻體滯回曲線Fig.1 Hysteretic curves of multi-grid composite walls

圖2 密肋復(fù)合墻體的恢復(fù)力模型Fig.2 Restoring force model of multi-grid composite walls

3 模型參數(shù)識(shí)別計(jì)算分析

3.1 模型的選取

若選取過(guò)于簡(jiǎn)單的模型，則模型不能很好地模擬可能出現(xiàn)的實(shí)際反應(yīng)；但是，也不能過(guò)分尋求能夠完美解釋實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的模型，否則，就會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)過(guò)配的情況。根據(jù)貝葉斯理論，即使1個(gè)模型的計(jì)算結(jié)果與已知數(shù)據(jù)符合得很好，也不能代表這個(gè)模型就是最好的模型，因?yàn)檫@個(gè)模型本身的可能性(即先驗(yàn)概率)也許很低。本文提出的恢復(fù)力模型只是可以用于模擬密肋復(fù)合墻體反應(yīng)的恢復(fù)力模型中的一種，通過(guò)模型誤差來(lái)考慮選取該模型對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。

3.2 最有可能值

本文識(shí)別了2種加載方式下2塊標(biāo)準(zhǔn)密肋復(fù)合墻體試件CW4和CW5的恢復(fù)力模型參數(shù)值。根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)直接確定試件的極限荷載，需識(shí)別的密肋復(fù)合墻體恢復(fù)力模型參數(shù)為該問(wèn)題是1個(gè)有7個(gè)參數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，模型估計(jì)誤差標(biāo)準(zhǔn)差σ的最有可能值可以通過(guò)前6個(gè)參數(shù)的最有可能值的計(jì)算表達(dá)式得到。優(yōu)化過(guò)程取參數(shù)的容許誤差為10?4，函數(shù)的容許誤差為 10?4。改變優(yōu)化過(guò)程模型參數(shù)的初始值，所得結(jié)果收斂，識(shí)別問(wèn)題為全局可識(shí)別類(lèi)型。模型參數(shù)最有可能值的具體計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表 1。從表1可見(jiàn)：CW5的模型誤差σ比CW4的小。

根據(jù)恢復(fù)力模型參數(shù)的最有可能值不考慮模型誤差計(jì)算得到的滯回曲線見(jiàn)圖3。從圖3可見(jiàn)：計(jì)算值與實(shí)測(cè)值較吻合，驗(yàn)證了識(shí)別結(jié)果的合理性；特別是CW5的計(jì)算值與對(duì)應(yīng)的實(shí)測(cè)值的吻合度比 CW4的高，因?yàn)橛?jì)算滯回曲線未考慮模型誤差；而 CW5的模型誤差比CW4的小。

表1 恢復(fù)力模型參數(shù)的最有可能值Table 1 Most probable values of restoring force model parameters

圖3 試驗(yàn)滯回曲線與不考慮模型誤差的計(jì)算滯回曲線Fig.3 Tested and computed hysteretic curves without taking into account of model errors

CW5的模型誤差比CW4的小，是因?yàn)榧虞d方式及采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量不同。用于識(shí)別 CW5恢復(fù)力模型參數(shù)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為 560個(gè)，而用于識(shí)別 CW4恢復(fù)力模型參數(shù)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為305個(gè)。CW5的模型參數(shù)受先驗(yàn)分布的影響比 CW4的要小，更符合先驗(yàn)分布的假定。在模型參數(shù)個(gè)數(shù)相同的情況下，較多數(shù)據(jù)點(diǎn)比較少數(shù)據(jù)點(diǎn)識(shí)別得到的模型誤差小，這也充分表明基于貝葉斯理論的識(shí)別方法依賴(lài)于已知數(shù)據(jù)的特性。

3.3 變異系數(shù)

通過(guò) Hessian矩陣可計(jì)算得到協(xié)方差矩陣，進(jìn)而得到描述恢復(fù)力模型各參數(shù)不確定性的變異系數(shù)(各參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差與最有可能值的比值)見(jiàn)表2。由表2可以看到：CW4的變異系數(shù)k2最大；對(duì)于試件CW5，識(shí)別得到的?p的變異系數(shù)最大。最有可能值通過(guò)變異系數(shù)描述其與真實(shí)值接近的定量的不確定性，變異系數(shù)最大，則說(shuō)明該參數(shù)的最有可能值具有最大的不確定性。

3.4 識(shí)別結(jié)果在后續(xù)計(jì)算中的應(yīng)用

對(duì)于本文所提恢復(fù)力模型，若將極限荷載后強(qiáng)度降低現(xiàn)象通過(guò)將曲線指向上一循環(huán)的最大荷載降低一定的量與最大變形確定的位置表示，則同樣可以作為用來(lái)模擬密肋復(fù)合墻體反應(yīng)的恢復(fù)力模型。這2種模型都可以用來(lái)模擬構(gòu)件的反應(yīng)，但要對(duì)這2種模型識(shí)別結(jié)果的差別定量化，需要應(yīng)用基于貝葉斯理論的模型選擇方法進(jìn)行確定，以便決定模擬構(gòu)件反應(yīng)時(shí)每種模型的權(quán)重。而基于貝葉斯理論識(shí)別得到的模型參數(shù)的最有可能值及協(xié)方差矩陣可以為后續(xù)模型選擇計(jì)算提供便利。

另外，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度分析時(shí)，除考慮結(jié)構(gòu)所受激勵(lì)的不確定性外，所選模型的不確定性也是影響計(jì)算結(jié)果的重要因素。考慮模型不確定性比直接將結(jié)構(gòu)參數(shù)考慮為隨機(jī)變量對(duì)可靠度計(jì)算結(jié)果造成的影響大很多。根據(jù)貝葉斯理論的識(shí)別結(jié)果生成樣本，可以定量考慮模型誤差對(duì)可靠度計(jì)算結(jié)果的影響。

表2 恢復(fù)力模型參數(shù)變異系數(shù)Table 2 Coefficients of variance of restoring force model parameters %

4 結(jié)論

(1) 應(yīng)用貝葉斯概率方法通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)恢復(fù)力模型參數(shù)進(jìn)行了識(shí)別。首先，建立了基于貝葉斯理論的非線性模型參數(shù)識(shí)別計(jì)算框架；其次，根據(jù)密肋復(fù)合墻體在低周反復(fù)荷載作用下所得滯回曲線，建立了針對(duì)該類(lèi)型墻體的用于識(shí)別的恢復(fù)力模型；最后，以2種加載方式下的2塊1/2比例密肋復(fù)合墻體試件的實(shí)測(cè)滯回?cái)?shù)據(jù)為例，基于貝葉斯理論對(duì)恢復(fù)力模型參數(shù)進(jìn)行了識(shí)別。

(2) 識(shí)別結(jié)果包括模型參數(shù)的最有可能值和定量的不確定性。通過(guò)由模型參數(shù)最有可能值得到的滯回曲線和實(shí)測(cè)值的對(duì)比，驗(yàn)證了識(shí)別結(jié)果的合理性。通過(guò)對(duì)識(shí)別結(jié)果的分析，指出了模型選取應(yīng)考慮模型誤差的影響；模型誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響較大；識(shí)別結(jié)果依賴(lài)于所采用的數(shù)據(jù)。

(3) 通過(guò)貝葉斯概率方法進(jìn)行模型參數(shù)識(shí)別可以定量確定模型和模型參數(shù)的不確定性，識(shí)別結(jié)果可用于后續(xù)的模型選擇方法研究及考慮模型誤差的可靠度計(jì)算等。

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