基于隨機(jī)理論的武器系統(tǒng)數(shù)量需求及邊際效用分析

張慶捷， 趙 瑾， 張 杰， 鄭 斌

（陸軍軍官學(xué)院 炮兵系，安徽 合肥230031）

武器裝備作戰(zhàn)需求是指在未來(lái)一定時(shí)期內(nèi)，為完成所擔(dān)負(fù)的作戰(zhàn)任務(wù)而對(duì)武器裝備建設(shè)的基本要求。它包括了對(duì)武器裝備質(zhì)量需求、數(shù)量需求、體系需求，以及對(duì)裝備的保障需求。具體到一個(gè)完整的作戰(zhàn)過程，其底層是對(duì)武器裝備的數(shù)量和主要戰(zhàn)技性能指標(biāo)的需求［1－4］。

本文以火力打擊武器系統(tǒng)為研究對(duì)象，利用隨機(jī)理論方法，從作戰(zhàn)過程中狀態(tài)轉(zhuǎn)移出發(fā)，研究了該武器系統(tǒng)的數(shù)量需求及邊際效用的變化趨向。

1 作戰(zhàn)過程描述

現(xiàn)代作戰(zhàn)中，火力打擊的一般過程為“偵察—信息處理與決策—火力打擊”的循環(huán)過程，循環(huán)中止條件是打擊任務(wù)變更或超時(shí)?？紤]到作戰(zhàn)過程中的隨機(jī)性，該過程可用如圖1所示的事件描述。

圖1 火力打擊一般過程的事件簡(jiǎn)化圖

圖1中，對(duì)于事件1，用Ai表示第i個(gè)目標(biāo)區(qū)域，且i＝1，2，…，m；設(shè)PAi（t）為t時(shí)刻目標(biāo)出現(xiàn)在第i個(gè)目標(biāo)區(qū)域的概率。對(duì)于事件2，用Bj表示第j種偵察手段，且j＝1，2，…，n；設(shè)PBj（t）為t時(shí)刻第j種偵察手段發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率。對(duì)于事件3，用C表示指揮控制中心，設(shè)PC（t）為t時(shí)刻指揮控制中心正常工作的概率。對(duì)于事件4，用Dk表示武器系統(tǒng)的第k個(gè)戰(zhàn)技性能指標(biāo)，且k＝1，2，…，l；設(shè)PDk（t）為t時(shí)刻第k個(gè)戰(zhàn)技性能指標(biāo)符合作戰(zhàn)要求的概率。對(duì)于事件5，用Uo表示武器系統(tǒng)的第o個(gè)作戰(zhàn)單元，且o＝1，2，…，s；設(shè)PUo（t）為t時(shí)刻武器系統(tǒng)第o個(gè)作戰(zhàn)單元進(jìn)行火力打擊的概率。

此外，設(shè)各事件進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移的跳躍強(qiáng)度如下：wij為第j種偵察手段發(fā)現(xiàn)目標(biāo)位于第i個(gè)目標(biāo)區(qū)域時(shí)的可靠性；aij為第j種偵察手段發(fā)現(xiàn)目標(biāo)位于第i個(gè)目標(biāo)區(qū)域時(shí)的概率；wj為第j種偵察手段將信息傳輸至指揮控制中心時(shí)的可靠性；bj為第j種偵察手段將信息傳輸至指揮控制中心時(shí)的概率；wk為指揮控制中心判斷、決策第k個(gè)戰(zhàn)技性能指標(biāo)符合作戰(zhàn)要求時(shí)的可靠性；ck為指揮控制中心判斷、決策第k個(gè)戰(zhàn)技性能指標(biāo)符合作戰(zhàn)要求時(shí)的概率；wko為武器系統(tǒng)第o個(gè)作戰(zhàn)單元的第k個(gè)戰(zhàn)技性能指標(biāo)符合作戰(zhàn)要求時(shí)的可靠性；dko為武器系統(tǒng)第o個(gè)作戰(zhàn)單元的第k個(gè)戰(zhàn)技性能指標(biāo)符合作戰(zhàn)要求時(shí)的概率；woi為武器系統(tǒng)第o個(gè)作戰(zhàn)單元對(duì)第i個(gè)目標(biāo)區(qū)域的火力打擊時(shí)的可靠性；eoi為武器系統(tǒng)第o個(gè)作戰(zhàn)單元對(duì)第i個(gè)目標(biāo)區(qū)域火力打擊時(shí)的概率。

2 基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移的數(shù)量需求構(gòu)模與求解

根據(jù)圖1，由柯爾莫哥洛夫方程得［5－7］

考慮到PUo（t）的衡量對(duì)象是武器系統(tǒng)作戰(zhàn)單元，記武器系統(tǒng)作戰(zhàn)單元的數(shù)量需求函數(shù)為Q（t），由數(shù)學(xué)期望可得

