“眾妙之門”

　　概述
　　摘要
　　本項(xiàng)目主要是初等數(shù)學(xué)原理在電子密碼鎖上應(yīng)用的研究，利用“3個(gè)不同點(diǎn)確定唯一的一元二次函數(shù)”這一數(shù)學(xué)原理，來設(shè)計(jì)電子門禁裝置，使得至少3位有效密碼持有者同時(shí)在場才可開啟門禁電子鎖。同時(shí)，應(yīng)用數(shù)論中的算術(shù)基本定理——每個(gè)大于1的正整數(shù)都可以唯一地表示成質(zhì)數(shù)的乘積——來管理使用者的開門權(quán)限。實(shí)踐方面，我們使用Visual Basic來編寫該系統(tǒng)的軟件部分，并利用“USB多功能I/O開發(fā)板”、“S70射頻卡”和自制電子門實(shí)現(xiàn)硬件部分。當(dāng)門禁系統(tǒng)通過USB接口同時(shí)讀取3張不同的有效射頻卡時(shí)，電子門方可自動(dòng)打開。所謂三人為眾，再加上本原理巧妙地利用了一些數(shù)學(xué)原理，所以我們引用老子的《道德經(jīng)》中的“眾妙之門”來命名該門禁裝置。
　　問題提出
　　學(xué)期開學(xué)之初，老師告訴我們，為了更好地利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，所以希望每次進(jìn)入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的同學(xué)至少3位或更多。鑒于傳統(tǒng)門禁鎖的使用難以滿足至少3人才可進(jìn)入實(shí)驗(yàn)室的條件，而且每個(gè)學(xué)期又都要有新的同學(xué)進(jìn)入實(shí)驗(yàn)室，電子密碼也需要不斷更新……所以我們便有了設(shè)計(jì)一個(gè)專門的門禁裝置的想法。
　　研究假設(shè)
　　可不可以利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來設(shè)計(jì)滿足老師要求的密碼鎖呢？如果可以，那么它要具有以下功能：
　　門禁系統(tǒng)要具備管理彈性，因?yàn)槊總€(gè)學(xué)期數(shù)學(xué)班同學(xué)的人數(shù)和人員組成都不一樣；
　　任意3位持有有效密碼的數(shù)學(xué)班的同學(xué)同時(shí)在場，均可以打開該門禁系統(tǒng)；
　　密碼應(yīng)當(dāng)不容易破解又可以在每個(gè)學(xué)期支持更新；
　　門禁系統(tǒng)的使用過程中，不需要修改內(nèi)置程序。
　　表1
　　
　　密碼原理
　　密碼的產(chǎn)生
　　密碼由管理班級(jí)的老師制作并派發(fā)。老師首先在心中想定一個(gè)形如f(x)=Ax2+Bx的二次函數(shù)式，A與B兩個(gè)系數(shù)由老師選定。例如令A(yù)=1，B=2。每個(gè)學(xué)生各派發(fā)給一個(gè)密碼。為方便闡明原理，我們令密碼由2組數(shù)字（每組3位）組成，第一組數(shù)字是他在數(shù)學(xué)班的學(xué)號(hào)并記為x，第2組數(shù)字就是f（x）并記為y。設(shè)一班有12人，則學(xué)號(hào)（密碼前3位）就是001至012，后3位也易算得。12位同學(xué)使用的最終密碼如表1。
　　密碼鎖的使用
　　假如學(xué)號(hào)是001、002及003共3位同學(xué)要進(jìn)入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，則當(dāng)2位同學(xué)正確地輸入他們的密碼后，密碼鎖就能求出老師用來產(chǎn)生密碼的系數(shù)A和B。假如002及003兩位同學(xué)輸入密碼后，密碼鎖就知道老師想定的二次函數(shù)經(jīng)過（0，0）、（2，8）和（3，15）3點(diǎn)，因而這個(gè)二次函數(shù)是唯一的。解方程組
　　4A+2B=8 9A+3B=15
　　就可求出A和B的值即是1和2。所以
　　f（x）=x2+2x
　　最后001同學(xué)輸入他的密碼，密碼鎖就利用所求得的二次函數(shù)驗(yàn)證所輸入密碼是否由該函數(shù)產(chǎn)生。如果是，就開鎖；否則，保持上鎖狀態(tài)。如果002及003同學(xué)輸入錯(cuò)誤的密碼，解出來的A和B就不會(huì)是1和2。所以當(dāng)001同學(xué)輸入他的密碼后，當(dāng)系統(tǒng)檢測到此密碼并不是由它求得的函數(shù)產(chǎn)生時(shí)，密碼鎖也會(huì)保持上鎖狀態(tài)。
　　這個(gè)鎖有一個(gè)很大的優(yōu)點(diǎn)，就是A和B不會(huì)留在鎖上，這使得它十分安全。等到下學(xué)期時(shí)，老師就可以更新A和B，大家開始使用新的密碼。而密碼鎖內(nèi)的程序設(shè)置，一點(diǎn)都不必改變或更新。
　　實(shí)際操作中，計(jì)算機(jī)無須每次都解方程，而是利用拉格朗日函數(shù)的特點(diǎn)直接算出A和B。
　　系統(tǒng)權(quán)限管理
　　在權(quán)限管理方面，我們應(yīng)用了算術(shù)基本定理，它又稱為質(zhì)數(shù)的唯一分解定理，即：
