大行星、月球和小天體環(huán)繞型探測器的軌道問題

劉林 湯靖師

（1 南京大學天文與空間科學學院，南京 210093）

（2 南京大學空間環(huán)境與航天動力學研究所，南京 210093）

（3 北京航天飛行控制中心航天飛行動力學技術重點實驗室，北京 100094）

1 引言

在深空探測中，環(huán)繞型探測器顯然是一種主要的選擇。對于這種探測器（特別是低軌探測器）的軌道而言，中心天體的非球形引力作用是決定其軌道特征的主要力源。因此，在確定探測方案時，必須深入地了解探測目標天體引力場的細節(jié)及其相應的探測器軌道特征，不能簡單地套用人造地球衛(wèi)星的結果，特別是對小天體的探測。

太陽系中各大行星和月球的形狀及內部密度分布存在差異，它們的引力位有各自的特征，這就決定了相應的環(huán)繞型探測器的軌道及其變化規(guī)律會有明顯的差別。而對于那些小天體（主要是大量的小行星），不但相應的引力位的具體形式難以構建，而且有些小天體的質量太小，探測器的繞飛形式難以形成，必須用伴飛的形式來代替，以達到近距離探測的目的。

金星、火星和月球各自的形狀和物理結構有較明顯差別，例如，月球的質量分布相對而言極不均勻，金星自轉極慢，等等。由于這些特點，對環(huán)繞型探測器的軌道而言，它們可以作為大天體的不同典型。本文將具體闡述金星、火星和月球各自的環(huán)繞型探測器運行軌道的可能形式及軌道變化特征，并以必要的計算結果證實理論分析的可靠性，為相關的航天任務軌道設計提供有益的信息。作為比對的“樣本”，文中也對地球及人造地球衛(wèi)星的狀況作了必要的闡述。另外，以“愛神”（Eros）為例，闡述了小行星探測器繞飛軌道的特征和伴飛形式的有關條件。

2 地球、金星、火星和月球的有關參數(shù)

圖1中模型適用于本節(jié)介紹的地球、金星、火星和月球，它們北極不同的赤經α0、赤緯δ0和0°經線距離（W），決定了各自的定向模型。在文中，地球、金星、火星和月球的參數(shù)用相應的下標E、M、V、Moon區(qū)分。其中：T為從歷元J2000．0起算的時刻t所對應的儒略世紀；Rz為繞z軸的旋轉矩陣；d為 自J2000．0起算的儒略日；nr為自轉角速度；l和m分別表示重力場的階和次；Cl，m和Sl，m表示重力場歸一化的球諧系數(shù)。

圖1 天體的定向模型Fig．1 Orientation model for celestial bodies

2．1 地球的基本狀況

地球的大小、質量和密度與金星相近，均有稠密的大氣層，但自轉較快，這一特征與火星相近。其基本參數(shù)如下：質量是太陽質量的1／332 946．0，公轉周期為365．256 363 06d，自轉周期為23h56min4．090 53s。地球在日心黃道坐標系中的主要軌道根數(shù)（歷元J2000．0）包括：半長軸為1．000 001 02AU，偏心率為0．016 708 62，傾角為0．0°。

地球平天極在ICRF赤道坐標系（簡稱J2000．0平赤道坐標系，這里所說的赤道即地球赤道）中的赤經（α0）E、赤緯（δ0）E即為地球平天極的空間指向（見圖1），其值為［1］

式中：TE＝［JD（t）-JD（2000．0）］／36 525，其中，JD（t）和JD（2000．0）分別表示t時刻和J2000．0標準歷元的儒略日；（α0）E、（δ0）E的單位為（°）。

由此，可建立地心天球坐標系，其基本坐標面采用J2000．0地球平赤道面，而相應參考系的第一方向是春分點γE。若定義地球的自轉矩陣為RE（t），則有

格林尼治恒星時（SG）E可由地球自轉角WE給出，即

由于自轉較快，地球動力學扁率系數(shù)（J2）E＝1．082×10-3。地球引力場模型通常采用WGS-84模型，即：質量常數(shù)為398 600．441 8km3／s2，赤道半徑為6 378．137 0km，部分球諧項系數(shù)列于表1。

表1 WGS-84部分球諧系數(shù)Table 1 Selection of harmonic coefficients from WGS-84

若用帶諧項系數(shù)（Jl）E（l≥2）代替（Cl，0）E，則有

當l＝2時，（J2）E＝1．1×10-3；當l≥3時，（Jl）E≤O（10-6）。

2．2 金星的基本狀況

金星是離地球最近的一顆行星，它的大小、質量和密度與地球相近，也有稠密大氣層，但自轉很慢。其基本參數(shù)如下：質量是太陽質量的1／408 523．5，公轉周期為224．7d（地球日），自轉周期為243．0d。金星的“黃赤”交角為177．36°，是逆自轉行星，其平天極在ICRF赤道坐標系中的赤經（α0）V為272．76°，赤緯（δ0）V為67．16°，代表金星平天極的空間指向。由此，可建立所需的金心天球坐標系，其基本坐標面采用J2000．0金星平赤道面，而相應參考系的第一方向，即金星定向模型中的J2000．0地球平赤道（ICRF平赤道）與J2000．0金星平赤道的交點Q（見圖1）。在此選擇下，金星自轉角WV即從點Q向東計量至點B（金星本初子午線方向），可以將WV看作金星上的格林尼治恒星時，也可用類似于地球恒星時的定義（見式（3）），但要注意，金星是逆自轉行星。若定義金星的自轉矩陣為RV（t），則有

