數(shù)值分析課程教學(xué)探討

　　摘要：根據(jù)“數(shù)值分析”的課程特點，在教學(xué)方法、教學(xué)手段和加強(qiáng)數(shù)值實驗方面做了有益的探索，尤其是在教學(xué)中融入了數(shù)學(xué)建模的思想，以培養(yǎng)學(xué)生開拓創(chuàng)新的能力。
　　關(guān)鍵詞：數(shù)值分析；數(shù)值實驗；數(shù)學(xué)建模
　　數(shù)值分析是一門與計算機(jī)使用密切結(jié)合的、實用性很強(qiáng)的課程。它內(nèi)容豐富，涉及數(shù)學(xué)分析、代數(shù)、方程和泛函分析等諸多學(xué)科，研究方法深刻，有自身嚴(yán)密的科學(xué)系統(tǒng)。科學(xué)與工程中的數(shù)值計算已經(jīng)成為各門自然科學(xué)和工程技術(shù)科學(xué)的一種重要手段，成為實驗和理論并列的一個不可缺少的環(huán)節(jié)［1］。所以數(shù)值分析既是一個基礎(chǔ)性的，同時也是一個應(yīng)用性的數(shù)學(xué)學(xué)科，與其他學(xué)科的聯(lián)系十分緊密。那么在平時的教學(xué)中，如何取得良好的教學(xué)效果呢？本文從以下幾個方面進(jìn)行探討。
　　一、數(shù)值分析課程的教學(xué)特點
　　與其它純數(shù)學(xué)理論課程相比，數(shù)值分析除了具備數(shù)學(xué)的高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點之外，又有應(yīng)用的廣泛性與實際試驗的高度技術(shù)性的特點。具體來說，這門課程具有以下的教學(xué)特點：
　　1.知識面跨度大［2］
　　數(shù)值分析是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué)和統(tǒng)計學(xué)專業(yè)的必修課程，它廣泛運用多門數(shù)學(xué)學(xué)科的知識，內(nèi)容包括數(shù)值逼近、數(shù)值積分、線性代數(shù)方程組的直接解法和迭代方法、非線性方程組的計算方法、矩陣特征值與特征向量的計算、常微分方程數(shù)值計算等，涉及數(shù)學(xué)分析、代數(shù)學(xué)、微分方程、泛函分析等眾多數(shù)學(xué)理論。
　　2.有可靠的理論分析［2］
　　能任意逼近并達(dá)到精度要求，對近似算法要保證收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性，還要對誤差進(jìn)行分析。
　　3.注重理論與應(yīng)用的結(jié)合
　　與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程強(qiáng)調(diào)理論分析和邏輯推導(dǎo)不同，數(shù)值分析課程更注重運用這些理論構(gòu)造適合計算機(jī)執(zhí)行的數(shù)值方法，要根據(jù)計算機(jī)特點提供實際可行的有效算法。數(shù)值分析主要研究那些在理論上有解而用手工無法計算、必需借助計算機(jī)求解的數(shù)學(xué)問題。它的許多理論與方法本身并不是數(shù)學(xué)學(xué)科的產(chǎn)物，而是以“計算”為目標(biāo)發(fā)展起來的。
　　二、教學(xué)體會
　　針對數(shù)值分析課程的特點，筆者認(rèn)為在教學(xué)中應(yīng)注重以下幾個方面：
　　1.教學(xué)方法上注重數(shù)值思想的傳授
　　計算方法這門課程最主要闡述的思想就是“近似計算”的思想。在實際的計算過程中，有許多問題的計算量非常龐大，簡單的筆算費時費力，借助計算機(jī)可以快速解決這些問題。但由于計算機(jī)本身位數(shù)的限制，以及其它誤差影響，只能進(jìn)行近似計算。
　　（1）“誤差分析”思想。由于是近似計算，那么就存在一定的誤差，所以在計算過程中要分析誤差、控制誤差和比較誤差，只有控制好誤差才能找到好的近似值。誤差是衡量近似計算結(jié)果好壞的一個標(biāo)準(zhǔn)，例如，在求解線性方程組直接法時，通過誤差分析可以確定方程組是病態(tài)的還是良態(tài)的，只有良態(tài)的方程組才能保證解的準(zhǔn)確性。通過分析誤差可以判斷算法的穩(wěn)定性、收斂性及收斂速度。由此可見誤差分析是非常重要的。