　　每個(gè)大于1的自然數(shù)均可寫為質(zhì)數(shù)因子的積，而且這些質(zhì)因子按大小排列之后，寫法僅有一種方式。
　　于是系統(tǒng)將第i個(gè)學(xué)號(hào)對(duì)應(yīng)為第i個(gè)質(zhì)數(shù)來存儲(chǔ)，即序號(hào)為004和005的同學(xué)對(duì)應(yīng)第4和第5個(gè)質(zhì)數(shù)7和11。當(dāng)管理老師要禁止這2位同學(xué)進(jìn)入實(shí)驗(yàn)室時(shí)，門禁系統(tǒng)會(huì)存儲(chǔ)7和11的乘積（77），若77可以被學(xué)號(hào)對(duì)應(yīng)的質(zhì)數(shù)整除時(shí)，則系統(tǒng)不接受開門請(qǐng)求。
　　系統(tǒng)功能實(shí)現(xiàn)
　　硬件部分
　　電子門禁系統(tǒng)使用Visual Basic來編寫該系統(tǒng)的應(yīng)用程序的主要功能，而此程序由一臺(tái)筆記本電腦執(zhí)行。該電腦的一個(gè)USB接口連接射頻卡的讀寫機(jī)（見圖1），而另一USB接口連接一個(gè)多功能I/O（輸入／輸出）開發(fā)板（見圖2）。開發(fā)板接收到控制電腦傳來的開門信號(hào)后，電磁鐵通電后吸起門閂，就可以開門。
　　軟件部分
　　系統(tǒng)的應(yīng)用程序是在Windows XP環(huán)境下執(zhí)行，主要分為卡片注冊(cè)、卡片管理和卡片讀取等3個(gè)功能。管理操作界面如圖3所示。
　　卡片注冊(cè)。模塊主要依據(jù)密碼設(shè)計(jì)原理，由老師自定KEY A和KEY B來生成注冊(cè)學(xué)生的注冊(cè)密碼，并輸入注冊(cè)學(xué)生的組號(hào)、組別和設(shè)定的有效期限。然后系統(tǒng)利用讀寫機(jī)將密碼及其他資料寫在該生的射頻卡上，其功能的操作界面如圖4所示。?其中Channel及Baud都是連接讀寫機(jī)的USB設(shè)定，每部電腦都可能不一樣，要正確填寫，讀寫機(jī)才可正常工作。而Card ID代表卡片的唯一序號(hào)。管理老師可以在該界面的密碼參數(shù)設(shè)定區(qū)域輸入有效期限和所設(shè)定的一元二次函數(shù)的系數(shù)A（KEY A）和B（KEY B）的值，然后點(diǎn)擊“生成密碼”鍵生成該卡片的密碼，然后點(diǎn)擊“寫入密碼”將所生成的密碼寫入對(duì)應(yīng)的卡片。這個(gè)界面還同時(shí)提供“回首頁”按鍵，以供管理老師返回首頁進(jìn)行相應(yīng)操作。
　　卡片讀取。當(dāng)3個(gè)或3個(gè)以上的學(xué)生請(qǐng)求進(jìn)入實(shí)驗(yàn)室時(shí)，可以通過讀卡功能將所持有的密碼卡儲(chǔ)存的密碼提供給門禁系統(tǒng)，由門禁系統(tǒng)根據(jù)所讀入的密碼的正誤情況選擇打開和繼續(xù)保持鎖定。具體操作如下：
　　第1步：讀入前兩位學(xué)生的密碼。
　　第2步：應(yīng)用拉格朗日函數(shù)計(jì)算出注冊(cè)生成這2個(gè)密碼的二次函數(shù)系數(shù)的A和B的值，從而得到該一元二次函數(shù)。
　　第3步：讀入第3位同學(xué)的密碼，滿足第2步所得到的函數(shù)則打開門禁；否則，保持鎖定，并將儲(chǔ)存的函數(shù)清除，并返回第1步。
　　第4步：結(jié)束。
　　具體操作界面如圖5所示。
　　卡片管理。管理老師可利用此功能以通過整組或單個(gè)組員進(jìn)行權(quán)限管理。權(quán)限管理具有兩個(gè)功能：刪除權(quán)限和恢復(fù)權(quán)限，如圖6所示。當(dāng)管理老師要對(duì)整組成員進(jìn)行管理時(shí)，只需將該組組號(hào)輸入對(duì)話框內(nèi)，即可進(jìn)行刪除和恢復(fù)權(quán)限的操作。同理，需要對(duì)單個(gè)組員進(jìn)行管理時(shí)，可以在對(duì)話框內(nèi)輸入該成員的組號(hào)和卡號(hào)，即可進(jìn)行刪除和恢復(fù)權(quán)限的操作。
　　
　　圖3 系統(tǒng)操作主界面
　　
　　圖4 注冊(cè)界面
　　
　　圖5 密碼讀取
　　
　　圖6 權(quán)限管理
　　結(jié)論
　　此項(xiàng)目原理設(shè)計(jì)簡單，性能安全，管理富有彈性，同時(shí)便于實(shí)踐。稍加改動(dòng)便可擴(kuò)展到N人開門系統(tǒng)。與此同時(shí)，此原理的應(yīng)用可以延伸至系統(tǒng)備份、計(jì)算機(jī)安全和審核認(rèn)證等研究領(lǐng)域。在日常的學(xué)習(xí)中，只要我們多吸收、多觀察、多思考，很多知識(shí)就都可以應(yīng)用在我們的生活中。在這里用到的二次函數(shù)性質(zhì)和方法，想來在其他領(lǐng)域，如計(jì)算機(jī)安全上一定也會(huì)很有用。
　　專家評(píng)語
　　本項(xiàng)目巧妙地利用“一元二次函數(shù)曲線被三個(gè)點(diǎn)所決定”的原理，設(shè)計(jì)了一種持有密碼的人群中三個(gè)人輸入密碼才能打開的密碼鎖。選題新穎、恰當(dāng)，是一項(xiàng)優(yōu)秀的初中生科研實(shí)踐。