金星在日心黃道坐標系中的主要軌道根數(shù)（歷元J2000．0）如下：半長軸為0．723 329 82AU，偏心率為0．006 771 88，傾角為3．394 662°。由于自轉慢，金星動力學扁率系數(shù)（J2）V＝0．45×10-5，比月球的值還小1 個量級，比地球的值小2 個量級。關于金星引力場模型，為了闡明相關問題，這里引用美國航天部門給出的70×70階模型MGNP180U。其中：質量常數(shù)為324 858．592 079km3／s2，金星赤道半徑為6 051．000 0km，部分球諧項系數(shù)列于表2。

表2 MGNP180U 部分球諧系數(shù)Table 2 Selection of harmonic coefficients from MGNP180U

若用帶諧項系數(shù)（Jl）V（l≥2）代替（Cl，0）V，則有

當l＝2時，（J2）V＝4．5×10-6；當l≥3時，（Jl）V＝O（10-6～10-7）。

由于金星自轉很慢，不僅動力學扁率系數(shù)（J2）V較小，而且其值與“高”階諧系數(shù)（包括田諧系數(shù)）并無明顯差別。因此，就非球形引力而言，對低軌探測器軌道的攝動影響將有別于地球的狀況。金星自轉軸也在擺動，據(jù)目前的理論研究結果（見文獻［2］），即使存在與地球同量級的歲差、章動量，但由于金星的非球形部分很小，對于探測器的軌道問題，可不予考慮。

2．3 火星的基本狀況

火星是與地球類似的一顆行星，其基本參數(shù)如下：質量為太陽質量的1／309 871 0，公轉周期為687．0d（地球日），自轉周期為24h37．377 7 min。在日心黃道坐標系中的主要軌道根數(shù)（歷元J2000．0）包括：半長軸為1．523 679 34AU，偏心率為0．093 400 62，傾角為1．849 726°。與地球自轉類似，火星的自轉軸也在空間擺動，其結果對環(huán)火星探測器的軌道而言，同樣存在歲差、章動效應，但火星的歲差、章動量較地球的相應值小，其赤經歲差和赤緯歲差分別為3．8（″）／a和2．2（″）／a，章動序列最大項的幅度只有1．1″。

火星平天極在ICRF赤道坐標系中的赤經（α0）M、赤緯（δ0）M（單位：（°））為

火星自轉角WM同樣由圖1 中的（弧）定義，即從點Q向東計量至B（火星本初子午線方向），可看作火星上的格林尼治恒星時，也可用類似于地球恒星時的定義（見式（3））。定義火星的自轉矩陣為RM（t），可表示為

火星引力場與地球有些類似，如其動力學扁率系數(shù)（J2）M與（J2）E的大小；也有明顯差別，如赤道橢率、南北不對稱的程度等。有多個火星引力場模型，這里引用美國Goddard模型GGM-1041C。其中：質量常數(shù)為42 828．370 245 291 269km3／s2，赤道半徑為3 397．0km，部分球諧項系數(shù)列于表3。

表3 GGM-1041C部分球諧項系數(shù)Table 3 Selection of harmonic coefficients from GGM-1041C

若用帶諧項系數(shù)（Jl）M（l≥2）代替則有

當l＝2 時，（J2）M＝2×10-3；當l≥3 時，（Jl）M＝O（10-5～10-6）。

一個通過對軌道偏心率的影響而制約低軌火星探測器軌道壽命的參數(shù)見式（10），它會導致低軌環(huán)火星探測器的軌道偏心率出現(xiàn)0．02～0．03的長周期變幅，影響軌道壽命。

2．4 月球的基本狀況

月球是一顆較大的自然衛(wèi)星，沒有大氣，自轉很慢。其基本參數(shù)如下：質量為地球質量的0．012 300 02，公轉周期為27．321 661 55d（地 球 日），自 轉 周 期 為27．321 661 55d。月球在地心黃道坐標系中的主要軌道根數(shù)（歷元J2000．0）包括：半長軸為0．002 571 881 4AU（384 747．981km），偏 心 率 為0．054 879 905，傾 角 為5．129 835 071°。對于月球，由于其軌道攝動變化較大，最大的周期項振幅可達2×10-2。

月球平天極在ICRF 赤道坐標系中的赤經（α0）Moon、赤緯（δ0）Moon為［1］

式中：Ei（i＝1，2，…，13）為中間參數(shù)，表達式詳見文獻［1］。

若定義月球的自轉矩陣為RMoon（t），則有

式中：WMoon為月球的自轉角，其計算公式參見文獻［1］。

在實際應用中，并不采用上述IAU2000天體定向規(guī)范，可選擇更精確的坐標系［3］，如DE405歷表對應的參考系。

由于月球自轉較慢，其非球形引力位也較接近球形引力位，動力學扁率系數(shù)（J2）Moon不僅較小，而且其大小與“高”階諧系數(shù)（包括田諧系數(shù)）并無明顯差別。因此，就非球形引力位而言，對低軌探測器軌道的攝動影響也有別于地球低軌衛(wèi)星。為了分析問題，這里引用美國LP75G 模型。其中：質量常數(shù)為4 902．800 269km3／s2，赤道半徑為1 738．0km，部分球諧項系數(shù)列于表4。

