二元函數(shù)三類極限定義及相互關(guān)系的分析與討論

劉雄偉

（國防科技大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)系，湖南 長沙 410073）

準(zhǔn)確理解和把握函數(shù)極限內(nèi)涵，對學(xué)習(xí)、理解和應(yīng)用微積分理論、方法有著重要意義。一元函數(shù)的極限理論相對來說比較嚴(yán)格與完善，多元函數(shù)極限存在性的判定與計(jì)算，由于其復(fù)雜性，還沒有建立完善的理論。雖然，對非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，著重于數(shù)學(xué)的應(yīng)用與支撐作用；但是，如果對二元函數(shù)極限的存在性與求解方法沒有清晰的理解與思路，必然會(huì)在二元函數(shù)極限、連續(xù)、可微、方向?qū)?shù)存在性的判斷、多元積分模型的構(gòu)建與計(jì)算等概念學(xué)習(xí)與理論、方法應(yīng)用的過程中，在心里留下一知半解的“心結(jié)”。因此，在二元函數(shù)極限的教學(xué)過程中，必須充分考慮學(xué)習(xí)對象的層次、特點(diǎn)與教學(xué)目標(biāo)需求，既不能有過深的數(shù)學(xué)理論，也不能以簡代全。本文將從二重極限定義出發(fā)，分析二重極限與一元函數(shù)的極限的聯(lián)系與區(qū)別、二重極限與累次極限、方向極限的關(guān)系，并討論二重極限存在性的判定方法與常見的計(jì)算方法。

1 二元函數(shù)三類極限的定義

1.1 二重極限

定義1[1]設(shè)f(x,y)是定義在點(diǎn)P0(x0,y0)的某去心鄰域內(nèi)的二元函數(shù)，A 為常數(shù)。若?ε＞0,?δ＞0，使得當(dāng) P(x,y)∈U0(P0,δ)時(shí)，恒有｜f(x,y)-A｜＜ε，則稱 A 為 f(x,y)當(dāng)(x,y)→(x0,y0)時(shí)的二重極限。

定義2[2]設(shè)f(x,y)是定義域?yàn)镈的二元函數(shù)，P0(x0,y0)是D的一個(gè)聚點(diǎn)。如果存在常數(shù)A，?ε＞0，?δ＞0，使得當(dāng) P(x,y)∈U0(P0,δ)∩D 時(shí)，恒有｜f(x,y)-A｜＜ε，則稱 A 為 f(x,y)當(dāng)(x,y)→(x0,y0)時(shí)的二重極限。

兩種定義的比較：

（1）定義1是一元函數(shù)極限的直接推廣，要求函數(shù)f(x,y)在P0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)每一點(diǎn)都要有定義，并且，對于 U0(P0,δ)中每一點(diǎn)，都滿足不等式｜f(x,y)-A｜＜ε。定義2中允許f(x,y)在P0的任一去心鄰域內(nèi)有使f(x,y)無定義的點(diǎn)，只要求在U0(P0,δ)∩D內(nèi)的點(diǎn)都滿足｜f(x,y)-A｜＜ε。相對而言，定義 1條件太強(qiáng)，定義 2要求要弱，因此定義2具有更大的適用范圍。例如對于二元函數(shù)

按定義1，這兩個(gè)函數(shù)在(x,y)→(0,0)時(shí)，極限無意義；但按定義2，兩個(gè)函數(shù)的極限都存在，并且等于1。

（2）兩個(gè)定義與一元函數(shù)極限定義最大的區(qū)別是，在鄰域內(nèi)的點(diǎn)P趨于P0的方式不再只是兩個(gè)方向，即變量沿著變量對應(yīng)的坐標(biāo)軸，從左右兩個(gè)直線路徑方向變化，如圖1所示；而是點(diǎn)P是從任意不同方向，以任意路徑趨于點(diǎn)P0，如圖2所示，點(diǎn)P趨于點(diǎn)P0的過程不管以任何路徑、任何方向變化，它們間距離始終趨于零，同時(shí)具有相同的極限值。

圖1 一元函數(shù)極限變量變化的幾何描述

1.2 累次極限

累次極限也稱為二次極限，其本質(zhì)上屬于一元函數(shù)極限的范疇，是接連求兩次一元函數(shù)的極限。f(x,y)關(guān)于變量x和y在(x0,y0)處的累次極限有兩個(gè)，分別為先關(guān)于變量x后關(guān)于變量y的累次極限，記作先關(guān)于變量y后關(guān)于變量x的累次極限，記作

圖3 圖示

圖4 圖示

1.3 [3] 方向極限

設(shè)f(x,y)是定義域?yàn)镈的二元函數(shù)，如果當(dāng)(x,y)沿著方向?yàn)閡→的射線趨于(x0,y0)時(shí)，如果二元函數(shù)的極限存在，則稱該極限值A(chǔ)為函數(shù)f(x,y)沿著方向u→的方向極限，并記作

2 二元函數(shù)極限存在性的判定

對于二元函數(shù)相關(guān)的三個(gè)極限，其中累次極限本質(zhì)上是一元函數(shù)極限存在性的判定，而方向極限屬于二重極限的特殊情況，也可以歸結(jié)為一元函數(shù)極限存在性的判定，對于這兩類極限存在性判定這里不予討論，重點(diǎn)討論定義2定義的二重極限存在性判定與求解方法。

