探究高職數(shù)學(xué)中幾種不等式的證明方法

【摘 要】高職數(shù)學(xué)中的復(fù)雜公式和繁瑣計(jì)算是人們對(duì)它的最初印象，其實(shí)，如果對(duì)高職數(shù)學(xué)進(jìn)行細(xì)致總結(jié)和歸納就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它是有章可循的，是有規(guī)律的。下面筆者通過近年來的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過一些具體的例子來對(duì)高職數(shù)學(xué)中的不等式的證明方法進(jìn)行探究，與大家分享。

【關(guān)鍵詞】高職數(shù)學(xué)；不等式；證明方法

高職數(shù)學(xué)中不等式的內(nèi)容占有舉足輕重的地位，涉及到很多重要的解題方法和技巧。在一年一度的研究生的考試中，不等式的證明也是其常考考點(diǎn)。下面筆者通過近年來的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過一些具體的例子來對(duì)高職數(shù)學(xué)中的不等式的證明方法進(jìn)行探究，與大家分享。

1.利用函數(shù)的單調(diào)性

常見方法：輔助函數(shù)構(gòu)造→判定函數(shù)的單調(diào)性→獲得所證明的不等式。

依據(jù)：若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增？圯f（a）

若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減？圯f（b）

【實(shí)例1】函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在區(qū)間（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，f（0）=0， 0≤f'（x）≤1。求證：■f（x）dx ■≥■f■（x）dx。

證明：令F（x）=■f（x）dx ■-■f■（x）dx（0

F'（x）=f（x）2■f（x）dx-f■（x）

令G（x）=2■f（x）dx-f■（x），則G'（x）=2■f（x）dx-f■（x）'=2f（x）[1-f'（x）]≥0，故G（x）≥G（0）=0，所以2■f（x）dx-f■（x）≥0，由條件f（x）≥0，∴F'（x）≥0，F(xiàn)（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)不減，得F（1）≥F（0）=0，即■f（x）dx ■≥■f■（x）dx。

2.利用中值定理

常見方法：輔助函數(shù)構(gòu)造→依據(jù)拉格朗日中值定理得等式→由ξ的范圍獲得所證不等式。

【實(shí)例2】設(shè)e■（b-a）

證明：令f（x）=ln2x，在區(qū)間[a，b]上用拉格朗日中值定理，得■=f'（ξ），即■=2·■ ξ∈（a，b）？奐（e，e2），再令g（x）=■（eg（e2）=■，從而2·■>■

即原不等式成立。

3.利用最值證明不等式（含≥或≤號(hào)）

常見方法：輔助函數(shù)構(gòu)造→求出其最大（小）值→獲得所證明不等式。

依據(jù)：若f（a）為函數(shù)f（x）在I上的最大值？圯f（x）≤f（a）；

若f（b）為函數(shù)f（x）在I上的最小值？圯f（x）≥f（b）。

【實(shí)例3】證明：當(dāng)x>0時(shí)，（x2-1）lnx≥（x-1）2。

證明：令f（x）=（x2-1）lnx-（x-1）2，則f（1）=0，f'（x）=2xlnx-x+2-■，f'（1）=0，f''（x）=2lnx+1+■，f''（1）=2>0?！鄕=1為極小值點(diǎn)，但不能斷定它是最小值點(diǎn)。

又f'''（x）=■，∴f'''（x）=<0， 00， x>1∴x=1為 的最小值點(diǎn)，f''（x）≥f''（1）=2>0?！鄁'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又f'（1）=0，∴f'（x）在x=1由負(fù)變正，故x=1為函數(shù)f（x）的最小值點(diǎn)，f（x）≥f（0）=0，即（x2-1）lnx≥（x-1）2■

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉繼合.簡(jiǎn)析高等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與化歸[J].聊城師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1999，12（3）.

[2]姜啟源.數(shù)學(xué)建模.北京：高等教育出版社，2002：110～120.