一類奇異半線性橢圓方程解的漸近行為

周文書

(大連民族學(xué)院理學(xué)院，遼寧大連 116605)

一類奇異半線性橢圓方程解的漸近行為

周文書

(大連民族學(xué)院理學(xué)院，遼寧大連 116605)

利用緊致技巧、比較原理、Fatou引理以及Poincare不等式，研究了低階項(xiàng)關(guān)于梯度有自然增長條件的一類奇異半線性橢圓方程邊值問題解的漸近行為，闡明了此方程與相應(yīng)的不含梯度項(xiàng)的線性橢圓方程之間的關(guān)系。

奇異橢圓方程;正解;漸近行為

考慮如下橢圓問題:式中，Ω為RN(N≥3)中有界區(qū)域，ε＞0，γ＞0，f為非負(fù)可測(cè)函數(shù)。有關(guān)問題(1)的研究背景見文獻(xiàn)［1］。本文指出，上述方程也與如下退化拋物方程有緊密聯(lián)系［2－4］:

則問題(1)當(dāng)γ＜2時(shí)有解，而當(dāng)γ＞2或者γ=2且λ1(f)＞1時(shí)無解。文獻(xiàn)［5－6］作者分別證明了問題(1)當(dāng)γ＜1時(shí)解的唯一性及問題(2)當(dāng)γ＞0時(shí)解的唯一性。文獻(xiàn)［7］作者證明了:如果f∈L∞(B1)且essinf{f(x);x∈B1}＞0，則當(dāng)1＜γ＜時(shí)，問題(1)存在至少兩個(gè)解，其中B1={x∈RN;|x|＜1}。其他相關(guān)研究請(qǐng)參閱文獻(xiàn)［1，7－9］及其后所附參考文獻(xiàn)。

本文研究問題(1)及問題(2)的解當(dāng)ε→0+時(shí)的極限問題，并且建立了上述問題與如下線性問題之間的聯(lián)系:

1 定理1的證明

為證明定理1，先證明如下幾個(gè)引理。

引理1對(duì)任意ε∈(0，1)有

uε≤ω幾乎處處于Ω。

證明注意到uε是問題(4)的一個(gè)弱下解，從而由標(biāo)準(zhǔn)的比較原理知結(jié)論成立。

引理2設(shè)0＜α＜1，則存在不依賴于ε的常數(shù) C ＞0，使得

2 定理2的證明

先證明幾個(gè)引理。下述兩個(gè)引理的證明類似于引理1和式(5)，故略去。

引理3 對(duì)任意 ε∈(0，1)，有

這表明，w是問題(2)的一個(gè)弱下解，依文獻(xiàn)［5］中推論2.10(比較原理)知結(jié)論成立。

定理2的證明由引理3—引理5知，存在{uε}的一個(gè)子列(不妨仍記為{uε})及一個(gè)非負(fù)函數(shù)w∈H10(Ω)∩L∞(Ω)，w＞0幾乎處處于 Ω，使當(dāng)ε→0+時(shí)有

uε→w于Ω(幾乎處處收斂)，

uε→w 于 L2(Ω)(強(qiáng)收斂)，

▽uε→▽w于L2(Ω)(弱收斂)。

對(duì)照定理1的證明，余下只需證明ω=w幾乎處處于Ω。對(duì)任意0≤φ∈(Ω)，有

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Asymptotic Behaviour of Solutions for a Singular Semilinear Elliptic Equation

ZHOU Wen－shu
(College of Science，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China)

By means of compactness techniques，comparison theorem，F(xiàn)atou’s lemma and Poincare’s inequality，we study the asymptotic behaviour of solutions of boundary value problem for a singular semilinear elliptic equation with natural growth in the gradient，which appears in the study for a class of degenerate parabolic equations，and clarify the relations between this equation and the corresponding linear equation without gradient terms.

singular elliptic equation;positive solution;asymptotic behaviour

O175.25

A

1009－315X(2012)05－0466－03

2012－04－06;最后

2012－04－22

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10901030);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(DC110109)。

周文書(1974－)，男，吉林懷德人，博士，教授，學(xué)校優(yōu)秀學(xué)術(shù)帶頭人，碩士生導(dǎo)師，主要從事偏微分方程的理論和應(yīng)用研究。

(責(zé)任編輯 鄒永紅)