表4 LP75G 部分球諧項系數(shù)Table 4 Selection of harmonic coefficients from LP75G

若用（Jl）Moon（l≥2）代替（Cl，0）Moon，則有帶諧項系數(shù)的相應值分別為

帶諧項系數(shù)的相應值分別為：（J2）Moon＝4．5×10-6，（J3）Moon＝-2．2×10-6，（J4）Moon＝-2．1×10-6，（J5）Moon＝2．0×10-7，（J6）Moon＝-3．2×10-7，…。

通過對軌道偏心率的影響而制約低軌月球衛(wèi)星軌道壽命的參數(shù)見式（14），它會導致低軌環(huán)月探測器的軌道偏心率出現(xiàn)變幅可達0．05～0．10的長周期變化，相比火星狀況，會更明顯地影響低軌探測器的軌道壽命。

3 大行星和月球各自環(huán)繞型探測器的軌道特征

3．1 環(huán)繞型探測器軌道的可能形式

各大行星和月球的環(huán)繞型探測器，在軌運行的基本特征與人造地球衛(wèi)星類似，但具體細節(jié)也有很多明顯差別。一般，就軌道變化的主要特征而言，可分為低軌和高軌，前者主要取決于中心天體的非球形引力和大氣的影響，而后者則受第三體的引力影響明顯。但就探測任務的要求而言，下列幾種類型的軌道是人們所關注的。①回歸軌道，即航天器軌道周期與中心天體的自轉周期成簡單整數(shù)比；②中心天體同步軌道，即航天器軌道周期與中心天體的自轉周期相等；③太陽同步軌道，即航天器軌道平面的進動與中心天體的公轉方向相同，周期相等，也就是在中心天體上看，航天器軌道平面跟著太陽以相同速度向東“跑”；④凍結軌道，即航天器軌道的長軸（也就是拱線）方向不變。

在上述四類軌道中，第一類很簡單，如地球衛(wèi)星，針對日照條件，要求衛(wèi)星每天繞轉12圈重復過同一地點上空，該衛(wèi)星的軌道周期即為2h；另外三類軌道，對于地球、金星、火星和月球而言，各有不同的狀態(tài)和特征，下面分別闡明。

3．2 中心天體同步軌道的基本狀況

從理論上看，中心天體的同步航天器軌道也很簡單，只要軌道周期與中心天體的自轉周期相等即可，如果在中心天體的赤道上空運行，就成為運行在靜止軌道的航天器。但有兩個問題必須了解：一是相應的軌道半長軸不能太大，否則離中心天體太遠，航天器就有可能在第三體的引力作用下脫離中心天體而逃逸；二是這種“同步”的穩(wěn)定程度，對其影響最大的是中心天體的赤道橢率，該非球形項的大小將決定穩(wěn)定范圍。

3．2．1 地球同步軌道衛(wèi)星軌道的主要特征［4-5］

地球同步軌道衛(wèi)星的軌道周期為1 436．068 176min，相應的軌道半長軸為42 164．170km。對于定點在地球赤道上空的靜止軌道衛(wèi)星而言，在地球赤道橢率（J2，2）E（大小由非球形引力位中的C2，2、S2，2確定）的作用下，赤道上空有2個穩(wěn)定區(qū)域，即赤道短軸兩端（75°E 和105°W）的各一個鄰近區(qū)域。在2個穩(wěn)定點附近上空的東西漂移，就是這一力學機制（軌道共振機制，類似于單擺現(xiàn)象）；而南北漂移（實為軌道傾角的變化）則是由第三體（日、月）的引力作用導致，傾角變化呈現(xiàn)長周期狀態(tài)，變化幅度可達15°，而周期長達50多年。

關于軌道（或位置）東西和南北漂移現(xiàn)象，為了便于了解其漂移的實際狀態(tài)，下面給出一個算例。初始時刻為2010年9月10日0時整（UTC），軌道周期、半長軸和定點經度（相對地球短軸方向）的初始偏差分別為6 min38s、10km 和35．0°。初始軌道傾角的偏差很?。?．005°，約為O（10-4）），即基本上定位在赤道上空，同時考慮地球非球形引力及日、月引力和太陽光壓的攝動影響，即使軌道外推40 000d（接近110a），衛(wèi)星仍能保持在赤道短軸（75°E）上空的一個鄰近區(qū)域內運行。具體結果如下：定點經度偏差為-43．13°～＋41．32°，緯度偏差Δφ為-15．28°～＋15．39°。其中，東西經度漂移（即定點精度偏差的變化）的周期約900d，在該周期內與其有關的軌道半長軸的變化幅度約為±25km，見圖2、3。

