分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題正解的存在性

申騰飛

(中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題正解的存在性

申騰飛

(中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

首先利用Leray-Schauder非線性抉擇和錐拉伸與壓縮不動點(diǎn)定理等，討論了一類非線性的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題，得出邊值問題的正解存在的充分條件。其次，結(jié)合積分方程與微分方程解的等價性及范數(shù)性質(zhì)給出正解不存在的幾個充分條件。

分?jǐn)?shù)階微分方程;邊值問題;不動點(diǎn)定理;正解

0 引言

近年來分?jǐn)?shù)階微分方程問題得到了廣泛的關(guān)注，一方面是分?jǐn)?shù)積分及微分本身的發(fā)展;另一方面是其在物理、化學(xué)、力學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用［1］。近年來越來越多的學(xué)者進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分方程的研究［2-10］。文獻(xiàn)［2］討論了一類分?jǐn)?shù)階微分方程兩點(diǎn)邊值問題

正解的存在性;文獻(xiàn)［10］研究一類分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題

正解的存在性;文獻(xiàn)［4］利用錐拉伸與錐壓縮不動點(diǎn)理論討論了含參數(shù)的分?jǐn)?shù)階兩點(diǎn)邊值問題的正解的存在與不存在性;文獻(xiàn)［5］研究了帶有p-Laplacain算子三點(diǎn)的邊值問題。筆者將采用幾類不動點(diǎn)定理進(jìn)一步研究一類分?jǐn)?shù)階微分方程耦合邊值問題。

文中主要探討下面分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題

1 預(yù)備知識

引理6 若 f，g:［0，1］×［0，+∞)→［0，+∞)連續(xù)函數(shù)，則(u，v)是系統(tǒng)(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)它是系統(tǒng)(2)的解。

證明過程類似于文獻(xiàn)［10］，在此省略。

引理7 設(shè)D是Banach空間X的一個非空閉子集，而T是D到其自身內(nèi)的映像，它在D內(nèi)滿足Lipschitz條件，即對任意的 x，y∈D，有

(這里的α稱為Lipschitz常數(shù))，則必存在唯一x*∈D，使Tx*=x*，即T有且只有一個不動點(diǎn)。

引理8(Leray-Schauder非線性抉擇) 假設(shè)Ω是Banach空間X上的凸集K的一個相對子集，令T:ˉΩ→K 是緊的且 0∈Ω，則

(Ⅱ)存在一個點(diǎn) u∈?Ω 和 λ∈(0，1)，使得u=λTu。

2 主要結(jié)果

容易證明T(P)?P是一致有界的，且等度連續(xù)的。此過程類似于文獻(xiàn)［2］中的方法，故略。綜上T是一致有界的又是等度連續(xù)的，由Arzela-Ascoli定理知T(P)是相對列緊的，故T是全連續(xù)的。

為了敘述方便，定義如下常數(shù):

定理1 設(shè) f，g:［0，1］×［0，+∞)→［0，+∞)連續(xù)函數(shù)，若存在函數(shù)k(t)，l(t)∈C(I)使得對任意的(t，u)，(t，v)∈［0，1］×［0，+∞］，若滿足

則問題(1)存在唯一的正解。

又因?yàn)門1，T2為壓縮映射，所以此時T:p→p是壓縮映射，由引理7得到必存在唯一的不動點(diǎn) (u，v)∈p，函數(shù)(u，v)就是問題(1)的唯一正解。

定理2 設(shè) f，g:［0，1］×［0，+∞)→［0，+∞)連續(xù)函數(shù)，若存在非負(fù)不減的連續(xù)函數(shù) φ，ψ:［0，+∞)→［0，+∞)，滿足

同理，‖u‖＜‖u‖。

由于‖(u，v)‖=max{‖u‖，‖v‖}＜‖(u，v)‖，得出矛盾，故結(jié)論得證。

定理5 若 B1f(t，v(t))＞v(t)，B2g(t，u(t))＞u(t)，?(u，v)∈P 成立，則問題(1)無解。

證明 假設(shè)(u，v)是問題的一個解，則

同理可得‖u‖＞‖u‖。

由于，‖(u，v)‖ =max{‖u‖，‖v‖}＞ ‖(u，v)‖，得出矛盾，故結(jié)論得證。

［1］KILBAS A A，SRIVASTAVA H M，TRUJILLO J J.Theory and applications of fractional differential equations［M］.Amsterdam:Elsevier，2006.

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Existence of positive solutions for boundary value problem of coupled system of fractional differential equations

SHEN Tengfei
(College of Sciences，China Univeisity Mining＆ Technology，Xuzhou 221116，China)

This paper introduces an investigation into the existence and nonexistence of positive solutions for boundary value problem of a coupled system of nonlinear fractional differential equations and features some results of existence and nonexistence positive solutions for boundary value problem obtained by using the fixed point theorem.

fractional differential equation;boundary value problem;fixed point theorem;positive solutions

O175.8

A

1671-0118(2012)01-0098-04

2012-01-13

申騰飛(1987-)，男，安徽省蚌埠人，碩士，研究方向:微分方程，E-mail:114950809@qq.com。

(編輯 晁曉筠)