污染模型中參數訂正的集合Kalman濾波擴展狀態(tài)變量法

吳?；?，韓月琪，王成林，黃 娟

(1.金陵科技學院基礎部，江蘇 南京 211169;2.解放軍理工大學氣象學院，江蘇 南京 211101;3.江蘇省環(huán)境監(jiān)測中心，江蘇 南京 210036)

·解析評價·

污染模型中參數訂正的集合Kalman濾波擴展狀態(tài)變量法

吳?；?，韓月琪2，王成林2，黃 娟3

(1.金陵科技學院基礎部，江蘇 南京 211169;2.解放軍理工大學氣象學院，江蘇 南京 211101;3.江蘇省環(huán)境監(jiān)測中心，江蘇 南京 210036)

污染模型中不確定參數的精確訂正對于提高模型的精度有著重要的意義。在集合Kalman濾波(EnKF)同化方法的基礎上，提出了對模型中不確定參數進行訂正的EnKF擴展狀態(tài)變量法，將不確定參數看成和模型狀態(tài)變量一樣的量，根據觀測資料對不確定變量進行訂正，以達到訂正參數的目的。采用一個簡化的空氣質量方程，對模型參數訂正方案進行檢驗，結果證明提出的方案可行和有效。同時發(fā)現，隨著觀測資料精度的提高，無論是參數還是模型的狀態(tài)變量，估計分析值的精度也得到相應的提高。

污染模型;參數訂正;集合Kalman濾波;擴展狀態(tài)變量法

20世紀70年代以來，國內外污染的治理實踐表明，污染的負荷定量化研究是控制、評價和管理點源、非點源污染的基礎，而模型模擬已成為定量研究點源、非點源污染負荷最直接和有效的方法［1-3］。國內外學者針對污染估算開發(fā)了大量的數學模型，如 ANSWERS，CREAMS，WEPP，AGNPS，SWRRB/SWAT，COHERENS 模型等［4-11］，國內外利用模型進行污染以及水文水資源的模擬研究成為熱點，并取得了一定的成果［12-19］。雖然這些模型在試驗中都取得了較好的模擬結果，但地域特征明顯，對不同的區(qū)域條件需要重新確定模型參數。這些參數的確定往往決定了模型在各地域使用的成?。?0，21］。

在這些數值模型中，都有一些經驗系數或常用參數，針對不同的地域特點或下邊界條件，這些參數會發(fā)生改變。如果還是沿用原來的參數值，就會導致模型的模擬結果和實際情況產生較大的偏差。因此，如何根據實際觀測資料，對模型中的不確定參數進行合理的估計訂正，對提高污染模型的模擬結果精度具有重要的意義。

對于污染模型中的不確定參數，目前主要是根據文獻資料、典型區(qū)調查和現場實驗的結果來決定。這些方法基本上都是定性的，只能給出一個大概的結果。為了根據觀測資料對污染模型中的不確定參數進行定量的訂正，使參數值更接近實際情況，引入集合 Kalman濾波(EnKF)數據同化方法［22］。EnKF同化方法具有隨流型演變的背景誤差協(xié)方差陣，不需要求解模型的切線性及其伴隨方程的優(yōu)點，受到許多人的檢驗、改進和應用［23］，成為近10年來數據同化方向研究的熱點。但EnKF同化方法主要是根據觀測資料對模型狀態(tài)變量進行估計，還不能直接用來訂正估計模式中的不確定參數，因為這些不確定參數并不是模型狀態(tài)變量。筆者對這種方法進行了改進，提出可以根據觀測資料對模式中不確定參數進行訂正的擴充狀態(tài)變量法，即把這些不確定參數當成和模型狀態(tài)變量一樣，然后利用觀測資料進行同化訂正。

1 EnKF 的原理方法

EnKF是Evensen根據Epstein的隨機動力預報理論［22，24］，提出的用 Monte Carlo 方法和 Kalman估計方法相結合的集合資料同化方法［25］。EnKF的基本思想是:根據背景場和觀測場誤差統(tǒng)計性質，隨機產生有限樣本的集合擾動，然后將這些擾動分別加到背景場和觀測場上，從而產生背景場和觀測場集合，并用背景場的預報集合樣本來統(tǒng)計計算預報誤差協(xié)方差矩陣，最后利用Kalman最小方差估計理論對新時刻的觀測資料進行同化，得到一組分析場集合，用此分析場集合作預報，到下一個觀測時刻再同化，如此循環(huán)。公式如下:

