月球探測器定軌誤差分量協(xié)方差分析

樊敏 董光亮 郝萬宏 王宏

（北京跟蹤與通信技術(shù)研究所，北京 100094）

1 引言

在月球探測任務(wù)分析與設(shè)計(jì)階段，通常需要對地月轉(zhuǎn)移、月球捕獲、環(huán)月飛行等各軌道段的定軌預(yù)報(bào)精度進(jìn)行全面分析，以確定中途修正、近月制動和動力下降等關(guān)鍵點(diǎn)的軌道精度，這是測控系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)需要約定的重要指標(biāo)之一。常用的環(huán)月軌道精度表示方式是定軌預(yù)報(bào)誤差及其RTN 方向的分量，其中R 方向指從月心指向探測器的方向，N 方向指軌道面法向，T 方向指在軌道面內(nèi)與R、N 方向構(gòu)成右手系的方向?？紤]到定軌預(yù)報(bào)過程的復(fù)雜性，定軌誤差分量受到測量條件、軌道特性、地月位置關(guān)系等因素的影響，而且這些因素的作用是非線性的，因此，給出環(huán)月軌道定軌誤差RTN 分量的合理指標(biāo)是一個難題。

針對上述問題，本文對測距、測速和干涉測量手段獲取的測量量建立測量模型，確定探測器狀態(tài)矢量的信息陣和誤差協(xié)方差矩陣，進(jìn)而推導(dǎo)出定軌誤差RTN 分量的誤差方程和協(xié)方差矩陣，給出測量誤差對定軌誤差RTN 分量影響的數(shù)值關(guān)系。考慮到中國探月工程二期任務(wù)將實(shí)施月球軟著陸和巡視探測，開展月表地形地貌、月球地質(zhì)構(gòu)造、地月空間與月表環(huán)境探測和月基光學(xué)天文觀測等活動［1］，為了保證著陸器能成功著陸到指定的著陸區(qū)，在任務(wù)分析與設(shè)計(jì)階段就要重點(diǎn)分析動力下降初始軌道定軌誤差及其RTN 方向的分量。為此，本文在理論分析的基礎(chǔ)上，根據(jù)中國探月工程二期任務(wù)的測站／基線分布情況，分析了不同環(huán)月軌道探測器位置誤差和速度誤差RTN分量的影響因素、誤差水平及3個方向的誤差分量，給出了不同環(huán)月軌道的位置誤差和速度誤差的各方向分量的不同特征。

2 測量模型和信息陣

中國月球探測任務(wù)的測定軌系統(tǒng)為S頻段統(tǒng)一測控系統(tǒng)＋甚長基線干涉測量（USB＋VLBI）綜合系統(tǒng)，它充分利用了USB 系統(tǒng)高精度測距測速和VLBI系統(tǒng)高精度測角的能力。在動力下降前的環(huán)月100km／15km 軌道段，測距測速數(shù)據(jù)由喀什站和佳木斯站獲取，VLBI干涉測量數(shù)據(jù)由上海站、烏魯木齊站、北京站和昆明站組成的不同基線獲取。在深空站和VLBI三站共視弧段內(nèi)，測量數(shù)據(jù)包括1個測站獲取的測距ρ、測速ρ和2條不同基線獲取的時延D1、D2以及時延率D1、D2。

為了便于分析，在J2000地心天球坐標(biāo)系中建立測距、測速和干涉測量時延、時延率測量量與探測器狀態(tài)矢量之間的關(guān)系，如圖1 所示［2］。其中：αg為格林尼治子午線的赤經(jīng)；探測器狀態(tài)矢量的球坐標(biāo)形式Xsph的分量為（r，α，δ，r，α，δ），直角坐標(biāo)形式Xcar的分量為（x，y，z，x，y，z）；測站坐標(biāo)為（rs，zs，φ），測站位置矢量的柱坐標(biāo)形式Rsta的分量為（rscosφ，rssinφ，zs）。

圖1 J2000地心天球坐標(biāo)系中的探測器狀態(tài)矢量和測站位置矢量Fig．1 Probe state vector and station position vector in J2000geocentric celestial system