圖2 地球同步軌道衛(wèi)星經度隨時間的變化狀況Fig．2 Variation of longitude with time for geosynchronous orbit satellite

圖3 地球同步軌道衛(wèi)星軌道半長軸隨時間的變化狀況Fig．3 Variation of semi-major axis with time for geosynchronous orbit satellite

3．2．2 火星同步軌道探測器的主要特征［6-7］

根據(jù)火星自轉周期確定的火星同步軌道探測器，其運行周期為477．377 72 m，相應的軌道半長軸為20 427．684 25km，是火星運行軌道半長軸的6．013 448倍。如果探測器的軌道傾角為0°，就是相對火星的靜止軌道。由于火星非球形引力位的二階次項（（J2）M，（J2，2）M）與地球類似，且（J2，2）M值相對（J2）M更大一些，（J2，2）M／（J2）M的量級幾乎達到10-1。因此，相應的軌道共振效應更為強烈，即探測器定位在火星赤道短軸（火星164．7°E）上空附近更穩(wěn)定。

下面給出算例，計算歷元及相應的初始軌道根數(shù)。設初始時刻為2010年3月30日4時整（UTC），半長袖為20 327．684 233km，偏心率為0．000 1，傾角為0．005°，軌道半長軸與同步軌道相差100km，相應的運行周期與同步周期相差約11min，結果見圖4、5。圖中：經度的變化dx＝λ-λMS，λ為衛(wèi)星定點經度，λMS為火星赤道短軸的經度，大小為164．7°（74．7°＋90°）。

圖4、5考慮了（J2）M＋（J2，2）M的攝動影響，對赤道短軸方向定位的初始偏離量為10．0°。在這么大的運行周期和定位偏離的情況下，探測器仍能保持在火星赤道短軸上空的鄰近區(qū)域內運行。而對于地球同步軌道衛(wèi)星，軌道半長軸與同步軌道僅差40km，即使初始嚴格定位在赤道短軸上空，即其定點精度初始偏差0．0°，也不能保持在赤道短軸上空的擺動狀態(tài)。這證實了由于火星非球形引力位的赤道橢率（J2，2）M相對扁率系數(shù)（J2）M較大，相應軌道變化的共振效應更為強烈，探測器定位在火星赤道短軸（火星164．7°E）上空附近，比地球同步軌道狀態(tài)更為穩(wěn)定。

圖4 火星同步軌道衛(wèi)星經度變化dx 隨時間t的變化Fig．4 Variation of longitude change（dx）with time（t）for areosynchronous orbit satellite

圖5 火星同步軌道衛(wèi)星經度變化dx 與半長軸的關系Fig．5 Variation of semi-major axis with longitude change（dx）for areosynchronous orbit satellite

3．2．3 運行在金星與月球同步軌道的探測器是否存在

金星的自轉速度很慢，其自轉周期比公轉周期還長（243．0d（地球日）），要形成金星同步軌道，相應的軌道半長軸達153．65×104km，而這一距離已超出金星 的 希 爾（Hill）范 圍［4］大 ?。ㄆ?值 為101．12×104km），因此，運行在這種軌道上的探測器，在太陽引力作用下很快就會遠離金星，意味著實際上不可能存在這樣的同步軌道。

月球與金星情況類似，其自轉速度也較慢，自轉周期為27．321 7d（地球日），要形成月球同步軌道，相應的軌道半長軸要達到8．845×104km，而這一距離同樣超出了月球的Hill范圍大小（其值為6．16×104km）。如果僅考慮月球的非球形引力影響，由于其赤道橢率（J2，2）Moon相對而言較大，同步軌道探測器定位在月球短軸（90．0°E）上空附近也相當穩(wěn)定。但是，運行在這樣軌道上的探測器，在地球引力作用下很快就會遠離月球。如果初始軌道偏心率和傾角的大小各為0．000 1和0．005°，運行不到2．8d，軌道就會被地球引力拉“扁”到偏心率接近1的程度，這同樣意味著實際上不可能存在運行在月球同步軌道的探測器。

3．3 太陽同步軌道的基本狀況

對于太陽同步軌道，要求其軌道平面跟著太陽以相同速度向東“跑”，航天器軌道平面的進動，源于中心天體非球形引力位中扁率系數(shù)J2的攝動作用。要求航天器軌道平面東進狀態(tài)與太陽“繞”中心天體運行（實為中心天體繞日公轉運動）同步，無量綱形式的表達條件為［4-5］

式中：設定p＝a（1-e2），n＝a-3／2，其中a和e分別為衛(wèi)星軌道半長徑和軌道偏心率；ns為中心天體繞日運動角速度。

由于導致航天器軌道平面旋轉的非球形引力位中的偶次帶諧項系數(shù)J2l（l≥2）要比J2小1～3個量級，其他能導致航天器軌道平面旋轉的攝動因素更小，故只考慮J2項給出的條件式（15），可體現(xiàn)太陽同步軌道的實際運動狀態(tài)。下面分別給出地球衛(wèi)星和火星、月球探測器的低軌太陽同步軌道的算例和結果。