用一組模式預報集合擾動估計的背景場誤差協(xié)方差矩陣為:

2 用于不確定參數訂正的擴展狀態(tài)變量EnKF的方法

前面介紹EnKF分析過程，主要是針對模型狀態(tài)變量估計的。如果要根據觀測資料對模型中的不確定參數和模型狀態(tài)變量一并進行估計，就需要采用擴展狀態(tài)變量的方法。即如何把模型中的不確定參數當成和模型狀態(tài)變量一樣，然后再利用EnKF方法對這些擴展后的“模型狀態(tài)變量”進行估計分析。具體過程如下:

針對包含不確定參數的數值模型，公式為:

式中:x——原模型狀態(tài)變量;a——模型中的參數;w——模型誤差?？梢园?7)式改寫為如下公式:

再利用EnKF方法，就可以根據觀測資料對包括不確定參數在內的“狀態(tài)變量”進行訂正。

之所以能夠用擴展狀態(tài)向量法對數值模型中的不確定參數進行訂正，是因為不確定參數的值會對每一時刻狀態(tài)變量的值產生影響，而它們之間的影響關系，可以通過Monte Carlo集合預報的方法統(tǒng)計出來，具體表現形式就是擴展后狀態(tài)變量的誤差協(xié)方差矩陣B∧b。有了這個關系，采用EnKF同化方法就可以根據觀測資料值對模型中不確定的參數進行訂正估計。下面通過一個空氣質量變化的數值試驗對提出的方案進行檢驗。

3 一個空氣質量模型的數值試驗

下面是描述空氣質量變化的一個簡單的、無量綱概念模型［26］:

式中:Q——隨時間變化的污染源;C——污染物的濃度;a——降解系數。試驗中假設真實的污染源為Qtrue(t)=sin(t)，降解系數真值為0.2。將真實初始濃度Ctrue(0)=1.0在時間段t∈［0，5］的積分值視為真值，積分的時間步長取0.1，試驗中不考慮模型誤差。

觀測值是在真實濃度上加白噪音，觀測誤差均方差為0.1。集合成員個數為100。這里將濃度的初猜值設為Cf(0)=0.2，誤差均方差設為0.3;實際模式中降解系數為0，誤差均方差為0.1。在下面的試驗中都沒有考慮污染源排放先驗誤差的時間相關。

為了對前面提出的不確定參數訂正的擴展變量EnKF方案進行檢驗，首先進行第一組試驗，共包含4個試驗。試驗1為真值;試驗2為不作En-KF資料同化;試驗3為只對模型狀態(tài)變量(即空氣污染物濃度)進行訂正;試驗4為對模型的狀態(tài)變量和不確定參數(即降解系數)同時進行訂正。

圖1為第一組各個試驗中污染物濃度隨時間的變化。由圖中可以發(fā)現，如果不考慮模型中不確定參數的誤差而只考慮狀態(tài)變量的誤差，即使進行了觀測資料同化，數值模擬結果仍然有較大的誤差。如果根據觀測資料對狀態(tài)變量和不確定參數同時進行訂正，則數值模擬結果具有較大的改善。這說明在參數存在誤差而不訂正的情況下，在同化或數值模擬過程中會對污染物狀態(tài)變量的計算造成很大的誤差。因此根據觀測資料對模式中的不確定參數進行訂正對于準確模擬污染物的擴散和改進模式的性能具有重要的意義。另外，數值結果表明對不確定參數訂正的擴展變量EnKF方案不但可以根據觀測資料改善模式的狀態(tài)變量模擬效果，而且可以根據觀測資料對模式中的不確定參數同時進行訂正。

圖1 第一組試驗中污染物濃度隨時間的變化

圖2為試驗4模式中不確定參數降解系數a的估計值隨時間的變化。從圖中可以看出，隨著估計次數的增多，降解系數逐漸向真值0.2靠近，最后穩(wěn)定在0.18左右。

圖2 降解系數估計值隨時間的變化

由以上的試驗結果可以看出，對參數進行估計的擴展狀態(tài)變量法是有效的。通過觀測資料，在對狀態(tài)變量進行估計的同時，此種方法可以對數值模型中的不確定參數進行訂正。當然從前面的試驗還可以看出，無論是狀態(tài)變量(即污染物濃度)還是降解系數，它們的估計值最后都還和真值有一定的偏差。為此我們把觀測資料的方差定為0.001(相比第一組試驗提高了觀測資料的精度)，進行了第二組試驗。試驗還是4個試驗，設計同第一組。

