基于EEMD-NExT的低頻振蕩主導模式工況在線辨識與預警

汪頌軍，劉滌塵，廖清芬，周雨田，王亞俊，王乙斐，趙一婕

（武漢大學 電氣工程學院，湖北 武漢 430072）

0 引言

隨著全國聯(lián)網(wǎng)程度的不斷加深，低頻振蕩日益成為危及電網(wǎng)安全穩(wěn)定運行的突出問題之一?；谙到y(tǒng)日常運行工況下的實測軌跡進行的低頻振蕩模式在線辨識，對于低頻振蕩的在線監(jiān)測、預警、控制器設計、系統(tǒng)阻尼優(yōu)化等具有重要意義[1-3]。

目前對電力系統(tǒng)低頻振蕩進行分析一般基于系統(tǒng)擾動后的響應軌跡，常用的方法有傅里葉變換、ARMA算法、Prony分析、小波算法、希爾伯特-黃變換（HHT）、旋轉(zhuǎn)不變技術（ESPRIT）等[4-6]，已有研究證明這些方法均能較準確地辨識出系統(tǒng)的模式信息。但是這類辨識方法均需對系統(tǒng)施加激勵，只能在系統(tǒng)發(fā)生振蕩后辨識出當時的系統(tǒng)特性，作出告警，并不能給出系統(tǒng)正常運行狀態(tài)下的模式信息，也無法實現(xiàn)“全天候”監(jiān)控和真正意義上的預警[7-8]。近年來基于環(huán)境激勵的模式辨識研究已在橋梁、建筑、汽輪機、飛機等[9]領域展開，電力領域也逐步開展了一些研究：文獻[10]探討了工況模式分析在低頻振蕩辨識中的應用，論述了電力系統(tǒng)低頻振蕩和一般振動力學數(shù)學模型的相似性；文獻[7]通過系統(tǒng)建模證明了負荷波動作為激勵信號的可行性，以上研究為工況模式分析在電力系統(tǒng)的應用做好了鋪墊。自然激勵技術 NExT（Natural Excitation Technique）[9，11-12]是工況模式分析的有效方法，它可以避免傳統(tǒng)模式辨識人工激勵給電力系統(tǒng)帶來的傷害，實現(xiàn)系統(tǒng)在工況下的在線模式識別，其在電力領域僅在文獻[13]中有應用，值得更進一步的研究。

集合經(jīng)驗模式分解EEMD（Ensemble Empirical Mode Decomposition）[14-15]是經(jīng)驗模式分解 EMD（Empirical Mode Decomposition）的發(fā)展，既繼承了EMD的優(yōu)點，同時通過向原始信號添加白噪聲改善了模式混疊問題。它是一種自適應的分析方法，適合處理工程中的非線性、非平穩(wěn)信號。

基于此，本文將NExT與EEMD結合，提出一種適合于工況下的低頻振蕩主導模式辨識方法。首先通過EEMD將工況下的實測時變信號分解為若干個單自由度的本征模式，憑借EEMD時空濾波器、互相關系數(shù)和能量權重比篩選出真實主導模式分量，然后通過NExT求互相關函數(shù)以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的脈沖響應，至此就實現(xiàn)了工況下把非平穩(wěn)的多自由度系統(tǒng)的模式辨識問題轉(zhuǎn)化為單自由度系統(tǒng)的脈沖響應辨識問題，最后對互相關函數(shù)分別通過Teager能量算子TEO（Teager Energy Operator）求出模式幅值和頻率、能量分析求阻尼比、峰值法求相位。

1 EEMD

1.1 EEMD原理

為了改善EMD出現(xiàn)的模式混疊現(xiàn)象，Wu Zhaohua等提出了EEMD方法，其本質(zhì)是一種疊加高斯白噪聲的多次EMD。下面介紹EEMD的步驟。

