習題解答完畢 精彩剛剛開始

下面的景象，相信每一個中小學數(shù)學老師一定屢見不鮮：老師剛在黑板上展示了一道有難度的數(shù)學題，不大一會兒，立即就有學生舉起了手：“老師，你看我這道題做的怎么樣？”老師拿起學生的練習本仔細觀看，過程無錯誤，答案也正確，老師露出了贊美的微笑。老師的微笑令這名學生情緒高漲，也只見他洋洋得意，左瞧瞧，左邊的同學正在低頭驗算；右看看，右邊的同學還凝神思索，于是，他暗自開懷，自以為他很了不起，自認為答案正確，一切萬事大吉。其實，習題解答完畢了，后面還有許多工作要做。下面我們就從一到常見的習題開始，來看一看題目做完之后，到底還能干什么？

例：如圖，C是線段AB上的一點，在AB的同側(cè)做等邊△ACD和等邊△BCE，并連接AE交DC于點M，連接DB分別交CE、AE于點N、點P。

求證： AE = DB

證明：∵△ACD是等邊三角形

∴ AC=CD ∠ ACD=60°

又∵△BCE為等邊三角形

∴CE=CB ∠ECB=60°

∴∠ ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE

即∠ACE=∠DCB

在△ACE和△DCB中

∵ AC=CD ∠ACE=∠DCB CE=CB

∴△ACE≌△DCB (SAS)

∴AE=DB

如果一個學生的解題水平能達到如此程度，可以說該學生的解答是很不錯的，但是解答正確真的就無事可干了嗎？

反思（一）對一個學生來說，習題解答完畢之后，應(yīng)當再仔細地觀察一遍剛才的解答，看一看哪那些地方不完善，哪些地方還可以改進，看一看這個題目能不能用其他的方法來解決。這一點對培養(yǎng)學生良好的學習習慣非常重要。如本文中的例題，雖然學生的解答很不錯，但是，仍然有可以改進的地方。

證明：∵△ACD和△BCE都是等邊三角形

∴∠ ACD=∠ECB=60°

∴∠ACE=∠DCB（等角的補角相等）

在△ACE和△DCB中

∵AC=CD ∠ACE=∠DCB CE=CB

∴△ACE≌△DCB (SAS)

∴AE=DB

我們將這個證明和原來的證明相比，發(fā)現(xiàn)后邊的證明過程更簡單一些。

反思（二）我們知道，概念、定理、公理、法則是整個數(shù)學的核心，學生做作業(yè)的主要目的就是鞏固相關(guān)的定義、定理、公理等內(nèi)容。以本題為例，學生還可以做如下的探索與回顧。

什么叫等邊三角形？

等邊三角形都有哪些性質(zhì)？

敘述等邊三角形的性質(zhì)。

證明兩個三角形全等的方法有哪些？

全等三角形的性質(zhì)有哪些？

上述的兩個反思對學生來說，是很容易操作的。如果學生經(jīng)常進行這樣的互動，那么，學生的學習水平一定會有一個很大的提高。

反思（三）由于本題中△ACE≌△DCB，則一定有：∠CAE=∠CDB ， ∠AEC=∠DBC。如果我們不改變例題中的條件，則很容易引導學生編出下列題目：

變式（1）已知同例題。

求證：∠CAE=∠CDB。

變式（2）已知同例題。

求證：∠AEC=∠DBC。

反思（四）由于本題中的全等三角形除△ACE≌△DCB之外，另外還有△ACM≌△DCN，△ECM≌△BCN。仿照反思（三），學生還可以編出如下題目：

變式（3）已知同例題。

求證：CM=CN。

變式（4）已知同例題。

求證：AM=DN。

變式（5）已知同例題。

求證：ME=BN。

反思（五）由于反思（三），∠CAE=∠CDB，∠AEC=∠DBC，則一定有A、D 、P、C四點共圓，B、E、P、C四點共圓。據(jù)此，又可改編如下的題目。

變式（6）已知同例題。

求證：A、D、P、C四點共圓。

變式（7）已知同例題。

求證：B、E、P、C四點共圓。

變式（8）已知同例題。

求證：M、C、N、P四點共圓。

變式（9）已知同例題。

求證：∠MPN=120°

變式（10）已知同例題。

求證：∠DPM=60°

實際上，如果繼續(xù)深入地探索，那么還可以得出很多結(jié)論：

如：（1）△DPM∽△ACM。

(2) △EPN∽△BCN。

(3) AD∥NE，DM∥BE。

（4）△EPN∽△APD。

（5）△BNE∽△DCN。

如果我們把這些結(jié)論加以推廣，又可以改變出更多的練習題。限于篇幅，我們不再贅述。

寫到此處，筆者忽然有感，題后反思像一個強大的壓榨機，它可以榨盡每個習題的糖汁和養(yǎng)分。暴風驟雨是壯觀的，但雨后的彩虹更美麗！一個習題解答完畢，其實才是萬里長征的第一步，更多的精彩才剛剛開始！