3-RPS并聯(lián)機(jī)器人位置分析及控制仿真

朱大昌， 嚴(yán)智敏， 崔祥府， 李 培

（江西理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江西 贛州 341000）

3-RPS并聯(lián)機(jī)器人位置分析及控制仿真

朱大昌， 嚴(yán)智敏， 崔祥府， 李 培

（江西理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江西 贛州 341000）

應(yīng)用坐標(biāo)變換法和封閉解法，基于3-RPS并聯(lián)機(jī)器人位置分析，采用Matlab建立3-RPS型并聯(lián)機(jī)器人仿真模型，給定不同狀態(tài)下的參考輸入，通過合理設(shè)置PID控制器各項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真比較.仿真結(jié)果表明：在不同的參考輸入的條件下，動(dòng)平臺(tái)的位置變化幾乎相同，實(shí)現(xiàn)了PID控制調(diào)平作用，驅(qū)動(dòng)桿實(shí)際輸出與參考值的偏差在允許范圍內(nèi)波動(dòng)，控制效果明顯，為研究基于并聯(lián)機(jī)器人自動(dòng)調(diào)平提供參考.

3-RPS型并聯(lián)機(jī)器人；位置正/反解；Matlab仿真；PID控制

0 引 言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置分析在并聯(lián)機(jī)器人的研究中具有十分重要的意義，通過位置分析可以求解機(jī)構(gòu)的輸入與輸出構(gòu)件之間的位置關(guān)系，是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析最基本的任務(wù)，以及是機(jī)構(gòu)受力分析、速度、加速度、誤差分析、機(jī)構(gòu)綜合分析等的基礎(chǔ)[1].由于并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)具有剛度高，承載能力強(qiáng)，結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)，因此它在工業(yè)生活中具有廣闊的應(yīng)用前景.少自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)研究相對(duì)簡(jiǎn)單，具有很強(qiáng)的靈活性，制造相對(duì)容易，有其諸多優(yōu)越性，在各個(gè)領(lǐng)域中更具有應(yīng)用潛力，因而成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究較多的一類機(jī)構(gòu).在串聯(lián)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)位置分析中，正解比較容易，反解比較困難，相反在并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置分析中反解相對(duì)簡(jiǎn)單，而位置正解比較復(fù)雜.

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)位置正解主要有解析法和數(shù)值法.它們各有自己的優(yōu)缺點(diǎn)：數(shù)值法數(shù)學(xué)模型相對(duì)簡(jiǎn)單，能夠適用于大多數(shù)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，但它不能求出全部位置的解，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此作了大量的研究.例如Innocentit提出了位置正解的一維搜索法，Dagupta提出了預(yù)測(cè)校正法，該方法采用3維搜索法從純幾何角度求解位置正解，有學(xué)者提出一種逐次逼近法；解析法，即利用各種數(shù)學(xué)消元法逐一消去未知數(shù)，最終求解一個(gè)一元多項(xiàng)式.雖能求出全部位置的解，但求解過程比較繁瑣，國(guó)內(nèi)對(duì)位置正解解析法的研究主要是北京郵電大學(xué)機(jī)械學(xué)研究所進(jìn)行的，至今，他們分別獲得了3-TPS、3-6SPS、5-4型、6-4型機(jī)構(gòu)、6-4臺(tái)體機(jī)構(gòu)、6-5型機(jī)構(gòu)、5-5型、6-5型機(jī)構(gòu)的位置正解，并驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)解的數(shù)目[2].

在控制領(lǐng)域中，控制方法很多，有PID控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制、自適應(yīng)控制法、模糊控制、神經(jīng)元控制等，其中PID控制是最早發(fā)展起來的控制策略之一，由于其算法簡(jiǎn)單、魯棒性好、可靠性高等特點(diǎn)，因而在控制領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用[3].

本文在借鑒前人的基礎(chǔ)上，以3-RPS并聯(lián)機(jī)器人為例，應(yīng)用坐標(biāo)變換法和封閉方法對(duì)并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)位置作了初步的分析，并運(yùn)用Matlab建模與PID控制進(jìn)行仿真.

1 機(jī)構(gòu)描述

3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的上下平臺(tái)以3個(gè)分支相聯(lián)，每個(gè)分支由3個(gè)運(yùn)動(dòng)副連接而成，固定平臺(tái)的每個(gè)頂點(diǎn)各自連接一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，轉(zhuǎn)動(dòng)副通過一個(gè)移動(dòng)副連接一個(gè)球副，每個(gè)球副分別連接在移動(dòng)平臺(tái)的各個(gè)頂點(diǎn)，上下平臺(tái)都是由2個(gè)正三角形組成，如圖1所示.