　?。?）逼近和近似思想。函數(shù)逼近是數(shù)值分析方法中的主要內(nèi)容之一，許多數(shù)值方法都依賴于函數(shù)逼近的思想。如，各種插值方法、數(shù)值微分和數(shù)值積分、微分方程數(shù)值解等等。函數(shù)逼近中常常采取的各種近似，利用插值函數(shù)對數(shù)值近似處理，讓學(xué)生意識到數(shù)值分析課程不是在簡單地做數(shù)學(xué)練習(xí)，而是在訓(xùn)練通過對原問題的分析，如何利用已有的數(shù)學(xué)知識和工具去逼近和近似原來問題的解。逼近和近似思想作為一種全新的思維方式，它使學(xué)生認(rèn)識到：不能解析或精確求解問題并不可怕，可怕的是不會和不敢利用已學(xué)數(shù)學(xué)知識去近似、簡化原來的問題，從而獲得原來問題的近似解答。
　?。?）“離散化”思想［6］。把求連續(xù)變量問題轉(zhuǎn)化為求離散變量問題，稱為“離散化”。一個連續(xù)的數(shù)學(xué)問題要實現(xiàn)上機(jī)計算，必須先進(jìn)行離散化。在工程計算中，常常需要求解連續(xù)性問題，比如求微分方程的解。一般而言，微分方程很難找到解析解，所以數(shù)值求解微分方程是計算方法中的一個重要的內(nèi)容。數(shù)值求解微分方程并不是依靠計算機(jī)給出微分方程的解析形式，而是依靠它近似給出微分方程在指定點的函數(shù)值。在引人離散化思想對問題離散后，可以采用各種數(shù)值方法來求解各點函數(shù)的值。通過離散化思想，原來的連續(xù)性問題變成了一個離散問題。離散化思想是數(shù)值計算的一個基本思想，現(xiàn)有的數(shù)值計算，幾乎完全依賴于對問題的離散化解決。離散方法一直是數(shù)值分析研究中一個很重要的方面。
　?。?）“迭代”思想［5］。迭代是計算機(jī)中重要的概念，也是數(shù)值分析方法中的重要的概念。在數(shù)學(xué)建模過程中，對結(jié)果可能性的猜測可以在很大程度上幫助我們在建模方向上進(jìn)行選擇，使我們少走許多彎路。由于迭代方法大都只有有限的收斂區(qū)間，所以如何利用已有的信息對解進(jìn)行猜測是很重要的一點，這依賴于學(xué)生在實踐中能夠綜合運用數(shù)學(xué)分析理論和各種方法的經(jīng)驗。許多連續(xù)問題在轉(zhuǎn)化為離散問題后，利用迭代法可以求解離散問題。
　　2.多媒體課件與板書相結(jié)合的教學(xué)手段［3］
　　使用多媒體教學(xué)方法，能增大教學(xué)容量，提高教學(xué)效率，有利于解決重點和難點問題。多媒體教學(xué)可以在一定程度上突破時間和空間的限制，充實直觀內(nèi)容，能夠較徹底地分解知識技能信息的復(fù)雜度，減少信息在大腦中從形象到抽象，再由抽象到形象的加工轉(zhuǎn)換過程，充分傳達(dá)教學(xué)意圖，并可以通過計算機(jī)的豐富表現(xiàn)手段突出教學(xué)重點。如，龍格現(xiàn)象可以用屏幕動態(tài)的顯示在哪個區(qū)間收斂，使用多媒體教學(xué)可以幫助教師在課堂上根據(jù)學(xué)生的信息反饋，進(jìn)行現(xiàn)場分析和答疑，以人機(jī)對話方式靈活方便地進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)。同時，精彩的多媒體課件也能激發(fā)學(xué)生的興趣，提高學(xué)生的主動性。
　　3.加強(qiáng)數(shù)值實驗，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力
　　上機(jī)實驗課是數(shù)值分析區(qū)別于其他數(shù)學(xué)課的明顯之處。上機(jī)課的目的主要在于培養(yǎng)學(xué)生的實踐和編程能力，將課堂上學(xué)到的數(shù)值分析方法理論應(yīng)用到具體的實例中，這是一個消化課堂上學(xué)習(xí)的知識點的過程。學(xué)生針對同一個問題可以嘗試不同方法去解決，并且加以比較，以此來驗證各種方法的優(yōu)缺點。數(shù)值分析中的問題僅靠課堂教學(xué)、理論推導(dǎo)是很難講明白的?？梢园才乓欢ǖ膶嶒炚n，使學(xué)生在實際的計算過程中，通過畫圖或列表等比較的方式對課堂的知識加深理解。許多工程技術(shù)學(xué)科中的問題都需要利用數(shù)值分析課程的知識，如果能夠讓學(xué)生參與到解決實際問題的實踐中，必將對數(shù)值分析課程的教學(xué)起到積極的推動作用。
　　4.在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想