圖3為第二組試驗中各個試驗中污染物濃度隨時間的變化，圖4為不同試驗情況下，狀態(tài)變量(即污染物濃度)的誤差函數隨時間的變化。其中誤差函數定義為:

式中:X——污染物濃度，是第二組中4個不同試驗情況下的計算值;t——真解，由真實的初始場和降解系數時間積分得到。

從圖3、4中可以得出和第一組試驗相同的結論，另外與第一組試驗中的圖1相比，還可以看出在對模型的狀態(tài)變量和不確定參數同時進行訂正的情況下，因為觀測資料精度的提高，狀態(tài)變量污染物濃度的估計值與真值的偏差減小，估計值的精度得到了提高。這說明提高觀測資料的精度，可以有效改善估計變量(狀態(tài)變量和參數)的同化效果。

圖3 第二組試驗中污染物濃度隨時間的變化

圖4 誤差函數隨時間的變化

圖5為觀測資料方差為0.001的情況下作為不確定參數的降解系數估計值隨時間的變化。與圖2相比可以發(fā)現，隨著觀測資料精度的提高降解系數估計值的精度也得到相應的提高。

圖5 降解系數估計值隨時間的變化

4 結論與討論

污染數值模型中不確定參數的訂正對于提高數值模型的模擬精度有著重要的意義。該文在EnKF同化方法的基礎上，提出了EnKF擴展狀態(tài)變量法來對模型中不確定的參數進行訂正，即將不確定參數看成和狀態(tài)變量一樣的量，然后根據觀測資料對這些變量進行訂正。采用一個簡化的空氣質量方程對所提出的參數訂正方案進行檢驗，結果證明提出的方案是可行且有效的。并且發(fā)現，隨著觀測資料精度的提高，無論是不確定參數還是狀態(tài)變量，訂正分析值的精度也得到相應的提高。

當然這種參數訂正估計的方法可以用在統(tǒng)計回歸模型系數的確定上。文中只是采用一個簡單的空氣質量模型對所提出的參數訂正方案進行檢驗。對于更復雜的污染數值模型，因為考慮的參數、試用的條件均不同，該文提出的訂正方案是否有效以及如何將這種方案應用到更復雜的模型中還有待進一步研究。

［1］ 郝芳華，楊勝天，程紅光，等.大尺度區(qū)域非點源污染負荷計算方法［J］.環(huán)境科學學報，2006，26(3):375-383.

［2］ 鄭東海，王凌，曾紅娟，等.松濤水庫流域非點源污染負荷模擬模型［J］.環(huán)境科學學報，2009，29(6):1311-1320.

［3］ 李強坤，李懷恩，胡亞偉，等.黃河干流潼關斷面非點源污染負荷估算［J］.水科學進展，2008，19(4):460-466.

［4］ BEASLEY D B，HUGGIN L F.ANSWERS user′s manual［M］.West Layette:Purdue University，1982:33-40.

［5］ KNISEL W G，CREAM S.A field scale model for chemicals，runoff and erosion from agriculture management system［R］.Washington，D.C.:USDA，1983.

［6］ FLANAGAR D C，NEARING G R，LANE L J.USDA-WEPP:hillslope profile and watershed model documentation［R］.Washington，D.C.:USDA-ARS，1995.

［7］ YOUNG R A.AGNPS:A nonpoint source pollution model for evaluating agricultural watershed ［J］.Journal of Soil and Water Conservation，1989，44(2):168-173.

［8］ ECKHARDT K，HAVERKAMP S，FOHRER N，et al.SWAT-G，a version of SWAT99.2 modified for app lication to low mountain range catchments［J］.Physics and Chemistry of the Earth:Parts A/B/C，2002，27:641-644.

［9］ HUA Z L，FAN X P，JiING Z Y，et al.Three-Dimensional Numerical Simulation of Flow Field and Pollutant Transport in Haizhou Bay［C］.Proceeding of 15thCongress of the Asia and Pacific Division of the International of Hydraulic Engineering and Research International Symposium on Maritime Hydraulics，Allied Publishers Pvt.Ltd，2006:1437-1448.

［10］ 李艷蕓，李紹武.風暴潮預報模式在渤海海域中的應用研究［J］.海洋技術，2006，25(1):101-106.

［11］ 華祖林，顧莉，查玉含，等.基于COHERENS模型的污染物質輸運數值模擬［J］.環(huán)境科學與技術，2009，32(4):14-18.

