求解非線性方程一類四階收斂方法

摘要：基于牛頓迭代法，利用反函數(shù)的性質(zhì)，取 公式的前三項進行迭代；并考慮到計算導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性，又利用差商近似代替導(dǎo)數(shù)的方法，構(gòu)造出了新的迭代公式，并證明了方法的收斂階達到四階。文末給出了數(shù)值試驗，并與牛頓迭代法進行比較，結(jié)果表明方法具有很好的優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：牛頓迭代法；收斂階；數(shù)值試驗

中圖分類號：O175.29 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9599 （2012） 24-0042-03

非線性方程的求根的解法和理論是當今數(shù)值分析研究的重要課題之一，數(shù)值求解非線性方程 的根 的方法有很多。迭代法是求解非線性方程的最為常用的方法，其中，最常見的迭代法有簡單迭代法、弦截法、拋物線法、牛頓迭代法。近年來，有不少工作對牛頓迭代法進行了較為深入的研究，這些研究的主要有兩個目的，第一是提高收斂速度，第二是使計算更加簡便?？紤]到這兩個因素，本文利用原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系，將反函數(shù)用 公式展開，取前四項構(gòu)造出收斂階為四的迭代公式；并為了計算的簡單性，利用差商和牛頓插值多項式來近似代替導(dǎo)數(shù)，最后進行了數(shù)值試驗及其與其他方法的比較。

1 預(yù)備知識

為研究迭代方法所生成迭代序列的收斂速度和收斂效率，首先給出效率指數(shù)和收斂階的定義以及相關(guān)定理。

定義1[1]：設(shè)迭代過程 收斂于方程 的根 ，如果迭代誤差 ，當 時成立下列漸近關(guān)系式：

則稱該迭代過程是 階收斂的。

定理2[2]：設(shè)函數(shù) 在點 處存在 階導(dǎo)數(shù)，則存在 的一個鄰域，對于該鄰域中的任一點 ，均有下式成立

2 新算法的推導(dǎo)

設(shè) 是定義在其零點 的某個鄰域 上的 階連續(xù)可微函數(shù)，由微分學(xué)知識可知它存在 階連續(xù)可微的反函數(shù) ，則對于任意的 ，有

（1）

設(shè) 則有 ，利用 公式

即： （2）

設(shè) 為 的 次近似值，令 ，舍去最后一項，等號右邊作為 的 次近似值 ，得到迭代公式：

其迭代函數(shù)為：

對（1）式兩邊同時求導(dǎo)，得：

依次求出：

所以得到本文中的新的迭代公式：

3 新的迭代公式的簡化

在很多情況下，計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值是很困難的，從而給應(yīng)用帶來了不便，為此我們可以根據(jù) 公式展開，則：

下面我們可用三點牛頓插值多項式來近似求二階導(dǎo)數(shù)：

令 ，則：

同理可得：

由此我們得到了本文的迭代公式：

4 收斂性、收斂階的分析證明

定理：設(shè) 在根 的某一鄰域有4階導(dǎo)數(shù)，且 ，則由迭代公式：

產(chǎn)生的序列 收斂于方程 的根 ，且收斂階為4。

證明：由 和

得：

將 代入并利用 有

又因為 ，則：

即：

下面證明

由于 區(qū)間鄰域 上連續(xù)，則可知它們均有界，于是存在常數(shù) ，使 ，

由式 ，可得

選擇充分接近 的初值 ，使得 則：

即 ，于是依次類推可證：

則當 時有 ，故有 ，故序列 收斂于方程的根 。

因為得到的序列 收斂于方程的根 ，則得到

從而證明了序列 是4階收斂的。

定理得證。

5 數(shù)值試驗

5.1 為了驗證本文提出的迭代公式具有更高的收斂階，以解方程 在 內(nèi)的近似根為例進行數(shù)值試驗，用本文方法和牛頓迭代法、和迭代法 分別求解，結(jié)果如下：

本文

方法

0-1-1-1

1-0.9773-0.9676-0.9622

2-0.9605-0.9532-0.9625

3-0.9534-0.9525

4-0.9525

從上表可以看出，用牛頓迭代法需要四步，用迭代法 也需要三步，但本文迭代法只需要兩步就可以了，具有很好的優(yōu)越性。

5.2 用上述三種迭代法分別求解 的正根，結(jié)果如下表

k

本文方法

03.53.53.5

13.42865513.39266083.3685679

23.35671923.28422533.2359250

33.28441983.17665173.1086967

43.21240633.07822823.0179297

53.14241823.01377193.0000443

63.07872593.00013143.0000000

73.02986673.0000000

83.0051822

93.0001728

103.0000002

113.0000000

從上表可以看出，用牛頓迭代法需要十一步，用迭代法 也需要八步，但本文迭代法只需要六步就可以了，說明本文的方法具有很好的優(yōu)越性。

參考文獻：

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（下轉(zhuǎn)第38頁）