　　應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決各類實際問題時，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立數(shù)學(xué)模型的過程，是把錯綜復(fù)雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分折和解決問題。這就需要深厚扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，敏銳的洞察力和想象力，對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實際問題的橋梁，是數(shù)學(xué)在各個領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的媒介，是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑，數(shù)學(xué)建模在科學(xué)技術(shù)發(fā)展中的重要作用越來越受到數(shù)學(xué)界和工程界的普遍重視，它已成為現(xiàn)代科技工作者必備的重要能力之一。在數(shù)學(xué)建模過程中，必然要有數(shù)學(xué)模型的求解，其中很多數(shù)學(xué)模型的求解要用到數(shù)值分析課程中所涉及的算法。比如，2009年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題，其中有一步就要用到曲線擬合，如果上課時學(xué)生沒有明白什么是曲線擬合，也不知道擬合可以用哪種方程，那么得到的模型不一定合理，導(dǎo)致事倍功半。所以在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想是十分必要的。實踐證明，通過對《數(shù)值分析》的學(xué)習(xí)，大大加深了學(xué)生對課程內(nèi)容的理解，也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，鼓勵了部分優(yōu)秀學(xué)生組成團(tuán)隊積極地參加建模競賽［7］，確實提高了學(xué)生的開拓、創(chuàng)新能力。
　　三、結(jié) 語
　　愛因斯坦有句名言：“興趣是最好的老師?！背浞旨ぐl(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是優(yōu)化課堂教學(xué)的最根本、最有效的途徑之一。所以，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，營造寬松的課堂氣氛，是提高課堂效率的最佳方法。最后應(yīng)制定合理的考核辦法，督促學(xué)生學(xué)習(xí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。同時，還可以督促學(xué)生去看一些參考書。由于數(shù)值分析涉及到的知識面很廣，這也使得它的內(nèi)容靈活多變。多看參考書是學(xué)好這門課程的重要一環(huán)。
　　參考文獻(xiàn)：
　?。?］ 關(guān)治，陸金甫.數(shù)值分析基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，1998.
　?。?］ 李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析（第4版）［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2006.
　?。?］ 宋松和，等.高等數(shù)值分析課程教學(xué)改革探討［J］.高等教育研究學(xué)報，2008，31（4）：66-67.
　　［4］ 趙景軍，吳勃英.關(guān)于《數(shù)值分析》教學(xué)的幾點探討［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，21（3）：28-30.
　?。?］ 王曉鋒，李靜.計算方法課程教學(xué)探討［J］.高師理科學(xué)刊，2007，27（6）：36.
　　［6］ 孫亮.數(shù)值分析方法課程的特點與思想［J］.工科數(shù)學(xué)，2002，18（1）：84-86.
　?。?］ 董立華.關(guān)于《數(shù)值分析》課程的教改實踐［J］.德州學(xué)院學(xué)報，2007，23（6）：99-10