二重極限存在性的判定最基本、直接的方法是利用定義及其變型描述和借助于一元函數(shù)常用的一些判斷方法，如夾逼準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限、函數(shù)等價(jià)變換或者轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)形式和二元初等函數(shù)的連續(xù)性、二重積分等來進(jìn)行驗(yàn)證性判斷或極限求解。

分析：當(dāng)(x,y)→(0,2)時(shí)，由于在點(diǎn)(0,2)鄰域半徑δ＜2 的鄰域內(nèi)，變換

是等價(jià)變換，所以有

當(dāng)(x,y)→(0,0)時(shí)，在點(diǎn)(0,0)鄰域內(nèi)，（1）不是等價(jià)變換，所以不能使用上面極限求解過程判斷極限存在和求解極限。 而由于｜sinxy｜≤｜xy｜

利用夾逼定理，可以得，當(dāng)(x,y)→(0,0)時(shí)，f(x,y)→0。

此外，根據(jù)二元函數(shù)極限的定義，極限存在要求(x,y)→(x0,y0)時(shí)，必須按照任意方向，任意路徑具有相同的極限值。因此，通過選定特定的路徑，如果極限不存在；或者選擇兩條不同的路徑，極限雖然存在但是不相等，由此可以判斷二元函數(shù)極限不存在。

分析：當(dāng)(x,y)沿路徑 y=kx 趨于(0,0)時(shí)，有

當(dāng)k取不同值時(shí)，函數(shù)f(x,y)具有不同極限值。因此，可以判定該函數(shù)當(dāng)(x,y)→(0,0)時(shí)極限不存在。

對于不同的二元函數(shù)如何選取特殊路徑來判斷函數(shù)的極限不存在是個(gè)比較復(fù)雜的問題，一般選取的路徑為

此外，對于有些二元函數(shù)，將二元函數(shù)f(x,y)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)描述 F(ρ,θ)，通過求 ρ→0+的極限來判定極限的存在性也是一種有效方法。如例2，使用極坐標(biāo)變換，則有

由于θ可取不同值時(shí)，函數(shù)具有不同的極限值，因此該極限不存在。而

根據(jù)一元函數(shù)的極限運(yùn)算法則，可知該極限存在，并且極限值為0。

由此可見，對于某些二元函數(shù)來說，使用極坐標(biāo)變換不失為一種有效的二元函數(shù)極限存在性判定和求解的方法。但是，使用過程中特別要注意θ的任意性。對于更詳細(xì)理論探討與二元函數(shù)極限的求解方法及例題可以參考文獻(xiàn)[4-8]。二元函數(shù)二重極限存在與不存在的判斷也可以借助于幾何圖形曲面與等值線圖進(jìn)行觀察，如例2中的函數(shù)，圖形（如圖6所示）在原點(diǎn)斷裂，而等高線都為直線，直觀的看出其在原點(diǎn)沒有極限。

圖5 方向極限

圖6 等值線圖

3 二元函數(shù)各類極限之間的關(guān)系

二元函數(shù)的二重極限、兩種順序的累次極限與方向極限之間關(guān)系相對于一元函數(shù)左右極限的討論來說要復(fù)雜，下面是相關(guān)的結(jié)論。

（1）二重極限與兩種順序的累次極限：如果它們都存在，則三者相等，僅知其中一個(gè)存在，推不出其它二者存在。如例2，兩種順序的累次極限都存在，并且等于0，但二重極限不存在；對于二元函數(shù)f(x,y)在(x,y)→(0,0)時(shí)，兩種順序的累次極限都不存在，但二重極限存在；二元函數(shù)f(x,y)=當(dāng)(x,y)→(0,0)時(shí)，二重極限不存在，兩種順序的累次極限都存在，但是極限值不想等。

（2）兩種順序的累次極限：不一定同時(shí)存在；若兩者都存在，二者也不一定相等。

（3）二重極限和方向極限：二重極限存在，則方向極限一定存在，并且極限值相等。但是，即使所有方向極限存在，二重極限也不一定存在，如例2，當(dāng)(x,y)→(0,0)時(shí)，沿任意方向u→°=(cosθ，sinθ)，方向極限都存在，且為cosθsinθ，但二重極限不存在；而如果有一個(gè)方向的方向極限不存在或者沿兩個(gè)不同的方向極限值不相等，則根據(jù)定義，二重極限不存在。

（4）方向極限與兩種順序累次極限：方向極限存在不能推出兩種順序的累次極限存在相等；同樣，兩種類型的累次極限存在也不能推出所有方向的方向極限存在。

[1]朱健民，李建平.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊）[M].北京：人民教育出版社，1978.

[4]桂詠新.二元函數(shù)極限不存在的判別[J].咸寧師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1997，17，(3)：18-19.

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[7]莊興義.二元函數(shù)極限不存在性問題之研究[J].廣西梧州師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，1999，15，(3)：59-61.

[8]辛春元.二重極限計(jì)算方法的研究[J].長春教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，27，(7)：86-88.