基于分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程的歐式雙向期權(quán)定價(jià)

胡素敏，周圣武

（1.河南城建學(xué)院數(shù)理系，河南平頂山 467036；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇徐州 221008）

基于分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程的歐式雙向期權(quán)定價(jià)

胡素敏1，周圣武2

（1.河南城建學(xué)院數(shù)理系，河南平頂山 467036；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇徐州 221008）

應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性原理研究基于分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程的歐式雙向期權(quán)定價(jià)，推導(dǎo)出標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程的歐式看漲期權(quán)、看跌期權(quán)及歐式雙向期權(quán)的定價(jià)公式。

定價(jià)；歐式雙向期權(quán)；分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程

期權(quán)定價(jià)問(wèn)題是金融數(shù)學(xué)和金融工程學(xué)研究的核心問(wèn)題之一。在以往的期權(quán)定價(jià)中，人們普遍假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，它是連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程，而在金融市場(chǎng)上，一些重要信息的出現(xiàn)會(huì)刺激股票價(jià)格發(fā)生不連續(xù)的跳躍，因此股票價(jià)格應(yīng)包含連續(xù)擴(kuò)散過(guò)程和不連續(xù)的跳躍過(guò)程。在幾何布朗運(yùn)動(dòng)下，資產(chǎn)價(jià)格變化是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布。而近年來(lái)對(duì)股票市場(chǎng)的研究表明，股價(jià)變化不是隨機(jī)游走，而是呈現(xiàn)不同程度的長(zhǎng)期相關(guān)性，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)恰好具有這些優(yōu)點(diǎn)［1］，因此用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)刻畫資產(chǎn)價(jià)格的變化，更符合實(shí)際情況。

自引入分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)以來(lái)，國(guó)內(nèi)外出現(xiàn)了大量的相關(guān)研究。NECULA研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)［2］，ROGERS研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的套期保值［3］，周圣武等研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的冪期權(quán)定價(jià)［4］。筆者在以往研究的基礎(chǔ)上建立分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散下的股票模型，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性原理研究分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程的歐式雙向期權(quán)定價(jià)，推導(dǎo)了資產(chǎn)價(jià)格服從分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程的歐式看漲期權(quán)、看跌期權(quán)及歐式雙向期權(quán)定價(jià)公式。

1 股票價(jià)格的分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散行為

研究分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程下歐式雙向期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，需要作如下假設(shè)。

H1）股票價(jià)格ST遵循Ito過(guò)程［5］：

式中：r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；λ（λ＞0）是跳躍強(qiáng)度，表示1年中股票價(jià)格的平均跳躍次數(shù)；qt是一個(gè)強(qiáng)度為λ的Poisson計(jì)數(shù)過(guò)程；k＝E（U）；dqt是描述St發(fā)生跳躍的點(diǎn)過(guò)程，當(dāng)股票價(jià)格發(fā)生跳躍時(shí)dqt＝1，否則dqt＝0。為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。應(yīng)用Ito公式解隨機(jī)微分方程（1），可得股票價(jià)格的對(duì)數(shù)過(guò)程lnSt所滿足的常系數(shù)隨機(jī)微分方程：

解隨機(jī)微分方程（2），并應(yīng)用Poisson過(guò)程的性質(zhì)qT－qt＝qτ（τ＝T－t），可得T時(shí)刻股票價(jià)格ST的概率分布：

其中τ＝T－t，Un表示股票價(jià)格在第n個(gè)跳躍時(shí)刻tn的跳躍幅度，并假設(shè)U1，U2，…，Un是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。應(yīng)用全期望公式可得股票價(jià)格在T時(shí)刻的數(shù)學(xué)期望。為表述方便，將沿用MERTON的假設(shè)［6］。

H2）假設(shè)U，qt，Wt相互獨(dú)立，且1＋U服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，

而且由U，qt，Wt相互獨(dú)立，可知Z1，Z2也相互獨(dú)立。

由式（3）和式（5）以及正態(tài)分布的可加性可知，當(dāng)qτ＝n時(shí)，存在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Zn～N（0，1），使得

2 無(wú)紅利支付的歐式雙向期權(quán)定價(jià)

