航天器微振動(dòng)穩(wěn)態(tài)時(shí)域響應(yīng)分析方法

鄒元杰 王澤宇 張志娟 葛東明

（北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094）

1 引言

航天器結(jié)構(gòu)的在軌微振動(dòng)響應(yīng)分析對(duì)于光學(xué)載荷成像質(zhì)量評(píng)估、振動(dòng)控制措施應(yīng)用等都是非常重要的［1-4］。這類分析原則上屬于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的范疇，因此，經(jīng)典的動(dòng)力學(xué)分析理論和方法都適用。然而，航天器在軌的動(dòng)力學(xué)分析有其自身的特殊性：航天器處于自由-自由狀態(tài)，與發(fā)射段的邊界條件差異很大；系統(tǒng)基頻較低（小于1 Hz）；激勵(lì)頻率可以達(dá)到幾百赫茲，有限元模型的精細(xì)程度超過星箭耦合分析模型。這些特點(diǎn)使得常規(guī)的時(shí)程積分?jǐn)?shù)值算法在進(jìn)行時(shí)域響應(yīng)分析時(shí)很不方便。具體說來，存在以下兩個(gè)問題。

（1）由于航天器結(jié)構(gòu)處于自由-自由狀態(tài)，其動(dòng)響應(yīng)必然包含剛體模態(tài)和彈性模態(tài)兩部分的影響。其中，剛體部分的響應(yīng)由于沒有阻尼作用，受載荷作用時(shí)會(huì)產(chǎn)生整體姿態(tài)“漂移”，呈發(fā)散狀態(tài)。在航天器實(shí)際在軌工作時(shí)，并不會(huì)出現(xiàn)這種姿態(tài)發(fā)散，主要是因?yàn)楹教炱饔凶藨B(tài)控制系統(tǒng)的作用，始終維持姿態(tài)在小范圍內(nèi)振蕩。如果動(dòng)力學(xué)模型中未引入控制系統(tǒng)的閉環(huán)作用，進(jìn)行開環(huán)計(jì)算，必然出現(xiàn)姿態(tài)“漂移”［5-6］。這個(gè)問題可以通過在動(dòng)力學(xué)模型中引入控制系統(tǒng)來消除，也可以人為施加一個(gè)低頻阻尼器，把剛體模態(tài)近似看成一個(gè)低頻的彈性模態(tài)，賦予其振蕩特性，自然就不會(huì)無限發(fā)散。然而，第一種處理方式使動(dòng)力學(xué)模型更為復(fù)雜，增加了控制的反饋?zhàn)饔?，?jì)算量大大增加；第二種方式中低頻阻尼器的頻率和阻尼選取在很大程度上取決于分析人員的工程經(jīng)驗(yàn)，只能作為一種近似處理。

（2）彈性模態(tài)的位移由兩部分組成，其中一部分是伴隨自由振動(dòng)項(xiàng)，其振動(dòng)頻率為彈性模態(tài)的阻尼自由振動(dòng)頻率，隨著時(shí)間的增長呈指數(shù)衰減；另一部分是強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)，其振動(dòng)頻率與外載荷頻率相同。航天器長期在軌工作時(shí)，其響應(yīng)應(yīng)該為后一部分。然而采用時(shí)程積分進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，伴隨自由振動(dòng)項(xiàng)會(huì)參與到總響應(yīng)中。伴隨自由振動(dòng)項(xiàng)的衰減快慢取決于模態(tài)阻尼和模態(tài)頻率的大小。對(duì)于航天器微振動(dòng)響應(yīng)來說，因?yàn)橄到y(tǒng)的頻率（通常取決于大型柔性附件的頻率）很低、在軌振動(dòng)阻尼較小，其衰減時(shí)間尤其長。舉例來說，假定第j階彈性模態(tài)的阻尼比ξj＝0．003，系統(tǒng)自由-自由狀態(tài)基頻ωj為0．1Hz，若要使伴隨自由振動(dòng)項(xiàng)振幅衰減為初始時(shí)刻的5%，令e-ξjωjt＝0．05，可得所需計(jì)算時(shí)長t＝1589s（約26 min）。對(duì)于時(shí)域響應(yīng)的數(shù)值計(jì)算來說，通常的計(jì)算時(shí)長為秒級(jí)，26 min的計(jì)算時(shí)間是難以接受的。

本文提出了基于復(fù)頻理論的時(shí)域響應(yīng)分析方法，可以不引入控制系統(tǒng)而消除剛體姿態(tài)“漂移”，并且不需要長時(shí)間的計(jì)算就能直接得到穩(wěn)態(tài)時(shí)域響應(yīng)結(jié)果。

