如何在幾何教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

　　推理能力包含合情推理能力與演繹推理能力，其實(shí)在《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，也提出了合情推理、演繹推理兩個(gè)概念，因此從義務(wù)教育階段開始，我們就要關(guān)注這兩種能力的培養(yǎng)。
　　一、合情推理和演繹推理的含義及重要意義
　　實(shí)際上自從標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)稿進(jìn)入試驗(yàn)區(qū)之后，老師就開始重視合情推理了。合情推理，一般包括歸納和類比，演繹推理一般就是從基本事實(shí)出發(fā)，推出來一些定理，它們?cè)僮鳛橥评淼某霭l(fā)點(diǎn)，來進(jìn)行論述。我們?cè)谂袛嘁粋€(gè)命題是否正確的時(shí)候，首先運(yùn)用合情推理的方法，包括直觀、操作、猜測(cè)，然后得出假設(shè)。這些假設(shè)是否能成立呢？我們就需要用演繹推理的方式去進(jìn)行證明。所以合情推理往往是一種發(fā)現(xiàn)的方法和手段，而演繹推理是一種證實(shí)的手段，它們相輔相成，共同完成對(duì)一個(gè)命題的認(rèn)識(shí)。我們?cè)谏町?dāng)中，也用到很多的合情推理，如在統(tǒng)計(jì)當(dāng)中，在代數(shù)當(dāng)中，都用到很多合情推理。
　　美國有一位數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家叫波利亞，他寫了這樣一本著作叫《數(shù)學(xué)與猜想》，在這本書的序言中，他有這樣一段話說得特別好，他說作為以后要想把數(shù)學(xué)作為自己終身職業(yè)的人，他應(yīng)該學(xué)習(xí)演繹推理，因?yàn)檫@是這門學(xué)科的一個(gè)特點(diǎn)，當(dāng)然他還要學(xué)習(xí)合情推理，因?yàn)檫@是使得他的研究工作能夠得以進(jìn)行的一種推理形式。如果你不是把數(shù)學(xué)作為自己終身職業(yè)的人，同樣也要學(xué)習(xí)演繹推理，因?yàn)閷W(xué)習(xí)了演繹推理，你就獲得了一種標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)就可以用來衡量日常生活中我們碰到的一些事情。更應(yīng)該要學(xué)習(xí)合情推理，因?yàn)樵谒娜粘５纳町?dāng)中，方方面面都要用到合情推理。波利亞很辯證地把這兩種推理形式，對(duì)于一個(gè)無論是以后做數(shù)學(xué)的人，還是不做數(shù)學(xué)的人，它的重要性都闡釋得很充分。所以合情推理對(duì)于我們每個(gè)人都是很重要的。是不是合情推理這個(gè)詞就是從波利亞的類比推理和歸納推理來的呢？是的，英文翻譯過來可能就是合情推理，當(dāng)然我們更多指的是類比和歸納，當(dāng)然這里面還有其他直覺的、經(jīng)驗(yàn)的成分，包括特殊化和一般化?？偠灾?，就是經(jīng)過一些合情合理的一些判斷，得到一個(gè)可能性的猜測(cè)，這樣一個(gè)思維過程就是一個(gè)合情推理的過程。當(dāng)然合情推理會(huì)有從特殊到一般，或者從一般到特殊等不同的思維形式。在以往我們的數(shù)學(xué)教育中，可能還是對(duì)演繹推理關(guān)注得多，但我們?cè)絹碓秸J(rèn)識(shí)到合情推理和人的創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力的培養(yǎng)，聯(lián)系得非常密切，所以這次課程改革，在課程里面明確地提出來，要培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。
　　二、培養(yǎng)學(xué)生的合情推理和演繹推理能力的策略
　　這個(gè)合情推理，在我們?nèi)粘?duì)人的發(fā)展過程中的作用是非常大的，不專門從事數(shù)學(xué)，可能很少有機(jī)會(huì)接觸嚴(yán)格的演繹推理，但是合情推理它卻要經(jīng)常使用到。我們?nèi)粘Ｉ钪械暮芏喱F(xiàn)象，其實(shí)往往都是由合情推理得來的，比如有這樣一句諺語：“八月十五云遮月，正月十五雪打燈?！蹦阏f這個(gè)生活經(jīng)驗(yàn)和常識(shí)的積累，我們?cè)趺从醚堇[的方法去證明呢，它就是由合情推理產(chǎn)生的，但是它卻能夠指導(dǎo)我們很多的生活實(shí)踐。所以在日常的教學(xué)中，我們要讓學(xué)生大膽地去發(fā)現(xiàn)、大膽地去歸納，大膽地去猜想。我們?cè)谡n堂上通過動(dòng)手操作，通過發(fā)現(xiàn)，通過靈機(jī)一動(dòng)感悟到的東西，一定要大膽地說出來，敢于去猜，你才能邁出研究的第一步。這之后，再利用演繹的方法去從邏輯上去證明，也就有的放矢了。所以在咱們?nèi)粘５慕虒W(xué)過程當(dāng)中，千萬不要把合情推理作為演繹推理的一個(gè)簡(jiǎn)短的前奏，很快過渡到所謂的“主旋律”了。