（1）每天（地球日）環(huán)繞地球運行約14．0圈：軌道高度h的平均值＝890．0km，運行周期為102．857 1 min，半長軸為7 271．9km，偏心率為0．000 1，傾角為98．902 5°。

關于金星的環(huán)繞型探測器，不能以太陽同步軌道的形式運行。原因是金星自轉太慢，幾乎呈現(xiàn)球狀，其非球形引力位中的扁率系數(shù)（J2）V很?。?．5×10-6），該項攝動影響的結果Ω遠遠小于太陽的東進速度（也就是中心天體繞日公轉角速度）ns［8］，不可能形成太陽同步軌道。

3．4 凍結軌道的基本狀況

凍結軌道即拱線靜止軌道，也就是航天器軌道的近星點指向不變。就軌道的近星點方向不變而言，凍結軌道有兩類：臨界傾角軌道和任意傾角（除臨界傾角外）的凍結軌道。臨界傾角軌道由中心天體非球形引力位中扁率系數(shù)J2的長期攝動確定。近星點幅角ωF的長期變率ωF主項的無量綱表達式如下［4-5］。

式中：pF為凍結軌道的橢圓半通徑；nF為凍結軌道航天器的運動角速度；iF為凍結軌道的軌道傾角。

當ωF＝0時，近星點指向不變，相應的傾角稱為臨界傾角ic，其值為63°26′和116°34′。這類凍結軌道涉及軌道共振效應［4］，其穩(wěn)定程度受軌道偏心率的大小制約，偏心率越大，穩(wěn)定性越好。蘇聯(lián)通信衛(wèi)星“閃電”（Molniya），采用的就是這樣的大偏心率臨界傾角凍結軌道。由于地球同步軌道衛(wèi)星為高緯度地區(qū)傳輸信號時能耗較大，改用凍結軌道作為通信衛(wèi)星的工作軌道，可以降低能耗?！伴W電”衛(wèi)星將遠地點保持在蘇聯(lián)上空，使用3顆這樣的衛(wèi)星即可保證蘇聯(lián)全境24h信號的覆蓋。

通常所說的凍結軌道，是指對應任一傾角的特殊軌道。這一特殊軌道實際上對應一個平均軌道解，也就是將航天器運動方程中所有短周期項（即由快變量構成的周期項）消除后的一個特解。主要針對低軌航天器而言，相應的平均系統(tǒng)取決于中心天體非球形引力位中的帶諧項Jl（l≥2），該系統(tǒng)退化為一個四維動力系統(tǒng)，涉及4個軌道根數(shù)——軌道半長軸aF、偏心率eF、軌道傾角iF、近地點幅角ωF。相應的凍結軌道的解，有下列兩種可能［4］：ωF為90°或270°。給定aF和iF后，即可由式（17）確定相應的eF。

式中：ε2表示相對｜（J3）F／（J2）F｜的高階小量，如果（J3）F／（J2）F＞0，對應凍結軌道解ωF＝270°，反之，ωF＝90°。

根據(jù)上述分析，地球和金星凍結軌道解的近星點幅角為90°，而火星和月球凍結軌道解的近星點幅角為270°。另外，主要奇次帶諧項J3與扁率系數(shù)J2的相對大小，決定了凍結軌道解對應的軌道偏心率的大小，對地球、金星、火星和月球而言，凍結軌道偏心率的量級分別為10-3、10-1、10-2和10-1。

3．5 關于軌道壽命狀況

對于低軌航天器，大氣（如果存在）耗散效應是決定軌道壽命的主要因素，其表現(xiàn)特征是：軌道半長軸和偏心率隨時間增長不斷減小，即軌道不斷變小變圓。除此之外，還有另一種機制，即在中心天體非球形引力和第三體引力攝動下，航天器軌道偏心率的長周期變化Δel（t），會導致軌道近星點的高度降低，達到與中心天體相撞的狀態(tài)，軌道運行終止。

根據(jù)航天器運動理論，在中心天體非球形引力和第三體引力攝動下，低軌航天器軌道偏心率的長周期變化ΔeLC（t）由式（18）［3-5，9-12］表示。

非球形引力位中奇次帶諧項引起的偏心率的長周期變化主項，不帶有偏心率因子，而偶次帶諧項引起的變化均含有偏心率因子，這是因為奇次帶諧項J2l-1（l≥2）的大小實質上反映的是一個天體南北不對稱（包括形狀和質量密度分布）的程度。由此可知：偏心率的長周期變化幅度主要取決于奇次帶諧項J2l-1（l≥2）相對J2的大小，而且總效果取決于函數(shù)μ（i）值的變化狀況。對于地球低軌衛(wèi)星，μ（i）并不重要，而O（J2l-1／J2）＝O（10-3），相應的eLC（t）變化很小，對地球低軌衛(wèi)星的軌道壽命無影響。但對金星、火星和月球的低軌探測器，因｜J2l-1／J2｜的量級較大，這一影響機制較重要，特別是月球低軌探測器［3］。對于金星低軌探測器，O（J2l-1／J2）＝O（10-1）會引起軌道偏心率有變幅較大的長周期變化，同樣會影響軌道壽命。但是，因其整個非球形引力對球形引力（即質點引力）的偏離量很小，這一長周期變化的周期很長，幾乎像長期變化，因此影響相當緩慢［8］。這里給出數(shù)值算例［13］：在不考慮金星大氣的情況下，考查非球形引力的作用，初始時刻為2011年1月11日0時整（UTC），軌道近星點高度為700km，遠星點高度為800km，軌道傾角為10．0°和85．0°?？紤]金星非球形引力攝動，近星點高度的變化狀態(tài)見圖6。