2 微振動(dòng)穩(wěn)態(tài)時(shí)域響應(yīng)分析理論

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)時(shí)域方程為［7］

式中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為質(zhì)量矩陣；F為外載荷向量；x為節(jié)點(diǎn)位移向量，t為時(shí)間。

利用模態(tài)疊加法進(jìn)行解耦處理，設(shè)

式中：Φ和q分別為模態(tài)振型集和模態(tài)主坐標(biāo)向量；Φr和Φe分別為剛體和彈性體模態(tài)振型集，其中n為彈性模態(tài)階數(shù)；qr和qe分別為剛體和彈性體模態(tài)主坐標(biāo)向量，其 中

將式（2）代入式（1），考慮到模態(tài)的正交性，且剛體模態(tài)剛度陣和阻尼陣為0，可得

再采用質(zhì)量歸一，將式（3）和式（4）的方程解耦后得到

航天器微振動(dòng)最主要的干擾源為動(dòng)量輪等活動(dòng)部件的不平衡力，這類載荷F（t）近似呈正弦波（或余弦波）疊加的形式［3-4］。這樣，式（5）和式（6）可以分別表達(dá)成以下形式：

在初始條件qr（0）＝qr（0）＝0，qe（0）＝qe（0）＝0，以及小阻尼假設(shè)條件下，式（7）和式（8）的位移解可以分別表達(dá)為以下形式：

式中：第j階彈性模態(tài)阻尼自由振動(dòng)頻率分別為第j階彈性體模態(tài)在頻率處的瞬態(tài)位移響應(yīng)幅值、以及與激勵(lì)的相位差，分別為第j階彈性體模態(tài)在頻率ωm處的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)幅值、與激勵(lì)的相位差。當(dāng)然，式（9）、（10）的結(jié)果只能通過時(shí)域數(shù)值計(jì)算得到，且激勵(lì)頻率上限越高，需要的計(jì)算時(shí)間步長越短，花費(fèi)的總時(shí)間越多。

將式（7）、（8）改寫成復(fù)頻域形式：

對(duì)于任意的離散頻率點(diǎn)ω＝ωm，有

代入式（11）、（12），求解可以得到頻域內(nèi)的模態(tài)位移

為了得到穩(wěn)態(tài)的系統(tǒng)時(shí)域動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，進(jìn)而用于成像質(zhì)量評(píng)估，還需要在上述頻域計(jì)算完成后，獲得時(shí)域響應(yīng)結(jié)果。這需要首先提取對(duì)應(yīng)各激振頻率的響應(yīng)幅值和相位，而后采用復(fù)響應(yīng)的實(shí)部形式表達(dá)時(shí)域響應(yīng)，最后將各頻率成分進(jìn)行代數(shù)累加。轉(zhuǎn)換后的時(shí)域響應(yīng)為

比較式（16）、（17）與式（9）、（10）可以看出：由復(fù)頻理論獲得的時(shí)域響應(yīng)結(jié)果式（16）、（17），正是我們預(yù)期獲得的對(duì)應(yīng)（9）、（10）兩式除去剛體“漂移”和伴隨自由振動(dòng)衰減項(xiàng)后的結(jié)果。

上述頻域計(jì)算只在p個(gè)離散的頻點(diǎn)上計(jì)算，需要花費(fèi)的時(shí)間比時(shí)域計(jì)算來說小得多，且計(jì)算精度很高，不受時(shí)域計(jì)算步長、不同時(shí)程積分算法的影響。因此，本文的方法較時(shí)程積分算法有較大的優(yōu)勢。

3 工程應(yīng)用實(shí)例

本節(jié)將上述分析理論應(yīng)用于某航天器（構(gòu)型示意圖及坐標(biāo)系見圖1），計(jì)算其在控制力矩陀螺不平衡力（矩）作用下的微振動(dòng)響應(yīng)。在分析時(shí)，首先應(yīng)用通用有限元分析軟件PATRAN／NASTRAN 建立了航天器有限元模型，并進(jìn)行了頻響分析，而后利用Matlab軟件編程實(shí)現(xiàn)了頻域到穩(wěn)態(tài)時(shí)域響應(yīng)的轉(zhuǎn)換。

圖1 航天器在軌構(gòu)型的示意圖Fig．1 Schematic of spacecraft on-orbit configuration

3．1 系統(tǒng)自由模態(tài)分析

為了在計(jì)算響應(yīng)時(shí)利用模態(tài)疊加法，首先要進(jìn)行航天器系統(tǒng)在軌自由模態(tài)分析。表1給出了9階模態(tài)的分析結(jié)果。前6階模態(tài)為系統(tǒng)的剛體模態(tài)；7～9階為太陽翼的彎曲模態(tài)。圖2～圖4為彈性模態(tài)的振型圖。