a.產(chǎn)生N條隨機正態(tài)分布的白噪聲ni（t）分別加入到原始信號 x（t）中，得每次加噪后的信號 xi（t）為：

b.對每條加噪后的信號 xi（t）進行 EMD，得：

其中，cij（t）為第i次加入高斯白噪聲后分解得到的第 j個本征模式函數(shù)（IMF）分量；ri（t）為對 xi（t）進行EMD后的余項。

c.將N組分解結果中對應的IMF分量求均值，則：

其中，cj（t）為對原始信號進行EEMD得到的第 j個IMF 分量；r（t）為余項。

EEMD算法流程如圖1所示。

圖1 EEMD算法流程圖Fig.1 Flowchart of EEMD algorithm

1.2 EEMD時空濾波器

EEMD得到的IMF分量頻率由大到小，利用這點本文基于EEMD構造時空濾波器組（TFB），其濾波信號為：

其中，x?（t）為濾波器輸出信號；l，h?[1，M]。

當l=1且h＜M時，TFB為高通濾波器；當 l＞1且h=M 時，TFB為低通濾波器；當 1＜l≤h＜M時，TFB為帶通濾波器。

1.3 互相關系數(shù)

原始信號經(jīng)EEMD所得的IMF分量中常包含一些虛假分量，而這些虛假分量與原始信號無關且不能反映原始信號的特征，因此有必要將其辨別出來并予以剔除?；诨ハ嚓P系數(shù)來判斷IMF分量的真?zhèn)问且环N行之有效的方法，通過求取分解后的各IMF分量與原始信號的互相關系數(shù)，假定互相關系數(shù)很小的對應IMF分量為偽分量。設2個時間序列 x（n）、y（n），它們的互相關系數(shù) ρxy的表達式如式（6）所示。

互相關系數(shù)只是一個比率，不是等單位量度，互相關系數(shù)的正負號只表示相關的方向，絕對值表示相關的程度。

1.4 信號能量權重

電力系統(tǒng)低頻振蕩大多是多個模式的組合，其中阻尼比小且振蕩幅度大的主導模式特征信息是電力工作者最為關心的。當信噪比足夠大時以信號能量作為定性分析指標，從EEMD結果中經(jīng)過濾波去偽后提取真實模式中能量權重最大的一個IMF分量作為主導模式加以分析。

信號x的能量表達式為：

其中，t0、t1分別為仿真開始和結束的時刻。

信號能量權重比定義為：

其中，Ef（i）為真實模式中第 i個 IMF 分量的能量；m為真實模式IMF分量的總個數(shù)。

2 NExT

NExT是由JAMES等提出的一種適合于環(huán)境激勵的時域模式參數(shù)辨識方法，它的基本思想為：線性系統(tǒng)在白噪聲環(huán)境激勵下，結構中2點之間響應的互相關函數(shù)和脈沖響應函數(shù)有相似的表達式，求得互相關函數(shù)之后就可以運用時域模式辨識方法對其進行辨識。

對于自由度為Q的線性系統(tǒng)，于系統(tǒng)k點處加激勵 fk（t），則系統(tǒng) i點的響應 xik（t）為：

其中，φir為第i測點的第r階模式振型；akr為僅與激勵點k和模式階次r有關的常數(shù)項；λr為系統(tǒng)的第r階特征值。

根據(jù)振動模式理論，當系統(tǒng)的k點受到單位脈沖激勵時，則系統(tǒng)i點的脈沖響應函數(shù)hik（t）為：

當系統(tǒng)k點處受到激勵fk（t）時，系統(tǒng)i點和j點的響應 xik（t）和 xjk（t）的互相關函數(shù)為：

其中，E[·]表示求期望。

假定激勵f（t）是理想白噪聲，根據(jù)相關函數(shù)的定義，則有：

其中，δ為單位脈沖激勵；ak為僅與激勵點k有關的常數(shù)項。

將式（12）代入式（11）并積分，得：

對式（13）的積分部分進行計算并化簡，得：

將式（14）代入式（13），得：

對式（15）做進一步的化簡，經(jīng)整理得：

其中，bjr為僅與參考點j和模式階次r有關的常數(shù)項。

對比式（16）和式（10），可以發(fā)現(xiàn)兩者的數(shù)學表達式在形式上是完全一致的，因此互相關函數(shù)具有和系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)同樣的性質(zhì)，可與其他模式辨識方法結合起來進行環(huán)境激勵下的模式識別。