圖1 3-RPS機(jī)構(gòu)模型

在機(jī)構(gòu)的上下平臺(tái)上各建立坐標(biāo)系，動(dòng)坐標(biāo)系P-UVW建立在上平臺(tái)，下平臺(tái)建立定坐標(biāo)系OXYZ，P、O分別在上下平臺(tái)的中心.上下平臺(tái)分別記為 B1B2B3，A1A2A3， 其中 PBi,OAi,OBi分別記為 bi,ai,qi，bi,ai的長(zhǎng)度分別記為h、g，di表示驅(qū)動(dòng)桿AiBi之間的桿長(zhǎng)，φi分別為連桿AiBi與下平臺(tái)之間的傾斜角，θi分別表示轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線ui與X軸之間的夾角，L為上平臺(tái)三角形的邊長(zhǎng)，如圖2所示.

圖2 3-RPS機(jī)構(gòu)示意圖

2 位置分析

2.1 位置反解

位置反解，即給定上平臺(tái)在空間的位置和姿態(tài)，求各個(gè)桿長(zhǎng)，即各移動(dòng)副的位移[4].如圖2可知，Ai在O-XYZ中的坐標(biāo)為：取 Z-Y-X 型歐拉角(α,β,γ)，則動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)固定坐標(biāo)系的方向余弦為：

式(3)中：cα=cosα,sα=sinα,其它同理.

球鉸在固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：

式(4)中 P=[PXPYPZ]T，表示動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)在固定坐標(biāo)系中的位置矢量.

由上可求出桿長(zhǎng)：

從而求出該并聯(lián)機(jī)器人的位置反解.

2.2 位置正解

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解即給定各分支的驅(qū)動(dòng)長(zhǎng)度di，求動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)P在固定坐標(biāo)系中位置坐標(biāo)PX、PY、PZ和動(dòng)坐標(biāo)系對(duì)定坐標(biāo)系的方向余弦，即T.根據(jù)3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，動(dòng)平臺(tái)由一個(gè)正三角形組成，由此可以運(yùn)用梁崇高教授所提出的位置封閉解的方法來求解該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解[5-6].

u1、u2、u3分別是3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線方向，假設(shè)將球鉸B1與動(dòng)平臺(tái)B1B2B3解除約束，由于與下平臺(tái)連接的轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)動(dòng)作用，顯然桿B1A1會(huì)繞轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線u1轉(zhuǎn)動(dòng)，形成以A1為圓心，半徑為d1的圓.同理，球鉸 B2、B3在相同的條件下也作相同的運(yùn)動(dòng).假設(shè) u1、u2、u3與 X 軸夾角分別為：θ1=90°、θ2=210°、θ3=330°，則上平臺(tái)上的3個(gè)球鉸的位置分別用 φ1、φ2、φ3表示為：

動(dòng)平臺(tái)的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)表示上平臺(tái)三角形的邊長(zhǎng)，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，則有如下關(guān)系式：

將式（6）代入（7）中整理得到以φi為參數(shù)的超越方程：

式（8）中，Ai、Bi、Di、Ei、Fi均為已知量的函數(shù).

化簡(jiǎn)得：

式(10)中，ai、bi、ci為各階變量 x2和 x3的系數(shù).對(duì)上式進(jìn)行化簡(jiǎn)消去 x3，由于 ai、bi、ci本身只含有 x1、x2，則可以得到只關(guān)于x1、x2的方程：

將上式寫成只關(guān)于x2的方程有：

式(12)中 ki僅是關(guān)于 x1的函數(shù)，再由式(10)，式(12)可以寫成如下矩陣方程：

由于 [x25x24x23x22x21]T≠0， 因此該齊次方程有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零，從而求出 x1，同理求出 x2、x3，從而求得 φi，求得的值代回式（6）中，得出平臺(tái)3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)樯掀脚_(tái)是一個(gè)等邊三角形，3個(gè)球鉸在三角形的頂點(diǎn)上，所以根據(jù)三角形的幾何性質(zhì)可以求出動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)P的坐標(biāo)：

假設(shè)動(dòng)坐標(biāo)系對(duì)固定坐標(biāo)系的3個(gè)轉(zhuǎn)角分別為θU，θV，θW，則根據(jù)如下關(guān)系式求出方向余弦：

式中：

3 Matlab建模

根據(jù)控制原理與3-RPS并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)連接關(guān)系，運(yùn)用Matlab中SimMechanics模塊集，建立圖3、4、5、6 的仿真模型[7-10].