在圖6中并沒有在軌道近星點高度為0．0km時終止計算，是為了了解長周期變化的細節(jié)。從圖6中可以看出：偏心率確有周期很長的長周期變化，而且確實可以使探測器軌道近星點高度在一定時間段內降低到0．0km，但這一過程非常緩慢，降低到0．0km（對應偏心率為0．001 3）時需要的時間長達2 068d（對應軌道傾角10．0°）和4 545d（對應軌道傾角85．0°），這一特征也與軌道傾角有關，反映了金星質量密度分布也是不太均勻的。另外，同時考慮太陽引力攝動的結果，沒有明顯改觀。以軌道傾角10．0°對應的結果為例，僅考慮金星非球形引力攝動與同時考慮太陽引力攝動，達到軌道近星點高度為0．0km 時的偏心率均為0．110 3，耗時長度分別為2 067．9d和2 069．8d，這表明對于低軌探測器的運動，主要攝動因素還是金星的非球形引力。

圖6 金星低軌探測器近星點高度的變化狀態(tài)Fig．6 Variation of periapsis height for low Venusian orbit

月球無大氣，其低軌探測器的軌道壽命主要受奇次帶諧項J2l-1（l≥2）的攝動影響所制約。除軌道傾角約為0°外，偏心率的長周期變化將取決于的變化，它有多個極大值與極小值，即同一高度的低軌探測器，不同的軌道傾角，軌道壽命卻有非常明顯的差別。例如：初始近月點高度為100km 的近圓軌道，傾角為90°和40°，相應的軌道壽命只有172d和48d；而傾角為85°，即使運行50年，近月點高度也不會降低到與月球相撞，在50年期間，近月點高度最低值仍有60km。這一現(xiàn)象反映了月球非球形引力位不僅南北明顯不對稱，而且質量密度分布還很不均勻，如存在質量瘤現(xiàn)象。

對于火星低軌探測器，既不同于地球衛(wèi)星，即函數(shù)μ（i）的值也很重要，但又不同于月球探測器，主要取決于sini值的大小。極軌探測器軌道偏心率的長周期變化幅度ΔeLC（t），明顯大于小傾角軌道探測器的變化幅度，即前者近火星點高度下降明顯。這表明火星非球形引力位盡管南北不對稱，且較地球明顯，但質量密度分布卻不像月球那樣，還是較均勻的。表5列出了一些數(shù)值檢驗結果（積分1年的弧段），僅在引力機制下，低軌探測器與火星相撞的初始近地點高度的臨界值約為80～85km。表中的數(shù)據(jù)已基本顯示出近火星點高度下降的狀態(tài)以及與軌道傾角的單調關系，的確與月球低軌探測器相應的狀態(tài)存在明顯差別，更多的細節(jié)，請見文獻［6］。

表5 軌道變化特征與傾角關系Table 5 Dependence of orbit variation on inclination

4 探測小天體的軌道形式

太陽系的小天體是研究太陽系演化的重要樣本，因此也就成為深空探測中的一類重要目標天體，特別是大量的小行星。但這些小行星的質量相對而言都很小，而且形狀極其不規(guī)則（它決定了其引力位的特征），對于近距離探測所采用軌道形式，將有別于對上述大天體的探測軌道的選擇。原則上，對小天體的探測可采用兩種形式：一種是形成繞飛形式的低軌探測器（包括登陸探測）進行探測，相應的小天體的質量不太??；另一種是形成伴飛狀態(tài)的探測形式。

對于低軌地球衛(wèi)星，其環(huán)繞速度約8km／s，逃逸速度約11．3km／s；對于小行星而言，由于其質量普遍較小，環(huán)繞其運行的臨界速度也變得較小，相應的脫離速度與其差別不大。以小行星（特別是近地小行星）的探測為例，如“愛神”（Eros）小行星的質量為6．690 4×1015kg［14］，比地球小近9個量級，相應的環(huán)繞速度和逃逸速度則分別為5．3m／s和7．5m／s，如果受到較大的攝動，繞飛形式的探測器很容易飛離小行星。更重要的是，大多小行星的形狀與地球大不相同，如果近似地處理成質量密度均勻分布的三軸橢球體，相應的動力學扁率和橢率都會很大，如“愛神”小行星，根據(jù)文獻［14］給出的探測結果，相應的扁率和橢率分別為0．052 478 和0．087 076，“參考”半徑為16．0km。對于這種類型的非球形天體，其低軌探測器運行在平均高度為10km 的近圓軌道時，承受的非球形引力攝動量級接近10-1，而且田諧項的攝動也較大，這就給攝動解的構造帶來困難。如果探測質量更小的小天體，探測器都很難形成環(huán)繞型的軌道，那么只有采用伴飛狀態(tài)的探測形式，使其構成與目標小天體軌道存在一定聯(lián)系的運行軌道。

