導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在高考中的兩類存在性問題

導(dǎo)數(shù)在新課程高考中的地位愈發(fā)重要，考查的形式多種多樣，切線及函數(shù)極值的存在性問題是2009年高考的一大亮點(diǎn).命題者利用導(dǎo)數(shù)這一個(gè)重要的解題工具將函數(shù)與方程有機(jī)地結(jié)合在一起，并由此考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用問題，這兩種類型不可能就此銷聲匿跡，還將會在今后的高考舞臺上繼續(xù)發(fā)揮作用.本文給出2009年這樣的幾個(gè)高考題的解答，希望讀者能體會其中的解題策略與思想方法.

一、曲線切線的存在性問題

曲線切線是否存在的問題，與導(dǎo)數(shù)的幾何意義密切相關(guān)，常轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)方程是否有實(shí)根來判斷.

例1.（2009福建卷理15）若曲線f（x）=az+lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a取值范圍是？搖？搖 ？搖？搖.

解析：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），對函數(shù)求導(dǎo)得：f′（x）=3ax+.因?yàn)榍€存在垂直于y軸的切線，即切線斜率為0，所以方程3ax+=0在（0，+∞）內(nèi)有解，顯然可得a=-<0，故a∈（-∞，0）.

注：2009年福建卷文科的第15題是其姐妹題.

例2.（2009重慶卷文19）已知f（x）=x+bx+c為偶函數(shù)，曲線y=f（x）過點(diǎn)（2，5），g（x）=（x+a）f（x）.（Ⅰ）若曲線y=g（x）有斜率為0的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）若當(dāng)x=-1時(shí)函數(shù)y=g（x）取得極值，確定y=g（x）的單調(diào)區(qū)間.

解析：（Ⅰ）∵f（x）=x+bx+c為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），解得b=0，∴f（x）=x+c，又曲線y=f（x）過點(diǎn)（2，5），∴2+c=5，即c=1，∴g（x）=x+ax+x+a，求導(dǎo)得g′（x）=3x+2ax+1，∵曲線y=g（x）有斜率為0的切線，∴g′（x）=3x+2ax+1=0有實(shí)數(shù)解.∴△=4a-12≥0，解得：a≤-或a≥.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍：a∈（-∞，-]∪[，+∞）.（Ⅱ）略.

二、函數(shù)極值的存在性問題

函數(shù)極值是否存在與導(dǎo)數(shù)方程f′（x）=0的根密切相關(guān)，若函數(shù)y=f（x）在某一點(diǎn)處取得極值，則這一點(diǎn)必是導(dǎo)數(shù)方程的根，但反過來，導(dǎo)數(shù)方程的根處未必存在極值.為此，求解導(dǎo)數(shù)方程的根后，常需要進(jìn)行驗(yàn)證才能確定函數(shù)是否存在極值.

例4.（2009山東卷文21）已知函數(shù)f（x）=ax+bx+x+3，其中a≠0.（Ⅰ）當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，f（x）取得極值？（Ⅱ）已知a>0，且f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，試用a表示出b的取值范圍.

解析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=a+2bx+1，令f′（x）=0，得ax+2bx+1=0，f（x）要取得極值，方程ax+2bx+1=0（a≠0）有解，所以△=4b-4a≥0，即b≥a.

①當(dāng)b=a時(shí)，f（x）=bx+2bx+1=（bx+1）≥0，f（x）在R上單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）無極值.

②當(dāng)b>a時(shí)，此時(shí)方程ax+2bx+1=0的根為

x==，x==，所以f′（x）=a（x-x）（x-x）.

當(dāng)a>0時(shí)，

所以f（x）在x，x處分別取得極大值和極小值.

當(dāng)a<0時(shí)，

所以f（x）在x，x處分別取得極大值和極小值.

綜上，當(dāng)a，b滿足b>a時(shí)，f（x）取得極值.（Ⅱ）略.

例5.（2009四川卷文20）已知函數(shù)f（x）=x+2bx+cx-2的圖像在與x軸交點(diǎn)處的切線方程是y=5x-10.（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+mx，若g（x）的極值存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及函數(shù)g（x）取得極值時(shí)對應(yīng)的自變量x的值.

解析：（Ⅰ）函數(shù)解析式為f（x）=x-2x+x-2，過程略；

（Ⅱ）g（x）=x-2x+x-2+mx，g′（x）=3x-4x+1+，令g′（x）=0當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，方程3x-4x+1+=0有實(shí)根，即△=4（1-m）≥0，解得m≤1，

①當(dāng)m=1時(shí)，g′（x）=（3x-2）≥0，∴g（x）在R上是增函數(shù)，故函數(shù)g（x）無極值.

②m<1時(shí)，g′（x）=0有兩個(gè)不相等實(shí)根，x=（2-），x=（2+），

當(dāng)x變化時(shí)，g′（x）、g（x）的變化情況如下表：

故在m∈（-∞，1）時(shí)，函數(shù)g（x）有極值，當(dāng)x=（2-）時(shí)，g（x）有極大值；當(dāng)x=（2+）時(shí)，g（x）有極大值.

注：2009年四川高考數(shù)學(xué)理科卷第21題的第（Ⅲ）小題也屬于此種類型.

例4.（2010全國卷Ⅱ文21）已知函數(shù)f（x）=x-3ax+3x+1.（Ⅰ）設(shè)a=2，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

解：（Ⅰ）略.（Ⅱ）對函數(shù)求導(dǎo)得：f′（x）=3x-6ax+3=3（x-2ax+1），由于f（x）在（2，3）中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，因此方程f′（x）=0在區(qū)間（2，3）內(nèi)有根.

∴△=4a-4>02<-<3f′（2）=3（5-4a）>0f′（3）=3（10-6a）>0或f′（2）f′（3）<0，解得：

注：導(dǎo)數(shù)方程f′（x）=0程為二次方程時(shí)，其在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的解的問題，常借助一元二次方程根的分布來處理.

從以上各例不難看出，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的這兩類存在性問題與導(dǎo)數(shù)方程息息相關(guān)，處理好導(dǎo)數(shù)方程的解的情況，問題也隨之得到解決.