3 低頻振蕩主導模式識別

3.1 模式識別

3.1.1 Teager能量算子

Teager能量算子[16-18]具有健壯性和快速響應能力，能迅速跟蹤信號的幅值和頻率。

設幅值和頻率均時變的工程信號為：

由文獻[17]可知信號xn的瞬時數(shù)字角頻率、實際頻率、幅值分別為：

EEMD得到的IMF分量頻率變化非常小，由于邊際效應兩端數(shù)據(jù)存在誤差，計算過程中取合適的中間段數(shù)據(jù)求均值。

3.1.2 能量分析法

信號能量分析法[19]的原理是基于阻尼耗散能量思想，可將阻尼特性從用半周期能量描述的物理過程中提取出來。

振蕩信號x（t）的半周期能量定義為：

其中，ti為某一過零點時刻；Td為振蕩周期。

文獻[19]已給出信號 x（t）的阻尼比 ξ為：

3.1.3 峰值法

由文獻[20]可知，已知頻率f和阻尼比ξ后，相位θ為：

其中，T（j）為信號的最大正峰值時間；S為最大正峰值個數(shù)；-π≤θ≤π。

將 j=1，2，…，S 代入式（24），可得：

由于-π≤θ≤π，可得：

由于g取整數(shù)，故可由式（26）確定g值，然后根據(jù)式（25）得到相位角。

3.2 基于EEMD-NExT的主導模式識別與預警

基于EEMD-NExT的低頻振蕩主導模式工況在線辨識與預警流程如圖2所示，具體步驟如下：

a.通過WAMS平臺獲取系統(tǒng)正常運行下的2個信號并對其進行預處理，然后分別作EEMD；

b.對EEMD得到的IMF分量由EEMD濾波器設置閾值獲取低頻振蕩范圍內(nèi)的分量；

c.利用互相關系數(shù)識別所得分量的真假，將虛假模式予以剔除，得到真實模式；

圖2 基于EEMD-NExT的低頻振蕩主導模式辨識與預警Fig.2 Identification and warning of low-frequency oscillation dominant mode based on EEMD-NExT

d.借助能量權重比對所得的真實模式分量進行排序，選擇能量權重比最大的分量作為主導模式分量；

e.通過NExT對2個主導模式分量求互相關函數(shù)，將其作為主導模式辨識的信號；

f.對所得互相關函數(shù)分別通過Teager能量算子求時變幅值、時變頻率，通過能量分析求取阻尼比，時域峰值法求相位；

g.比較主導模式阻尼比與預警閾值大小，判斷系統(tǒng)是否發(fā)出告警。

4 算例仿真

4.1 數(shù)值信號算例

取復合數(shù)值信號

驗證EEMD的抗模式混疊效果，以及依據(jù)相關系數(shù)甄別虛假模式的有效性和本文模式識別方法的可行性。

信號xx的EEMD結果如圖3所示。設定EEMD時空濾波器的閾值，此處設置帶通濾波頻率范圍為0.1～2 Hz，得到 imf7、imf8、imf9、imf10 這 4 個 IMF 分量，求取它們與原信號xx的相關系數(shù)如表1所示，并根據(jù)本文模式識別方法辨識各分量的模式特征，結果如表2所示。

由表1可知，imf7和imf10的互相關系數(shù)均小于0.4；imf8和imf9的互相關系數(shù)分別為0.6469、0.9152，均比較大。由此判定imf7和imf10分量為偽分量。比較表2中imf7、imf8的模式信息和表3模式2的理論值可知，盡管兩者頻率很接近，但imf8的其他模式信息更接近理論值，由此進一步驗證了imf 7為虛假模式；表2中imf10的頻率為0.1638Hz，真實模式中并不存在該分量，可見根據(jù)互相關系數(shù)判斷imf10為虛假分量是有效的。表3為2個真實模式的理論值和本文方法的辨識結果，本文方法辨識誤差較小，是一種低頻振蕩模式辨識的有效方法。