歐式雙向期權(quán)是指期權(quán)持有者可以在未來(lái)某T時(shí)刻以規(guī)定的價(jià)格K買進(jìn)或賣出某指定標(biāo)的資產(chǎn)，且標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足隨機(jī)微分方程（1），由于在T時(shí)刻歐式雙向期權(quán)的權(quán)益為

即歐式雙向期權(quán)的終端收益可以分解為具有相同到期時(shí)刻和相同執(zhí)行價(jià)格的同一種標(biāo)的資產(chǎn)的一個(gè)買入期權(quán)的終端收益和一個(gè)賣出期權(quán)的終端收益之和。

在推導(dǎo)歐式雙向期權(quán)定價(jià)的過(guò)程中，需要用到下列基本假設(shè)［6－7］：1）標(biāo)的股票價(jià)格服從跳擴(kuò)散過(guò)程，且滿足隨機(jī)微分方程（1）；2）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r是常數(shù)；3）標(biāo)的股票價(jià)格的波動(dòng)率σ是常數(shù)；4）不存在交易費(fèi)用；5）在期權(quán)的有效期內(nèi)標(biāo)的股票無(wú)紅利支付；6）不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。

根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度Q下，標(biāo)準(zhǔn)歐式股票看漲期權(quán)在當(dāng)前t（t＜T）時(shí)刻的價(jià)值為其中EQ表示在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度Q下的數(shù)學(xué)期望。

定理1 標(biāo)的股票價(jià)格St服從分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程（1），執(zhí)行價(jià)格為K的標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)值為

證明 在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度Q下，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，應(yīng)用全期望公式，可得歐式看漲期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)值為

定理2 標(biāo)的股票價(jià)格St服從跳擴(kuò)散模型（1）、執(zhí)行價(jià)格為K的標(biāo)準(zhǔn)歐式看跌期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)值為

其中符號(hào)同定理1，證明過(guò)程與定理1類似（略）。

定理3 標(biāo)的股票價(jià)格St服從分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散模型（1）、執(zhí)行價(jià)格為K的歐式雙向期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)值為

［1］ 謝和平.分形應(yīng)用中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與方法［M］.北京：科學(xué)出版社，1997.

［2］ NECULA C.Option pricing in a fraction brownian motion environment［J］.Pures Mathematica，2002，2（1）：63－68.

［3］ ROGERS L C G.Arbitage with fractional Brownian motion［J］.Mathematical Finance，1997，7（1）：95－105.

［4］ 周圣武，劉海媛.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的冪期權(quán)定價(jià)［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)（College Mathematics），2009，25（5）：69－72.

［5］ 黃志遠(yuǎn).隨機(jī)分析學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京：科學(xué)出版社，2001.

［6］ MERTON R C.Option pricing when underlying stock returns are discontinuous［J］.Journal of Financial Economics，1976（3）：125－144.

［7］ BLACK F，SCHOLES M.The pricing of options and corporate liabilities［J］.Journal of Political Economy，1973，81（3）：637－654.

［8］ 董躍武.歐式雙向期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題［J］.上海鐵道大學(xué)學(xué)報(bào)（Journal of Shanghai Tiedao University），1999，20（6）：71－73.

Pricing of European bi－direction option based on fractional jumping diffusion process

HU Su－min1，ZHOU Sheng－wu2
（1.Department of Physics and Mathematics，Henan Univesity of University Construction，Pingdingshan Henan 467036，China；2.College of Sciences，China University of Mining and Technology，Xuzhou Jiangsu 221008，China）

The pricing of European bi－direction option when the underlying assets follows fractional jump diffusion is mainly studied.By using the risk neutral valuation principle，the pricing formula of standard European call option，put option and European bi－direction option are obtained when the underlying stock price is depicted by fractional jump diffusion process.

pricing；bi－direction european option；fractional jumping diffusion process

O211.6

A

1008－1542（2012）03－0207－03

2012－02－05；責(zé)任編輯：張 軍

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（70701017）；河南省科技計(jì)劃資助項(xiàng)目（112400450212）；河南省教育廳自然科學(xué)研究資助項(xiàng)目（2011A110002）

胡素敏（1982－），女，安徽宿州人，碩士研究生，主要從事金融數(shù)學(xué)方面的研究。