［12］ IOANNIS P，MARIA M，MARIA K.Estimation of nitrogen and phosphorus losses to surface water and groundwater through the implementation of the SWAT model for Norwegian soils［J］.Journal of Soils and Sediments，2007，7(4):223-231.

［13］ DEBELE B，SRINIVASAN R，PARLANGE J Y.Coupling up land watershed and downstream waterbody hydrodynamic and water quality models(SWAT and CE-QUAL-W2)for better water resources management in complex river basins［J］.Environmental Modeling and Assessment，2008，13(1):135-153.

［14］ 王中根，劉昌明，黃友波.SWAT模型的原理結構及應用研究［J］.地理科學進展，2003，22(1):79-87.

［15］ 楊玨，錢新，張玉超，等.兩種新型流域非點源污染負荷估算模型的比較［J］.中國環(huán)境科學，2009，29(7):762-766.

［16］ 李強坤，李懷恩，胡亞偉，等.黃河干流潼關斷面非點源污染負荷估算［J］.水科學進展，2008，19(4):460-466.

［17］ 秦耀民，胥彥玲，李懷恩.基于SWAT模型的黑河流域不同土地利用情景的非點源污染研究［J］.環(huán)境科學學報，2009，29(2):440-448.

［18］ 薛罡，劉亞男，汪永輝，等.曝氣充氧條件下受污染河道的水質模型建立及應用［J］.環(huán)境科學，2010，31(3):653-659.

［19］ 鄭東海，王凌，曾紅娟，等.松濤水庫流域非點源污染負荷模擬模型［J］.環(huán)境科學學報，2009，29(6):1311-1320.

［20］ JOHNES P J.Evaluation and management of the impact of land use change on the nitrogen and phosphorus load delivered to surface waters:the export coefficient modeling approach ［J］.Journal of Hydrology，1996，183:323-349.

［21］ 蔡明，李懷恩，莊詠濤，等.改進的輸出系數法在流域非點源污染負荷估算中的應用［J］.水利學報，2004(7):40-45.

［22］ EVENSEN G.Sequential data assimilation with a nonlinear Quasigeostrophic model using Monte Carlo methods to forecast error statistics［J］.Journal of Geophysical Research Oceans，1994，99:10143-10162.

［23］ SNYDER C，ZHANG F.Assimilation of simulated Doppler radar observations with an ensemble Kalman filter［J］.American Meteorological Society，2003，131:1663-1677.

［24］ EPSTEIN E S.Stochastic dynamic prediction［J］.Tellus，1969，21:739-759.

［25］ 林彩燕，朱江，陸春谷.集合KALMAN濾波和最優(yōu)插值方法在不同觀測分布的比較理想試驗［J］.氣候與環(huán)境研究，2006，5:553-563.

［26］ 朱江，汪萍.集合卡爾曼平滑和集合卡爾曼濾波在污染源反演中的應用［J］.大氣科學，2006，30(5):871-882.

The Research of Extended State Variable Method in Ensemble Kalman Filter for Estimating Uncertain Parameters in Pollution Model

WU Zhu-hui1，HAN Yue-qi2，WANG Cheng-lin2，HUANG Juan3
(1.Basis Department，Jinling Institute of Technology，Nanjing，Jiangsu 211169，China;2.Institute of Meteorology，PLA University of Science and Technology，Nanjing，Jiangsu 211101，China;3.Jiangsu Provincial Environmental Monitoring Center，Nanjing，Jiangsu 210036，China)

The exact estimation of uncertain parameters in pollution model makes great sense in enhance the precision of numerical model.The method of extended state variable based on Ensemble Kalman Filter(EnKF)is introduced to estimate the uncertain parameters.That is the uncertain parameters as the model state variables that can be corrected by observational data.A simple quality equation of air is used to test the method of correcting model parameters.The results of experiment show that the method is feasible and effective.At the same time，the precision of estimated value of parameters and state variables is improved with the elevation of the observational data′s precision.

pollution model;parameter estimation;Ensemble Kalman Filter;extended state variable method

X823

B

1674-6732(2012)-03-0036-05

10.3969/j.issn.1674-6732.2012.03.009

2010-12-01;

2010-12-18

國家自然科學基金項目(40805046);江蘇省自然科學基金項目(BK2010128);公益性行業(yè)(氣象)專項課題(GYHY(QX)2007-6-15，GYHY200906009)。

吳?；?1977—)，女，講師，碩士，從事數理統(tǒng)計研究。