構(gòu)造法證明不等式的構(gòu)造途徑

摘 要： 作為數(shù)學(xué)思想方法之一， 構(gòu)造思想已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中. 本文從數(shù)學(xué)方法論的角度， 通過(guò)分析不等式的證明思路， 對(duì)其中所蘊(yùn)涵的構(gòu)造思想進(jìn)行了分析和探討.

關(guān)鍵詞： 構(gòu)造法 不等式 解題途徑

什么是構(gòu)造法，又怎樣去構(gòu)造？構(gòu)造法是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想經(jīng)過(guò)認(rèn)真考察和深入思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型，從而使問(wèn)題得以解決的一種數(shù)學(xué)思想方法.構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富，沒(méi)有完全固定的模式可以套用，它是以問(wèn)題的特殊行為基礎(chǔ)，針對(duì)集體的問(wèn)題特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決辦法。其基本的方法是：借用一類問(wèn)題的性質(zhì)，來(lái)研究另一類問(wèn)題的思維方法.在解題過(guò)程中，若按習(xí)慣定勢(shì)思維去探求解題途徑比較困難時(shí)，就可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn)，展開(kāi)豐富的聯(lián)想，拓寬自己的思維范圍，運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)解題也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新思維的手段之一，同時(shí)對(duì)提高學(xué)生的解題能力也有幫助.下面我們通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明通過(guò)構(gòu)造法解題訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維，謀求最佳的解題途徑，達(dá)到思想的創(chuàng)新.

證明不等式的方法有很多，構(gòu)造法就是其中的一種，其實(shí)只是將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，它以構(gòu)造方程、數(shù)列、圖形作為常用手段.

1.構(gòu)造方程

有些數(shù)學(xué)題，經(jīng)過(guò)觀察可以構(gòu)造一個(gè)方程，從而得到巧妙簡(jiǎn)捷的解答.

∴不等式成立

②tanγ-tanα≠0

當(dāng)x=-1時(shí)

（85b+pF8tIUzFzoRXh+eyE6wvKwxVEUwjmIY0cSBlYkg=tanγ-tanα）+2（tanα-tanβ）+（2tanβ-tanγ）=0

∴x=-1是方程（*）的根

2.構(gòu)造數(shù)列

數(shù)列和不等式是高考的兩大熱點(diǎn)也是難點(diǎn)，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的內(nèi)容，在高等數(shù)學(xué)也有很重要的地位.不等式是高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一個(gè)突出的內(nèi)容，它可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維中的很多方法，當(dāng)兩者結(jié)合在一起的時(shí)候，問(wèn)題會(huì)變得非常靈活.

3.構(gòu)造圖形

在解題時(shí)若以數(shù)形結(jié)合的思想作指導(dǎo)，對(duì)于某些較復(fù)雜問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造圖形啟發(fā)思維，借助于圖形的直觀來(lái)解題往往能使解題方法簡(jiǎn)捷.在證明不等式中，我們把已知條件或要證不等式中的代數(shù)量直觀化為某個(gè)圖形的幾何量，構(gòu)造出一個(gè)符合條件的幾何圖形，便可應(yīng)用圖形性質(zhì)及相應(yīng)的幾何知識(shí)證明不等式.

所以不等式成立.

4.構(gòu)造函數(shù)

函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)重要的地位，學(xué)生對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)也比較熟悉.選擇爛熟于胸的內(nèi)容來(lái)解決棘手問(wèn)題，同時(shí)也達(dá)到了訓(xùn)練學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性、開(kāi)拓性和創(chuàng)造性.有些不等式的證明，也可以構(gòu)造函數(shù)模型，利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)解決，往往要比常規(guī)的方法容易找到證題途徑.

分析：本題可以用比較法、分析法等多種方法證明.若采用函數(shù)思想，構(gòu)造出與所證不等式密切相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較函數(shù)值而證明，則思路更為清晰.

5.構(gòu)造平面向量

平面向量具有數(shù)和形的雙重性，因此用構(gòu)造平面向量的方法在證明不等式有時(shí)能給你一個(gè)意想不到的“驚喜”.

在解不等式或證明時(shí)，除了掌握其基本不等式外還要把握題目的特點(diǎn)尋找簡(jiǎn)便的方法，而本題就是運(yùn)用平面向量解題的簡(jiǎn)便方法.

通過(guò)上面的例子，我們知道在解題的過(guò)程中要善于觀察，善于發(fā)現(xiàn)，在解題過(guò)程中不墨守成規(guī)，大膽去探求解題的最佳途徑.創(chuàng)新思想是整個(gè)創(chuàng)新活動(dòng)的關(guān)鍵，敏銳的觀察力，創(chuàng)造性的想象，獨(dú)特的知識(shí)結(jié)構(gòu)，以及活躍的靈感是其基本特征.這種創(chuàng)新思維能保證學(xué)生順利解決問(wèn)題，高水平地掌握知識(shí)，并能把知識(shí)廣泛地運(yùn)用到解決問(wèn)題上來(lái)，而構(gòu)造法正從這方面訓(xùn)練學(xué)生思維，使學(xué)生的思維由單一型轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘟嵌?，顯得積極靈活，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

參考文獻(xiàn)：

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