4．1 繞飛形式的探測

就處理方法而言，與地球衛(wèi)星并無差別，包括數(shù)學模型和構造軌道解的基本原理；但由于中心天體質量較小及其引力位的特征（如“愛神”小行星），在具體構造軌道解的過程中將會遇到困難。在中心天體非球形引力和第三體引力攝動下的受攝運動方程為［4］

式中：由軌道根數(shù)組成的轉置矩陣σ＝［aBeBiBΩBωBMB］T，下標B表示小天體，σ（0）是初始無攝動根數(shù)；f（σ，t，ε）由中心天體非球形引力和第三體引力攝動構成，其中ε是對應攝動加速度的小參數(shù)。

相應的軌道根數(shù)變化的小參數(shù)冪級數(shù)解取到k階（對小參數(shù)ε而言）的形式如下。

關于攝動解的構造，對下述幾種情況已有一些有益的探討［15-17］。①目標天體的動力學扁率特別大，其他攝動因素影響較小，采用中間軌道法構造出三階攝動解。②目標天體的動力學扁率和橢率都較大，采用改進的攝動法構造二階攝動解，包括扁率和橢率的聯(lián)合項，但探測器的環(huán)繞軌道偏心率必須較小。③在目標天體的動力學扁率和第三體引力攝動同等重要的情況，同樣也采用改進的攝動法來探討。關于這幾種情況下的具體結果不再列出，探測器的軌道變化規(guī)律相對地球衛(wèi)星而言，并無“異?！爆F(xiàn)象。下面給出一個算例，即“愛神”小行星的低軌探測器的運行軌道變化狀態(tài)。初始軌道數(shù)據(jù)為：aEros＝46．0km，eEros＝0．000 1，iEros＝45．0°，ΩEros＝45．0°，ωEros＝45．0°，MEros＝0．0°。外推1年的軌道變化，用2個有代表性的根數(shù)（近星點高度和軌道傾角）的變化來顯示其軌道的變化特征，見圖7、8。

圖7 小天體探測器近星點高度隨時間的變化Fig．7 Variation of periapsis with time for small body probes

圖8 小天體探測器軌道傾角隨時間的變化Fig．8 Variation of orbit inclination with time for small body probes

從圖7、8顯示的結果可以看出，軌道形狀和軌道面的變化均無異常，與地球衛(wèi)星由引力攝動引起的軌道變化規(guī)律并無區(qū)別。對于“愛神”的高軌探測器（如軌道半長軸為100．0km，約為“愛神”小行星參考半徑的6．25倍時），相應的軌道變化也無明顯差別，因這樣的高度，仍舊是中心天體的非球形引力攝動占主導地位，第三體引力攝動還是較小。

對于眾多小天體，上述三軸橢球體引力模型的假定并不成立，相應非球形引力位的形式非常復雜，即使采用普遍適用的球諧函數(shù)展開形式，其各球諧項的大小絕不會像大行星（特別是地球）那樣有“規(guī)律”，無論是采用旋轉對稱體，還是三軸橢球體，均與實際的力模型差距很遠，這就給構造繞飛型探測器的軌道解帶來麻煩，也就是繞飛形式探測中有待研究的力模型問題。

4．2 伴飛形式的探測

對于質量較小的小行星，如果難以俘獲探測器或勉強俘獲后，在其他大行星引力攝動下很快又飛離目標小行星，那么需要采用伴飛的形式進行探測。這里所說的伴飛，可能有兩種形式：一是目標小行星的質量小到一定程度，相對太陽而言，就如同一般地球衛(wèi)星相對地球那樣，此時，探測器與小行星的伴飛狀態(tài)就類似于2顆地球衛(wèi)星的伴飛狀態(tài)；二是目標小行星的質量不能忽略，在這種力學背景下，可能的伴飛形式就是限制性三體問題中探測器定位在相應的平動點L1或L2附近的周期或擬周期軌道上［18］，因小行星的質量相對太陽而言確實很小，平動點L1或L2離小行星很近，與L1 或L2 點伴飛（如halo軌道）和伴飛目標小行星，就幾何狀態(tài)而言沒有明顯區(qū)別。根據(jù)文獻［14］給出的“愛神”小行星的引力常數(shù)4．463×10-4km3／s2及相關軌道根數(shù)可知，平動點L1或L2 距“愛神”只有約2 200km 遠，而“愛神”是太陽系中最大的小行星之一，更多的小行星質量遠比它小，相應的平動點L1 或L2 的距離還要小，也就是會相當靠近小行星。因此，從探測效果來看，上述兩種伴飛形式均可達到探測目的，但它們的力學機制卻完全不同。

