淺談用辯證思想求解數(shù)學(xué)題

摘 要：從具體與抽象，特殊與一般，靜止與運(yùn)動，整體與局部的辯證思想中找到解決數(shù)學(xué)問題的方法。

關(guān)鍵詞：辯證思想

中圖分類號：O1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2012）12（a）-0216-01

數(shù)學(xué)中充滿著矛盾，也處處滲透著辯證法。于是解決矛盾的過程不但是一個(gè)運(yùn)用辯證法的過程，也是推動數(shù)學(xué)向前發(fā)展的過程。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)并培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用辯證的思想方法來探索問題、研究問題、解決問題。本文就如何運(yùn)用辯證思想解決數(shù)學(xué)問題談點(diǎn)淺見。

1 具體與抽象的辯證關(guān)系

把抽象的問題同相應(yīng)的感性經(jīng)驗(yàn)材料聯(lián)系起來，使得數(shù)學(xué)問題具體化、直觀化，通過具體直觀的性質(zhì)，使問題的解決過程變得簡單化。

例1：定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)為增函數(shù)，偶函數(shù)在區(qū)間的圖像與的圖像重合，設(shè)，給出下列不等式：

分析：這是一道高考題，是當(dāng)年的難題；因?yàn)楸绢}的函數(shù)比較抽象，直接來做困難很大，如果將滿足題設(shè)的函數(shù)具體化，問題方便得解。令代入檢驗(yàn)可選。

2 特殊與一般的辯證關(guān)系

Wa8jhH8J0pctMO9659mFgkPL4N9mfygCj9UhGASgRJA=抓住問題的特殊性，利用特殊元素、特殊位置，優(yōu)先處理或合理分類，使問題的解決一目了然，條理清晰，思路清楚。

例2：已知是兩個(gè)公比不想等的等比數(shù)列，，證明：不是等比數(shù)列。（2000年高考題）

分析：欲證不是等比數(shù)列，只需證明中某連續(xù)三項(xiàng)不成等比即可。

設(shè)的公比分別為，因?yàn)椋?/p>

=

=，

又，故不成等比數(shù)列，所以不是等比數(shù)列。

特殊問題與一般問題不是截然劃分的，從辯證的角度看，一般問題的解決有賴于從特殊問題的思考中發(fā)現(xiàn)線索；一般問題解決以后，又可以解決更多、更新的特殊問題。

例3：比較兩個(gè)冪20112012和20122011的大小。

分析：由于數(shù)據(jù)較大，計(jì)算困難，把問題一般化，考察函數(shù)，可以證明，當(dāng)時(shí)是減函數(shù)，問題立刻解決。

3 靜止與運(yùn)動的辯證關(guān)系

辯證法告訴我們，運(yùn)動是絕對的，靜止是相對的，它們在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，我們要善于利用動與靜之間的辯證關(guān)系去指導(dǎo)解題。

例4：解方程

分析：這是無理方程，按常規(guī)要經(jīng)過兩次移項(xiàng)且兩邊平方才能全部脫去根號，轉(zhuǎn)化為有理方程，運(yùn)算復(fù)雜。若把方程轉(zhuǎn)化為，令，則方程可以轉(zhuǎn)化為橢圓方程，由相關(guān)理論得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可方便得到。

解決運(yùn)動型問題，要善于在運(yùn)動中發(fā)現(xiàn)靜止，以靜制動，使問題得到解決。

例5：已知圓C：直線

，求證：對任意實(shí)數(shù)k，與圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)。

分析：通?？偸怯脠A心到直線的距離與圓的半徑的大小來判定，用算量大，十分麻煩，若挖掘直線中靜止的因素，可獲得簡潔解答。

的方程用直線系可表示為：，顯然直線恒過直線和的交點(diǎn)，而P點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)。

4 整體與局部的辯證關(guān)系

有些數(shù)學(xué)問題，如果只在整體或局部中周旋，往往思維雜亂，難以獲解。這時(shí)若能從整體深入到局部或把局部拓展為整體，解題思路會豁然開朗。

例6：已知，且+，

求證：+

分析：本題若從整體上思考，則難以下手，但若局部考慮，各個(gè)擊破，很快獲證。

因 …，

把上列各同向不等式相加，再利用：

即可獲證。

有些問題局部解決較為棘手，若整體思考，則會柳暗花明。

例7：設(shè)分別為三角形的三條邊長，求證：

分析：此問題的難點(diǎn)是分母是一個(gè)多項(xiàng)式，難以入手；如果把分母看作整體，

令：，則，可得到：

，式左=

·

，顯然當(dāng)時(shí)等號成立。

參考文獻(xiàn)

[1]鄭洪浩.運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想求解數(shù)學(xué)題[J].連云港師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2002（4）：64-65.

[2]王英明.辯證思想在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用[J].數(shù)學(xué)大世界：初中版，2012（Z1）：48.