圖3表示3-RPS機(jī)構(gòu)建模仿真的總框圖，Subsystem部分表示對(duì)該機(jī)構(gòu)系統(tǒng)輸入的參考值，即圖4所示；PID Controller部分表示控制部分；Subsystem3部分表示該機(jī)構(gòu)，即圖5所示；Scope1與Scope3為示波器，分別表示動(dòng)平臺(tái)的位置變化與差值的輸出.

圖3 3-RPS機(jī)構(gòu)PID控制SimMechanics總框圖

圖4 3-RPS機(jī)構(gòu)參考值輸入SimMechanics框圖

圖5 3-RPS機(jī)構(gòu)SimMechanis框圖

圖6 3-RPS一支鏈SimMechanis框圖

4 仿真對(duì)比分析

設(shè)定初始參數(shù)：上下平臺(tái)外接圓半徑分別為50 mm，100 mm，上平臺(tái)的質(zhì)量為1 kg，移動(dòng)副固定桿和移動(dòng)桿都為0.1 kg，上平臺(tái)中心點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0，150），Φ1=Φ2=Φ3=120°，建立機(jī)構(gòu)模型.

假設(shè)動(dòng)平臺(tái)輸入的參考值：EulerXYZ （45°，45°，0°），P 點(diǎn)的坐標(biāo)輸入為：（sin(2πt)，sin(2πt)，sin(2πt)），進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖7、圖8所示.

圖7 動(dòng)平臺(tái)位置變化圖

改變P點(diǎn)的參考坐標(biāo)輸入：（20sin(2π×5t+10)+10，20sin(2π×5t+10)+10，20sin(2π×5t+10)+10），進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖9，圖10.

圖8 驅(qū)動(dòng)桿實(shí)際輸出與參考值的差值變化

圖9 動(dòng)平臺(tái)位置變化圖

比較圖7和圖9知，在不同的參考值輸入的條件下，通過合理改變PID控制器的參數(shù)，動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)P的X,Y,Z軸的實(shí)際位置變化的變化規(guī)律幾乎相同，體現(xiàn)了PID的控制調(diào)平作用.由圖8和圖10可知，驅(qū)動(dòng)桿實(shí)際輸出值與參考值的偏差值逐漸趨于零，說明了PID控制效果明顯.

5 結(jié) 論

通過應(yīng)用坐標(biāo)變換法和位置封閉解法分析了3-RPS并聯(lián)機(jī)器人的正反解位置分析，為進(jìn)一步分析該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)與控制仿真提供了有效的理論基礎(chǔ).根據(jù)控制原理，運(yùn)用Matlab中SimMechanics模塊，建立機(jī)構(gòu)模型與控制仿真模型，在不同狀態(tài)下進(jìn)行仿真比較，得出正確的圖形；由結(jié)果分析可知，基于PID控制可實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)的自動(dòng)調(diào)平，在實(shí)踐中具有重要的應(yīng)用價(jià)值.驅(qū)動(dòng)桿實(shí)際輸出與參考值的誤差值曲線在零附近上下波動(dòng)，逐漸趨于零，但還是存在一定的偏差，這為進(jìn)一步研究并聯(lián)機(jī)器人控制性能的提高奠定了基礎(chǔ).

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The position analysis and control simulation of 3-RPS parallel robot

ZHU Da-chang,YAN Zhi-min,CUI Xiang-fu,LI Pei

(School of Mechanical and Electrical Engineering,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China)

The position of the 3-RPS parallel robot is analyzed by the method of coordinate transformation and the position closed-form method.Based on matlab,the simulation model of this robot is established.With the reference input in different condition,the simulation comparison is made through setting the parameters of the PID controller in reason to simulate.The results show that in different reference input condition the changes in the position of the moving platform are almost identical,the effect of PID control leveling is realized and the deviation between the actual output of drive shaft displacement and the reference signal fluctuates in the allowable range,the control effect is obvious.This provides the information for the study of automatic leveling to the parallel robots.

3-RPS parallel robot;location inverse solution;Matlab simulation;PID control

TP242

A

1674-9669（2012）01-0095-06

2011-10-24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（50965007、51165009）；江西省教育廳科技計(jì)劃項(xiàng)目（GJJ11484）

朱大昌（1973－ ），男，副教授，主要從事并聯(lián)機(jī)器人及控制等方面的研究，E-mail：zdc98998@163.com.