2．1 測距和測速的測量模型和信息陣

在圖1所示的坐標(biāo)系中，測站的測距模型表示為式（1）。對于環(huán)月探測器，rs／r?1和zs／r?1成立。

式中：ρ為測站到探測器的距離。

將式（1）右端關(guān)于rs／r和zs／r展開［3］，可得

略去式（2）中rs／r和zs／r的高階項(xiàng)，并且將探測器位置矢量由直角坐標(biāo)形式替換為球坐標(biāo)形式，可得

測距觀測量包含的軌道信息內(nèi)容可由信息陣定義，測距數(shù)據(jù)的信息陣為

式中：為測距數(shù)據(jù)誤差的方差。對式（3）兩端關(guān)于時間t求導(dǎo)，可得測速模型的近似表達(dá)式為［3］

式中：≈ωe，其中ωe為地球自轉(zhuǎn)平均角速度。

測速數(shù)據(jù)的信息陣為

式中：為測速數(shù)據(jù)誤差的方差。

2．2 時延和時延率的測量模型和信息陣

傳統(tǒng)的測距、測速數(shù)據(jù)能夠給出探測器在測站視向上的參數(shù)，對垂直于視向的橫向參數(shù)不敏感［4］。對于探月及更遠(yuǎn)的深空探測任務(wù)，在某些特定的測站幾何構(gòu)形條件下，只利用測距、測速數(shù)據(jù)，缺乏橫向角度信息的約束，會將探測器測站視向距離上的擾動估計(jì)為橫向（或天平面）位置上的偏差［5］。VLBI能夠?qū)μ祗w實(shí)現(xiàn)高精度的測角，而且具有測量周期短、測角精度高、只需發(fā)送下行信號等優(yōu)勢［6］。經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)展，VLBI技術(shù)在各國深空探測器導(dǎo)航和相關(guān)科學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。美國國家航空航天局（NASA）的“火星勘測軌道器”（MRO）任務(wù)實(shí)現(xiàn)了2nrad的測角精度，日本宇宙航空研究開發(fā)機(jī)構(gòu)（JAXA）的“月亮女神”（SELENE）任務(wù)對2個子探測器進(jìn)行同波束干涉測量（SBI），時延精度達(dá)到皮秒級［7］。因此，中國探月工程采用測距測速＋VLBI干涉測量聯(lián)合測軌體制進(jìn)行軌道確定［8］。下面分析干涉測量時延、時延率數(shù)據(jù)的測量模型。

由于環(huán)月探測器距離地球很遠(yuǎn)，時延測量量Ddelay可由式（7）近似計(jì)算。

式中：B為基線矢量，其柱坐標(biāo)形式rB的分量為（rBcosφB，rBsinφB，zB），測站1、2的位置矢量柱坐標(biāo)形式r1和r2的分量分別為（r1cosφ1，r1sinφ1，z1）和（r2cosφ2，r2sinφ2，z2），其中，rB＝［（r1cosφ1-r2cosφ2）2＋zB＝z1-z2，φB ＝arctan［（r1sinφ1-r2sinφ2）／（r1cosφ1-r2cosφ2）］；s為探測器-地心單位方向矢量，分量為（cosδcosα，cosδsinα，sinδ）。

根據(jù)時延的近似計(jì)算公式有［9］

式中：基線時角HB＝φB-α。

時延觀測量的信息陣為

對式（8）兩端關(guān)于時間t求導(dǎo)，可得時延率的近似表達(dá)式為［10］

時延率觀測量的信息陣為

田卓聽完匯報(bào)也很興奮，鼓勵大家再努力一把，爭取在兩個月之內(nèi)，就給這個活動畫上一個完美的句號。臨散會的時候，田卓還專門安排高潮說，高先生，你該提前做新的項(xiàng)目策劃了。從田卓的話音里，高潮可以感覺出她對自己的策劃能力認(rèn)可了，心里的興奮又陡增了幾分。

3 誤差方程和誤差協(xié)方差矩陣

根據(jù)第2節(jié)給出的各種測量數(shù)據(jù)的測量模型，可以建立測量量Y和探測器狀態(tài)矢量Xsph之間的誤差方程。

探測器狀態(tài)矢量的誤差協(xié)方差矩陣為

式中：W為以測量量的誤差方差為對角線元素的對角矩陣。

根據(jù)測量量的信息陣，可得測量量信息陣和的逆矩陣為誤差協(xié)方差矩陣，見式（14）。

式中：Iρ、Iρ、ID1、ID2、ID1和ID2分別為1個測站的測距ρ、測速ρ和2條不同基線獲取的時延D1、D2以及時延率D1、D2的信息陣。

將式（15）記為XMJ2000＝F（Xsph），其中F表示式（15）所確定的函數(shù)關(guān)系。對此式兩端進(jìn)行全微分，在小偏差條件下，以增量符號代替微分符號，可得