4.2 EPRI-36節(jié)點算例

本文選取電科院的EPRI-36節(jié)點系統(tǒng)作為仿真算例，驗證本文方法在多機系統(tǒng)研究中的有效性。

為了比較真實地模擬系統(tǒng)工況運行的特點，本文選擇負荷隨機擾動作為環(huán)境激勵，分別在負荷9、19和20上設置幅度為0.2 p.u.的功率隨機波動。文獻[21]表明通過等值單機曲線可以很好地提取出主導振蕩信息，為此根據(jù)擴展等面積準則（EEAC）理論對系統(tǒng)進行分群得，機組 1、2、3、4、5、7、8 為 S 群，機組6為A群，分別求取S群和A群的慣量中心δS、δA，并對它們添加λSNR=20 dB的高斯白噪聲以盡可能地再現(xiàn)工程實際中信號受噪聲干擾的特點。分別對加了高斯白噪聲的 δS和 δA進行 EEMD，此處限于篇幅僅給出δS的EEMD效果圖，如圖4所示。

圖3 xx及EEMD效果圖Fig.3 xxand its EEMD results

表1 EEMD時空濾波后的IMF分量互相關系數(shù)Table 1 Cross-correlation coefficient of IMF components after EEMD spatiotemporal filtering

表2 EEMD時空濾波后的IMF分量模式信息Table 2 Mode information of IMF components after EEMD spatiotemporal filtering

表3 本文方法辨識結果與理論值比較Table 3 Comparison between results identified by proposed method and theoretical values

圖4 δS的 EEMD 效果圖Fig.4 δSand its EEMD results

區(qū)間振蕩模式較本地振蕩模式危害更大，其頻率范圍為0.1～1Hz，將該范圍留足裕度后設置為EEMD時空濾波器的帶通范圍，求取濾波后的各IMF分量的互相關系數(shù)見表4。對imf6、imf7求取信號能量后，并計算其能量權重比從而可得能量權重排序，結果如表4所示，可知imf6為主導模式。

取δS和δA中對應的主導模式通過NExT求取互相關函數(shù)如圖5所示，再對其通過Teager能量算子求取主導模式頻率，通過能量分析求阻尼比。表5列出了本文方法、EMD-TEO-能量分析算法[18]、Prony 算法、小干擾分析主導模式辨識結果，其中EMD-TEO-能量分析算法和Prony算法的辨識結果均為對發(fā)電機7與發(fā)電機1的相對功角信號加噪20 dB后辨識所得，采樣頻率均為100 Hz。

表4 EEMD時空濾波后的IMF分量互相關系數(shù)Table 4 Cross-correlation coefficient of IMF components after EEMD spatiotemporal filtering

圖5 NExT法得到的互相關函數(shù)Fig.5 Cross-correlation function by NExT method

表5 4種方法對含噪信號辨識結果對比Table 5 Comparison of identification results among four methods for signal with noise

由表5可知，當噪聲為20 dB時，4種方法均能辨識出EPRI-36節(jié)點系統(tǒng)的主導模式，本文方法和EMD-TEO-能量分析的辨識結果精度均高于傳統(tǒng)的Prony算法。本文方法的辨識結果更接近理論值，具有良好的抗噪性能，相比其他辨識方法無需人工激勵，是一種能有效在線辨識工況模式的方法。一般認為，機電振蕩模式的阻尼比小于0.03時系統(tǒng)會發(fā)生低頻振蕩失穩(wěn)，故本文設置預警閾值為0.03，由辨識得到的主導模式阻尼比在閾值以下，此時系統(tǒng)發(fā)出告警須采取有效控制措施。

5 結論

a.EEMD與傅里葉變換、Prony分析等傳統(tǒng)辨識方法相比，更適合處理實際工程中的非線性、非平穩(wěn)工況信號，無需考慮定階問題，同時抗噪能力強且能改善模式混疊現(xiàn)象。

b.通過EEMD時空濾波器對IMF分量濾波可以得到低頻振蕩工作范圍內(nèi)的信號，互相關系數(shù)能將虛假模式從真實模式中辨識出來并將其從中剔除，能量權重排序能找出主導模式分量。

c.本文采用了NExT，它是環(huán)境激勵模式識別的有效方法，避免了傳統(tǒng)模式辨識方法需人工激勵給電力系統(tǒng)安全帶來的危害，辨識出的模式參數(shù)更符合實際情況。

d.本文方法可以實時快速地跟蹤提取系統(tǒng)的主導模式信息，因此其在基于WAMS實測數(shù)據(jù)的低頻振蕩分析、在線監(jiān)測、預警及阻尼控制器設計等方面具有較好的實際應用價值。