表1 系統(tǒng)模態(tài)的振型Table 1 Mode shapes of on-orbit spacecraft

圖2 太陽翼一階對(duì)稱外彎（繞X 軸）Fig．2 First symmetrical bending mode（X-axis）

圖3 太陽翼一階反對(duì)稱外彎（繞X 軸）Fig．3 First anti-symmetrical bending mode（X-axis）

圖4 太陽翼一階對(duì)稱內(nèi)彎（繞Z 軸）Fig．4 First symmetrical bending mode（Z-axis）

3．2 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析

計(jì)算航天器在控制力矩陀螺不平衡力（矩）作用下相機(jī)安裝界面的角位移和加速度響應(yīng)，并統(tǒng)計(jì)了積分時(shí)間內(nèi)最大角位移（峰峰值）、角位移均方根值和加速度均方根值。給定的不平衡力矩由一系列諧波構(gòu)成，各諧波頻率與幅值如表2所示。

表2 不平衡力（矩）幅值Table 2 Disturbance force／moment amplitude

分別針對(duì)剛體模型、彈性體模型和“剛體＋彈性體”模型的微振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算。計(jì)算中選取0～300Hz內(nèi)的約900階模態(tài)，模態(tài)阻尼比取為0．01。

1）剛體模型分析結(jié)果

將航天器視為剛體（與式（11）對(duì)應(yīng)），分析其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，得到相機(jī)安裝面和擾動(dòng)源處的位移和加速度。相機(jī)安裝面角位移的時(shí)域曲線、頻域曲線（由時(shí)域曲線經(jīng)快速傅里葉變換（FFT）得到）分別見圖5和圖6。50ms積分時(shí)間內(nèi)角位移峰峰值見表3。

圖5 剛體模型的轉(zhuǎn)角位移時(shí)域曲線Fig．5 Time-domain rotation displacements with rigid-body model

圖6 剛體模型的轉(zhuǎn)角位移頻域曲線Fig．6 Frequency-domain rotation displacements with rigid-body model

表3 50ms積分時(shí)間內(nèi)的最大角位移峰峰值（剛體模型）Table 3 Maximum displacements in 50ms integration time with rigid-body model （″）

從圖5可以看出，本文所計(jì)算的剛體時(shí)域響應(yīng)并無“漂移”現(xiàn)象，即沒有出現(xiàn)響應(yīng)振幅隨時(shí)間無限增大（如后文中的圖9所示）的現(xiàn)象，從根本上解決了常規(guī)時(shí)程積分算法出現(xiàn)的位移發(fā)散問題。從圖6可以看出，頻譜中較大的響應(yīng)集中在擾動(dòng)源的6個(gè)激振頻率。

2）彈性體模型分析結(jié)果

將航天器視為彈性體（與式（12）對(duì)應(yīng)），得出相機(jī)安裝面和擾動(dòng)源處的位移和加速度。相機(jī)安裝面角位移的時(shí)域曲線、頻域曲線，分別見圖7、圖8。50ms積分時(shí)間內(nèi)角位移峰峰值見表4。

圖7 彈性體模型的轉(zhuǎn)角位移時(shí)域曲線Fig．7 Time-domain rotation displacements with flexible-body model

圖8 彈性體模型的轉(zhuǎn)角位移頻域曲線Fig．8 Frequency-domain rotation displacements with flexible-body model

表4 50ms積分時(shí)間內(nèi)最大角位移峰峰值（彈性體模型）Table 4 Maximum displacements in 50ms integration time with flexible-body model （″）

從圖7可以看出，本文所計(jì)算的彈性體時(shí)域響應(yīng)已經(jīng)消除了瞬態(tài)效應(yīng)（即伴隨自由振動(dòng)項(xiàng)）的影響，從時(shí)域計(jì)算一開始就達(dá)到了穩(wěn)態(tài)，而不需要長時(shí)間的穩(wěn)定過程。

對(duì)比表4和表3的角位移峰峰值可以看出，對(duì)于該航天器在本文給定的擾動(dòng)源下的微振動(dòng)響應(yīng)來說，彈性體模型的角位移比剛體模型高兩個(gè)量級(jí)以上，即在航天器微振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，彈性模態(tài)的影響較剛體模態(tài)大得多，因此，結(jié)構(gòu)柔性的影響在微振動(dòng)分析中必須考慮。