根據(jù)式（12）可以建立探測器相對月心的狀態(tài)矢量和測量量之間的誤差方程，見式（17）。

探測器相對月心狀態(tài)矢量的誤差協(xié)方差矩陣為

根據(jù)RTN 方向的定義設(shè)定：R 方向的單位矢量為SR＝rMJ2000／｜rMJ2000｜，N 方向的單位矢量為SN＝rMJ2000×rMJ2000／｜rMJ2000×rMJ2000｜，T 方向的單位矢量為ST＝SN×SR。其中，rMJ2000和rMJ2000分別為探測器在J2000 月心天球坐標(biāo)系（MJ2000）中的位置 和 速 度 矢 量，其 分 量 分 別 為 （xMJ2000，yMJ2000，zMJ2000）和（xMJ2000，yMJ2000，zMJ2000）。將探測器相對月心狀態(tài)矢量的誤差投影到軌道的RTN 方向，可以得到位置誤差ΔP和速度誤差ΔV的RTN 分量，綜合考慮式（18），可得

式中：E3×3是由單位矢量SR、ST和SN構(gòu)成的3×3矩陣；Q為探測器相對月心的狀態(tài)矢量誤差方程的系數(shù)矩陣。

探測器相對月心狀態(tài)矢量的RTN 分量的誤差協(xié)方差矩陣為

由于誤差方程的系數(shù)矩陣Q和誤差協(xié)方差矩陣URTN的表達(dá)式涉及到探測器的狀態(tài)矢量、各測站／基線的位置矢量及變化率等多個變量及其相互關(guān)系式，表達(dá)式非常復(fù)雜，略去推導(dǎo)的過程，直接給出分析結(jié)果如下。

1）位置誤差的RTN 分量（ΔPR、ΔPT和ΔPN）

ΔPR、ΔPT和ΔPN均與Δρ、ΔD1和ΔD2相關(guān)，即探測器位置誤差受到測距、2條基線的時延測量誤差的影響。根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果可得

式中：下標(biāo)C分別代表R、T 和N，相應(yīng)的SC分別代表單位矢量SR、ST和SN；αi，βi，γi（i＝1，2）為基線對位置誤差的影響系數(shù)。

由式（21）可見，位置誤差的RTN 分量主要與探測器相對月心的位置矢量對（r，δ，α）偏導(dǎo)數(shù)的RTN 分量相關(guān)，還與測站／基線的時角、測站地心距及基線長度等因素相關(guān)。

2）速度誤差的RTN 分量（ΔVR、ΔVT和ΔVN）

ΔVR、ΔVT和ΔVN均 與Δρ、Δρ、ΔD1、ΔD1和ΔD2、ΔD2相關(guān)，即探測器速度誤差受到測距、測速、2條基線的時延、時延率測量誤差的影響。根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果可得

式中：α′i，β′i，γ′i，ε′i，η′i，ξ′i（i＝1，2，3，4）為基線對速度誤差的影響系數(shù)。

由式（22）可見，速度誤差的RTN 分量與探測器相對月心的狀態(tài)矢量對（r，δ，α，r，δ，α）偏導(dǎo)數(shù)矢量的RTN 分量相關(guān)，也與測站／基線的時角、測站地心距及基線長度等因素相關(guān)。

4 不同環(huán)月軌道的誤差RTN 分量

根據(jù)上述分析可知，當(dāng)測站／基線位置、測量類型和測量精度已經(jīng)確定時，探測器定軌誤差的RTN 分量主要與其狀態(tài)矢量、測站／基線的時角及變化率有關(guān)，即主要與軌道特性和測站／基線與探測器之間的幾何關(guān)系有關(guān)。下面在給定測站／基線位置、測量類型和測量精度的情況下，分析2 種典型環(huán)月軌道的誤差RTN 分量的影響系數(shù)和誤差水平。

選取中國4個VLBI測站中的2條基線——基線1（佘山-烏魯木齊）、基線2（密云-昆明）和USB測站中的青島站，參考?xì)v元時刻為2010-10-28 T16：10：00．00（UTC），測 量 精 度 為σρ＝5 m，σρ＝1cm／s，σD＝5ns，σD＝1ps／s。2 種不同類型環(huán)月軌道的軌道根數(shù)如表1所示。