　　合情推理的落實(shí)，跟老師自身對(duì)問題的設(shè)計(jì)也是很有關(guān)系的。如果我們只設(shè)計(jì)一些學(xué)生一看就很容易知道結(jié)論的問題，他就會(huì)覺得老師設(shè)計(jì)的這個(gè)合情推理環(huán)節(jié)很假，時(shí)間長(zhǎng)了就對(duì)合情推理的環(huán)節(jié)提不起興趣。如果我們能夠設(shè)置好的問題情境，給他一個(gè)很開闊的空間，才能夠感受到合情推理的價(jià)值和意義所在。比如說在學(xué)習(xí)三角形中位線定理時(shí)，我們可能遇到過這樣的問題——畫一個(gè)任意的四邊形，連接這個(gè)四邊形四邊中點(diǎn)，得到了一個(gè)我們叫做中點(diǎn)四邊形的圖形。同樣是這個(gè)素材，如果讓學(xué)生求證這個(gè)中點(diǎn)四邊形是一個(gè)平行四邊形，很快就會(huì)過渡到演繹推理；可如果提出一個(gè)更開放性的問題：“同學(xué)們觀察我們新得到的這個(gè)四邊形你覺得它的形狀有什么特點(diǎn)，可能是怎樣的四邊形呢？”那學(xué)生可能就要通過很多的手段——直觀的觀察、測(cè)量、猜想等一系列手段去思考，而這個(gè)問題又不像有一些問題那么膚淺，它確實(shí)有一定的思考空間，真得琢磨琢磨。只有通過觀察、測(cè)量、想象，才會(huì)產(chǎn)生它可能是平行四邊形的猜想，這個(gè)過程就顯得更真實(shí)。有了這樣一個(gè)過程，再提問：“為什么它是一個(gè)平行四邊形？”通過連接對(duì)角線的輔助線，構(gòu)造三角形的中位線，逐漸把這個(gè)問題證明了。當(dāng)然這樣的例子不止一個(gè)，我們應(yīng)該更多地去挖掘。
　　其實(shí)在代數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中也有類似的例子，例如，先觀察下面算式：152-112=104，92-72=32，132-72=120……能不能自己也寫一個(gè)跟它們有同樣規(guī)律的算式呢？能不能用字母來表達(dá)剛才所呈現(xiàn)出規(guī)律呢？能不能證明剛才你所猜想的規(guī)律呢？實(shí)際上當(dāng)這些算式共同的規(guī)律就是奇數(shù)的平方差，它們結(jié)果都是8的倍數(shù)。然后我們用字母2m+1和2n+1來表達(dá)這兩個(gè)奇數(shù)，要做適當(dāng)?shù)淖冃?，最后得出它含?這個(gè)因數(shù)。這個(gè)問題是由一些特殊的例子得到的一些特殊的規(guī)律，盡管前要求學(xué)生再舉幾個(gè)例子，但都不能替代證明。
　　三、在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生推理能力應(yīng)遵循的原則
　　許多老師在平時(shí)的教學(xué)過程中可能有這樣的體會(huì)——學(xué)生的推理能力一時(shí)半會(huì)兒培養(yǎng)不起來。所以在教學(xué)中千萬別著急，一定要遵循循序漸進(jìn)的原則。很多老師在七年級(jí)一接觸幾何就馬上開始學(xué)演繹證明，但實(shí)際上我們走得太急了反而容易摔跤，因此推理能力的培養(yǎng)要有層次性，先讓學(xué)生看到現(xiàn)象能夠初步地說明道理，由此出發(fā)再慢慢地規(guī)范化、形式化，再變成證明，一點(diǎn)一點(diǎn)走可能會(huì)走得更扎實(shí)一點(diǎn)。所以我建議大家在平時(shí)的教學(xué)過程當(dāng)中，把推理能力貫穿到每個(gè)領(lǐng)域、貫穿到每一節(jié)課當(dāng)中，不能一蹴而就，得有耐心。
　　其實(shí)許多核心概念跟知識(shí)技能的學(xué)習(xí)不一樣，一定要在一個(gè)過程中慢慢地去體會(huì)，慢慢地去滲透。所以老師如果試圖將某種能力落實(shí)在一節(jié)課中，這就錯(cuò)了，有些能力并不是老師教出來的，實(shí)際上是學(xué)生通過不斷地在解決問題的過程中慢慢感悟出來的，教師在教學(xué)中必須有耐心。