顯然，Q（t）要求確定PDk（t）。根據(jù)圖1，PDk（t）取決于PAi（t）、PBj（t）和PC（t）。由式（1）可得（過程略）以下關(guān)系式。

1）PAi（t）。

2）PBj（t）。

3）PC（t）。

其中，記，Ψ（r）為

3 計(jì)算結(jié)果與邊際效用分析

3.1 計(jì)算結(jié)果

根據(jù)式（2）～式（7），PAi（t）、PBj（t）、PC（t）、PDk（t）和Q（t）的計(jì)算結(jié)果分別對(duì)應(yīng)于圖2～圖9。

考慮到woi的含義和eoi的條件概率本質(zhì)，視woi·eoi為武器系統(tǒng)第o個(gè)作戰(zhàn)單元對(duì)第i個(gè)目標(biāo)區(qū)域的火力打擊效能。其中，woi為服從負(fù)指數(shù)分布（λ＝1）的偽隨機(jī)數(shù)，考慮到作戰(zhàn)的一般情況，eoi的取值范圍為［0.3，0.9］。

圖2 火力打擊效能隨PA1（t）的變化

圖3 火力打擊效能隨PAi（t）的變化（i＝2，3，…，m）

圖4 火力打擊效能隨PB1（t）的變化

圖5 火力打擊效能隨PBj（t）的變化（j＝2，3，…，n）

圖6 火力打擊效能隨PC（t）的變化

圖7 單偵察手段下火力打擊效能隨PD1（t）的變化

圖8 多偵察手段下火力打擊效能隨PDk（t）的變化（k＝2，3，…，l）

圖9 數(shù)量需求Q（t）隨火力打擊效能的變化

4.2 邊際效用分析

依據(jù)圖2～圖9，就邊際效用（單位數(shù)量武器系統(tǒng)對(duì)火力打擊效能影響的變化量）而言，有如下結(jié)論。

結(jié)論1 增加武器系統(tǒng)數(shù)量對(duì)火力打擊效能具有補(bǔ)償作用，但補(bǔ)償變化率是有區(qū)分的。圖9所示，當(dāng)火力打擊效能較低時(shí)，數(shù)量的邊際效用高；反之，邊際效用低。因此，在數(shù)量上存在臨界值。在實(shí)際作戰(zhàn)中，應(yīng)依據(jù)武器系統(tǒng)的數(shù)量和實(shí)時(shí)戰(zhàn)技性能，合理確定射擊任務(wù)，而不能過分強(qiáng)調(diào)較高的火力打擊效能。

結(jié)論2 武器系統(tǒng)是否具備精確打擊能力是數(shù)量的邊際效用之分水嶺。圖9中各曲線的拐點(diǎn)之橫坐標(biāo)（火力打擊效能）均近似為0.5。根據(jù)當(dāng)前及將來(lái)火力打擊所呈現(xiàn)出的“命中即毀傷”之特點(diǎn)和趨勢(shì)，它在數(shù)值上也是武器系統(tǒng)的命中概率，這正是精確打擊對(duì)命中概率的基本要求。因此，當(dāng)武器系統(tǒng)具備精確打擊能力時(shí)，數(shù)量的邊際效用低；反之，邊際效用高。

結(jié)論3 提高武器系統(tǒng)戰(zhàn)技性能對(duì)火力打擊效能具有補(bǔ)償作用，但補(bǔ)償變化率也是有區(qū)分的。圖9所示，當(dāng)武器系統(tǒng)作戰(zhàn)單元的數(shù)量較少時(shí)，戰(zhàn)技性能的邊際效用高；反之，邊際效用低。因此，在戰(zhàn)技性能上存在臨界值。在實(shí)際作戰(zhàn)中，應(yīng)依據(jù)射擊任務(wù)的具體要求和武器系統(tǒng)的實(shí)時(shí)戰(zhàn)技性能，合理確定數(shù)量，而不是一味地增加數(shù)量投入。

結(jié)論4 依據(jù)作戰(zhàn)過程，影響火力打擊效能的因素是多元、復(fù)雜的，而不僅是武器系統(tǒng)本身。圖2～圖8表明：目標(biāo)出現(xiàn)概率、發(fā)現(xiàn)目標(biāo)概率、指揮控制中心正常工作概率和戰(zhàn)技性能指標(biāo)符合作戰(zhàn)要求的概率對(duì)火力打擊效能均有不同程度的貢獻(xiàn)率，這也正是體系作戰(zhàn)的基本特征之一。因此，在裝備建設(shè)中應(yīng)突出體系的協(xié)調(diào)發(fā)展，突出信息系統(tǒng)對(duì)體系作戰(zhàn)能力生成的影響。

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