表1 2種軌道具體軌道根數(shù)（月心J2000慣性坐標(biāo)系）Table 1 Elements of two orbits（J2000lunarcentric inertia system）

根據(jù)上述誤差協(xié)方差分析過程，可以計(jì)算出2種不同軌道的位置誤差和速度誤差RTN分量的均方差和部分影響系數(shù)，如圖2和表2所示。由此可見，對于2種不同的軌道，當(dāng)測站／基線位置、測量類型和測量精度已經(jīng)確定時，位置誤差和速度誤差的量級一致，但誤差RTN 分量有明顯差別。誤差RTN 分量的具體特征如下。

（1）對于軌道1，位置誤差和速度誤差的RTN分量特征類似，即R 方向和T 方向分量相當(dāng)，約為N 方向分量的1／2。

（2）對于軌道2，位置誤差和速度誤差的RTN分量特征不同。位置誤差的R 方向和T 方向分量相當(dāng)，約為N 方向分量的9倍；速度誤差的T 方向分量最大，約為N 方向分量的6 倍，R 方向分量次之，約為N 方向分量的5倍。

（3）比較各測量量對RTN 分量的影響可得：對于軌道1，測距量對N 方向分量影響相對較小，基線1時延量對R、T、N 方向影響較平均，基線2時延量對N 方向影響較大；對于軌道2，測距量對N方向分量影響相對較大，基線1 時延量對T 方向影響較大，基線2時延量對R 方向影響較大。

根據(jù)上述分析過程，對嫦娥-1、2（Chang’e-1、2）月球探測器的100km／15km 環(huán)月軌道近月點(diǎn)位置速度誤差的RTN 分量進(jìn)行分析，將誤差RTN分量的均方差與實(shí)測數(shù)據(jù)定軌結(jié)果進(jìn)行比較，如表3 所示?？梢钥闯?，由于分析中僅考慮測量誤差，而實(shí)際定軌誤差還受到模型誤差、測量數(shù)據(jù)精度等多種因素的制約，因此2 種結(jié)果的誤差RTN 分量具體值有所差異，但是各誤差分量的大小比例和特征類似。在后續(xù)任務(wù)總體設(shè)計(jì)過程中，可以參考已有任務(wù)環(huán)月軌道的位置和速度總誤差，利用本分析方法對誤差RTN 分量進(jìn)行分配，得到定軌誤差的RTN 分量作為參考值。

圖2 不同軌道的位置誤差和速度誤差的RTN 分量Fig．2 RTN components of errors in position and velocity for various orbits

表2 各種測量量對不同軌道的位置誤差RTN 分量的影響系數(shù)Table 2 Influence coefficients of each measurement for RTN components of position errors of various orbits

表3 嫦娥-1、2定軌誤差RTN 分量的均方差Table 3 RMS of RTN components of orbit-determination errors for Chang’e-1and Chang’e-2probes

5 結(jié)束語

本文首先根據(jù)各種測量數(shù)據(jù)的定義和近似公式，建立了中國探月工程中使用的軌道測量數(shù)據(jù)關(guān)于月球探測器狀態(tài)矢量的模型，確定了狀態(tài)矢量的信息陣和誤差協(xié)方差矩陣；然后，推導(dǎo)了環(huán)月軌道定軌誤差RTN 分量的誤差方程和協(xié)方差矩陣，給出了測量誤差對定軌誤差RTN 分量影響的數(shù)值關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，考慮中國探月工程中測控系統(tǒng)測站／基線分布情況和測量精度，分析了2種不同環(huán)月軌道位置誤差和速度誤差RTN 分量的影響因素、誤差水平及3個方向的誤差分量；最后，利用嫦娥-1、2探測器100km／15km 環(huán)月軌道實(shí)際定軌結(jié)果，驗(yàn)證了分析方法的有效性。這種分析方法對于中國探月工程二期任務(wù)動力下降初始軌道位置誤差和速度誤差RTN 分量計(jì)算具有參考意義。隨著中國未來月球與深空任務(wù)論證分析工作的逐步開展，探測器系統(tǒng)對關(guān)鍵軌道機(jī)動時刻定軌誤差RTN 分量的需求將會更加明確，后續(xù)應(yīng)考慮多種誤差因素以及不同測量弧段和測量數(shù)據(jù)類型對定軌誤差RTN 分量的影響，進(jìn)而補(bǔ)充、完善該分析方法，這將有利于測控系統(tǒng)對誤差RTN 分量進(jìn)行準(zhǔn)確、細(xì)化分析。

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