5 結束語

本文闡述了大行星、月球和小天體環(huán)繞型探測器的軌道問題。上述內容，對于深空探測而言，作為目標軌道設計和地面測控系統(tǒng)，都是必須了解的基本軌道信息。至于各類環(huán)繞型探測器軌道變化的細節(jié)，將涉及軌道攝動變化的分析解（實為小參數(shù)冪級數(shù)解）。小參數(shù)冪級數(shù)解的構造方法，就基本原理而言，對不同中心天體的探測器是一致的，但具體方法不盡相同。即使是本文提及的幾個探測目標天體，由于它們的非球形引力位和相應的力學環(huán)境均有各自的特點，不存在相同的攝動解構造方法（包括小參數(shù)的選擇和構造的細節(jié)），最終給出的攝動解的特征也有明顯差別。因此，不能簡單地套用地球衛(wèi)星的有關方法和結果。限于本文篇幅，有關內容可參見文獻［3-4，8，16-17，19］。

（References）

［1］Archinal B A，Hearn A M F，Bowell E，et al．Report of the IAU working group on cartographic coordinates and rotational elements：2009［J］．Celest．Mech．Dyn．Astron，2011，109（2）：101-135

［2］Cottereau L，Souchay J．Rotation of rigid Venus：a complete precession-nutation model，CNRS／UMR8630［R］．Paris：SYRTE，2010

［3］劉林，王歆．月球探測器軌道力學［M］．北京：國防工業(yè)出版社，2006

Liu Lin，Wang Xin．Orbit mechanics for lunar probes［M］．Beijing：National Defense Industry Press，2006（in Chinese）

［4］劉林．航天器軌道理論［M］．北京：國防工業(yè)出版社，2000

Liu Lin．Orbit theory for spacecraft［M］．Beijing：National Defense Industry Press，2000（in Chinese）

［5］劉林，胡松杰，王歆．航天動力學引論［M］．南京：南京大學出版社，2006

Liu Lin，Hu Songjie，Wang Xin．Introduction to astrodynamics［M］．Nanjing：Nanjing University Press，2006（in Chinese）

［6］劉林，湯靖師．火星軌道器運動的軌道變化特征［J］．宇航學報，2008，29（2）：461-466

Liu Lin，Tang Jingshi．Orbit variation characteristics for Mars probes［J］．Journal of Astronautics，2008，29（2）：461-466（in Chinese）

［7］劉林，趙玉暉，張巍，等．環(huán)火衛(wèi)星運動的坐標系附加攝動及相應坐標系的選擇［J］．天文學報，2010，51（4）：412-421

Liu Lin，Zhao Yuhui，Zhang Wei，et al．The coordinate additional perturbations to Mars orbiters and the choice of corresponding coordinate system ［J］．Acta Astronomica Sinica，2010，51（4）：412-421（in Chinese）

［8］Liu Lin，Shum C K．Analytic perturbation solutions to the Venusian orbiter due to the nonspherical gravitaional potential［J］．Science in China（Series A），2000，43（5）：552-560

［9］Wang Xin，Liu Lin．Another mechanism of restricting the lifetime of orbiting satellites［J］．Chin．Astron．Astrophys，2002，26（4）：489-496

［10］Wang Xin，Liu Lin．Another mechanism of restricting the lifetime of orbiting satellites （continued）［J］．Chin．Astron．Astrophys，2003，27（1）：107-113

［11］Liu Lin，Wang Haihong．Two problems about the mo-tion of low-moon-orbit satellites［J］．Chin．Astron．Astrophys，2006，30（4）：437-446

［12］劉林，湯靖師．衛(wèi)星偏心率的變化特征及其對軌道壽命的影響［J］．天文學進展，2009，27（1）：58-69

Liu Lin，Tang Jingshi．Variation characteristic of satellite eccentricity and its impact on orbital lifetime［J］．Progress in Astronomy，2009，27（1）：58-69（in Chinese）

［13］Fehlberg E．Classical fifth-，sixth-，seventh-and eighth order runge-kutta formulas with stepsize control，NASA TR R-287［R］．Washington：NASA，1968

［14］Miller J K，Konopliv A S，Antreasian P G，et al．Determination of shape，gravity，and rotational state of asteroid 433Eros［J］．Icarus，2002，155（1）：3-17

［15］劉林，趙德滋．中間軌道攝動法及其應用［J］．宇航學報，1982，3（1）：50-62

Liu Lin，Zhao Dezi．Intermediate orbit perturbation and its application［J］．Journal of Astronautics，1982，3（1）：50-62（in Chinese）

［16］張效愚，劉林．中間軌道實用化的探討［J］．南京大學學報（自然科學版），1988，24（2）：181-197

Zhang Xiaoyu，Liu Lin．Discussion on the application of intermediate orbit［J］．Journal of Nanjing University（Natural Science），1988，24（2）：181-197（in Chinese）

［17］侯錫云，劉林．中間軌道實用化的進一步探討［J］．飛行器測控學報，2004，23（2）：24-29

Hou Xiyun，Liu Lin．Further discussion on the application of intermediate orbit［J］．Journal of Telemetry and Control，2004，23（2）：24-29（in Chinese）

［18］侯錫云，劉林．共線平動點的動力學特征及其在深空探測中的應用［J］．宇航學報，2008，29（3）：461-466

Hou Xiyun，Liu Lin，The dynamical characteristics of collinear equilibriums and the application in deep space exploration［J］．Journal of Astronautics，2008，29（3）：461-466（in Chinese）

［19］Kozai Y．Motion of a close Earth satellite［J］．Astron J．，1959，64（9）：367-377