3）“剛體＋彈性體”模型的分析結(jié)果

同時(shí)考慮剛體及彈性體的作用，分析穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。由于該模型的計(jì)算結(jié)果實(shí)質(zhì)是彈性體模型和剛體模型線性疊加，因此其相應(yīng)的位移響應(yīng)曲線與彈性體模型較為接近。此外，計(jì)算了加速度響應(yīng)，統(tǒng)計(jì)后的加速度均方根值見表5。加速度響應(yīng)計(jì)算結(jié)果表明，從擾動(dòng)源安裝位置到相機(jī)安裝界面，加速度響應(yīng)呈下降趨勢，說明結(jié)構(gòu)系統(tǒng)對(duì)外擾動(dòng)有一定的衰減作用。

表5 加速度均方根值Table 5 RMS of Acceleration gn

3．3 與傳統(tǒng)時(shí)程積分法的對(duì)比

首先，對(duì)比了本文的方法與傳統(tǒng)時(shí)程積分方法的時(shí)域曲線。圖9為采用傳統(tǒng)時(shí)程積分方法計(jì)算的相機(jī)界面轉(zhuǎn)角位移。對(duì)比圖9與圖5、圖7 可以發(fā)現(xiàn)，采用傳統(tǒng)時(shí)程積分方法計(jì)算，轉(zhuǎn)角位移時(shí)域曲線是在一條直線（本文稱為剛體“漂移”）上疊加若干個(gè)余弦波，總位移是無限增加的，而本文的方法卻直接獲得穩(wěn)態(tài)時(shí)域響應(yīng)。

然后，對(duì)比了本文的方法與傳統(tǒng)時(shí)程積分方法的頻譜曲線，選取相機(jī)界面RY角位移量作為分析對(duì)象。圖10給出了頻譜曲線的對(duì)比結(jié)果。從圖10可以看出，兩種方法在激振頻率處的響應(yīng)幅值較為接近，但低頻段（一階共振頻率以下）的頻譜差別很大。這主要是由于傳統(tǒng)時(shí)程積分法中剛體“漂移”響應(yīng)的影響，以及非共振頻率處彈性模態(tài)響應(yīng)在5s的計(jì)算時(shí)間內(nèi)不能完全衰減的結(jié)果。

圖9 傳統(tǒng)時(shí)程積分法計(jì)算的相機(jī)安裝界面角位移Fig．9 Rotation displacements for satellite camera calculated with traditional time-integration method

圖10 相機(jī)界面角位移（RY）的頻譜Fig．10 Frequency spectrum of RYfor the camera

最后，計(jì)算了積分時(shí)間內(nèi)的相機(jī)界面角位移響應(yīng)的峰峰值，對(duì)比了本文的方法與傳統(tǒng)時(shí)程積分方法的計(jì)算結(jié)果。

表6給出兩種方法的角位移峰峰值對(duì)比情況。從表中數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)積分時(shí)間較長時(shí)（如50ms），傳統(tǒng)時(shí)程積分方法統(tǒng)計(jì)出的角位移峰峰值比本文的方法大，如前者RZ峰峰值約為本文方法的2 倍。過于保守的角位移峰峰值估計(jì)，必然對(duì)光學(xué)載荷成像質(zhì)量評(píng)估和設(shè)計(jì)帶來不利影響。此外，隨著積分時(shí)間的減小，兩者的差別也在減小。

表6 積分時(shí)間內(nèi)的最大角位移峰峰值Table 6 Maximum displacements in the integration time

4 結(jié)論

本文通過航天器微振動(dòng)穩(wěn)態(tài)時(shí)域響應(yīng)分析理論和工程應(yīng)用研究，得到以下結(jié)論：

（1）提出的基于復(fù)頻理論的航天器微振動(dòng)穩(wěn)態(tài)時(shí)域響應(yīng)分析方法，同傳統(tǒng)的時(shí)程積分方法比較，對(duì)于諧波形式干擾源作用下的航天器微振動(dòng)時(shí)域響應(yīng)計(jì)算，可以完全消除剛體“漂移”和彈性體瞬態(tài)效應(yīng)的影響，直接獲得穩(wěn)態(tài)時(shí)域響應(yīng)，應(yīng)用也非常簡便。

（2）航天器微振動(dòng)響應(yīng)包含剛體運(yùn)動(dòng)和彈性變形兩部分的影響，其中彈性體變形引起的響應(yīng)占主要成分。

（3）相機(jī)安裝界面處的加速度響應(yīng)小于擾動(dòng)源安裝位置的加速度，說明結(jié)構(gòu)對(duì)擾動(dòng)的傳遞起到了一定的衰減作用。

（4）對(duì)于較長的積分時(shí)間，傳統(tǒng)時(shí)程積分法可能給出較為保守的角位移峰峰值，這給光學(xué)載荷成像質(zhì)量評(píng)估和設(shè)計(jì)帶來不利影響。隨著積分時(shí)間的減小，傳統(tǒng)時(shí)程積分法計(jì)算的響應(yīng)峰峰值與本文方法的差別有減小的趨勢。

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