拓展思路 提高能力

　　 如何以點帶面地評講典型試題，幫助學(xué)生將知識進(jìn)一步理解鞏固、深化提高，落實雙基，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，這是教師必須認(rèn)真研究的以一當(dāng)十、授人以漁的問題。下面以一考試題為例，簡單談?wù)勎业囊娊狻?br/>　　 題目：如圖1，CD與圓O相切于點C，AB是圓O的直徑若∠ACD=30°，則∠A=____。
　　 思路一：因已知弦切角，故易知弦切角所夾弧的度數(shù)，故可考慮對那些圓周角、圓心角。另一方面所求角等所對弧度數(shù)的一半，故也可思考求之度數(shù)。這都是由角及弧、由弧及角的常用思路。
　　 解法①（如圖1），∵∠ACD=30°， ∴= 60° ， ∴= 120°，∠A = 60°。
　　 解法②（如圖2），連OC， ∵∠ACD=30°，∴=60°，∴∠COA=60°，又∵OC=OA ∴∠A =∠ACO =60°。
　　 解法③（如圖3）連BC， ∵∠ACD=30°，∴=60°，∴∠B=30°。
　　 又BA為圓O的直徑，故∠BCA =90°∴∠A=60°
　　 思路二：因為已知圓心、切點，故可嘗試連接它們，嘗試應(yīng)用切線性質(zhì)定理。
　　 解法④（如圖2）連OC，∵CD與圓O相切與點C ∴OC⊥CD，∴∠OCA= 90°-∠ACD=60°，又OC =OA，∴∠A =60°。
　　 思路三：因為已知直徑，故可嘗試找出或作出直徑所對的圓周角，嘗試應(yīng)用定理“直徑所對圓周角是直角”解法同于上述解法③。
　　 思路四：因有已知弦CA 和圓O，故可過圓O作出弦CA 的垂直線段，再嘗試應(yīng)用垂徑定理（參見圖4），利用軸對稱性質(zhì)將待求的∠A轉(zhuǎn)移至求對稱角∠OCA=？解法可同于上述解法②。
　　 思路五：因為已知直徑的兩端點，故可嘗試分別過這兩端點作圓O的切線，嘗試應(yīng)用定理“過直徑兩端點作出的切線互相平行”。（如圖5）
　　 或者，過直徑其中一個端點如A點，作圓O的切線，再與已知的切線一起，嘗試應(yīng)用“切線長定理”。
　　 解法⑤（如圖6），過點A作圓O的切線交CD于E，則EC=EA。
　　 ∴∠EAC=∠ACE=30°。
　　 又∵BA⊥AE ， ∴∠BAC=90°-∠CAE=60°。
　　 解法⑥（如圖7）過點C作BA的垂線交于BA于E，交圓O于F，嘗試套用習(xí)題的重要結(jié)論∠ECA=∠ACD=30°，在Rt△ECA中，∠A=60°。
　　 事實上，這幾種思路都是基礎(chǔ)和經(jīng)常用的，可以引導(dǎo)學(xué)生歸納如下，并馬上用作指導(dǎo)后面兩道“變題”。
　　 （1）“角與弧的度數(shù)替換”（如思路一）。
　　 （2）“連接圓心與切點”（如思路二）。
　　 （3）“由直徑找直角”（如思路三）。
　　 （4）“已知弦上找垂徑”（如思路四）。
　　 （5）“直徑（或半徑）外端作切線”“切線配切線”（如思路五）。
　　 變題一：（如圖8），CD與圓O 相切于點C，AB是圓O直徑，若∠A=60°，則∠ACD等于 度。
　　 變題二：（如圖9）；CD與圓O切于點C，若∠A=60°，∠ACD=30°，求證AB是圓的直徑。
　　 我別出心裁地評講這一特例是有更深一層的意境：
　　 因為數(shù)學(xué)教學(xué)的基點是面向全體學(xué)生，使他們畢業(yè)之后不論從事何種職業(yè)都會終身受益，這是中學(xué)數(shù)學(xué)教育功能所決定的。要做到這一點，就應(yīng)該在傳授數(shù)學(xué)知識的同時，還要傳授數(shù)學(xué)的精神及其思想方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展思維能力。通過數(shù)學(xué)教學(xué)，教給學(xué)生思維方法、工作方法、解決問題的方法，這是高層次數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)。
　　 我用這“五思路、六解法”充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)思想與方法。如思路一、思路二、思路三是新知識的遷移和應(yīng)用。思路四、思路五是對“發(fā)散性思維”的探索，以增強(qiáng)學(xué)生對“舊”知識的遷移能力，達(dá)到解決問題的目的。
　　 總之，這一特例的評講，注重促進(jìn)學(xué)生對新知識的遷移和應(yīng)用，重視思維發(fā)散能力的練習(xí)和原型變異練習(xí)，把課堂的美感、數(shù)學(xué)的靈活應(yīng)用、數(shù)學(xué)的思想、數(shù)學(xué)的方法等發(fā)揮得淋漓盡致，既有利于培養(yǎng)學(xué)生的廣闊性、靈活性和創(chuàng)造性，又鞏固增強(qiáng)了數(shù)學(xué)在學(xué)生心目中的“魅力”，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生更加熱愛數(shù)學(xué)。
　　 （河源市連平縣高莞中學(xué)）