G－度量空間中四個映象的公共不動點定理

尹 云，谷 峰

（1.杭州師范大學理學院，浙江杭州 310036；2.杭州師范大學應用數(shù)學研究所，浙江杭州 310036）

G－度量空間中四個映象的公共不動點定理

尹 云1，2，谷 峰1，2

（1.杭州師范大學理學院，浙江杭州 310036；2.杭州師范大學應用數(shù)學研究所，浙江杭州 310036）

在完備G－度量空間的框架下，利用弱相容映象的概念，討論了4個自映象的公共不動點的存在性和唯一性問題，證明了一個新的公共不動點定理.所得結(jié)果改進和推廣了本領域的相關(guān)結(jié)果.

G－度量空間；壓縮映象；公共不動點

1 引言和預備知識

度量空間中自映象族的公共不動點問題已經(jīng)成為當今研究的熱點之一.2006年，Mustafa等［1］引進了廣義度量空間的概念，簡稱為G－度量空間.之后，Abbas等［2］開始研究G－度量空間中的公共不動點問題.目前，關(guān)于G－度量空間中映象的不動點理論研究已經(jīng)取得了許多重要的結(jié)果［1－10］.

本文討論了G－度量空間中涉及到4個自映象的壓縮型條件下的公共不動點問題，獲得了一個新的公共不動點定理.所得結(jié)果改進和推廣了Manro，Bhatia和Kumar等人的相關(guān)結(jié)果，是G－度量空間中不動點理論方面有關(guān)結(jié)果的進一步發(fā)展和完善.

本文需要下面的概念和結(jié)果：

定義1［1］設X是一非空集，G：X×X×X→R＋為一函數(shù)，且滿足以下條件：

（G1）若x＝y(tǒng)＝z，則G（x，y，z）＝0；

（G2）0＜G（x，x，y），?x，y∈X且x≠y；

（G3）G（x，x，y）≤G（x，y，z），?x，y，z∈X且z≠y；

（G4）G（x，y，z）＝G（x，z，y）＝G（y，z，x）＝…（3個變量的對稱性）；

（G5）G（x，y，z）≤G（x，a，a）＋G（a，y，z），?x，y，z，a∈X（矩形不等式）.

則稱函數(shù)G是X上的一個廣義度量，簡稱為X上的一個G－度量.稱（X，G）為一個廣義度量空間，簡稱為G－度量空間.

定義2［1］設（X，G）為一G－度量空間，｛xn｝為X中一個序列，X中點x稱為序列｛xn｝的極限，或稱序列｛xn｝G－收斂到x若limm，n→∞G（x，xn，xm）＝0.

等價的，在G－度量空間中，如果xn→x，那么?ε＞0，存在正整數(shù)N，對所有的n，m≥N，有G（x，xn，xm）＜ε.

命題1［1］設（X，G）為一G－度量空間，那么下面結(jié)論是等價的：

（i）｛xn｝G－收斂到x；

（ii）G（xn，xn，x）→0（n→∞）；

（iii）G（xn，x，x）→0（n→∞）；

（iv）G（xn，xm，x）→0（n，m→∞）.

定義3［1］設（X，G）為一G－度量空間，稱X中的序列｛xn｝為一G－柯西列，若對任意的ε＞0，存在正整數(shù)N，使得對任意n，m，l≥N，有G（xn，xm，xl）＜ε，即當n，m，l→∞時，有G（xn，xm，xl）→0.

命題2［1］設（X，G）為一G－度量空間，則函數(shù)G（x，y，z）關(guān)于這3個變量連續(xù).

定義4［1］稱G－度量空間（X，G）為G－完備的，若（X，G）中的每個柯西列在X中都是G－收斂的.

命題3［1］設（X，G）為一G－度量空間，則對任意的x，y，z，a∈X，有：

（i）若G（x，y，z）＝0，那么有x＝y(tǒng)＝z；

（ii）G（x，y，z）≤G（x，x，y）＋G（x，x，z）；

（iii）G（x，y，y）≤2G（y，x，x）；

（iv）G（x，y，z）≤G（x，a，z）＋G（a，y，z）；

（vi）G（x，y，z）≤G（x，a，a）＋G（y，a，a）＋G（z，a，a）.

命題4［1］設（X，G）為一G－度量空間，則以下敘述等價：

（i）序列｛xn｝是G－柯西列.

（ii）對每一個ε＞0，存在正整數(shù)N，對所有的n，m≥k，有G（xn，xm，xm）＜ε.

定義5［11］設f和g是集合X上的兩個自映象，x∈X，如果fx＝gx，則稱x為f和g的一個重合點.如果f和g在每個重合點處可交換，則稱映象對（f，g）是弱相容的.

2 主要結(jié)果

定理1 設（X，G）為G－度量空間.若有4個自映象A，B，S，T：X→X滿足以下條件：

（i）AX?TX，BX?TX，SX?TX；

（ii）TX是X的G－完備子空間；

（iii）對?x，y，z∈X，有

G（Ax，By，Sz）≤aG（Tx，Ax，By）＋bG（Ty，By，Sz）＋cG（Tz，Sz，Ax）＋dG（Tx，Ty，Tz），

其中a，b，c，d≥0滿足2a＋2b＋2c＋d＜1.則映象對（A，T），（B，T）和（S，T）之一有重合點.進一步，如果映象對（A，T），（B，T）和（S，T）都是弱相容的，則A，B，S和T有唯一公共不動點.

證明 在X中取一點x0.由條件（i）知，存在x0，x1，x2，x3∈X使得y0＝Ax0＝Tx1，y1＝Bx1＝Tx2和y2＝Sx2＝Tx3.利用條件（i）重復上述過程，可得X中的兩個序列｛xn｝和｛yn｝，滿足以下關(guān)系：

如果存在n∈N使得y3n＝y(tǒng)3n＋1，那么Tx＝Bx，這里的x＝x3n＋1?（B，T）有重合點x＝x3n＋1；如果存在n∈N使得y3n＋1＝y(tǒng)3n＋2，那么Tx＝Sx，這里的x＝x3n＋2?（S，T）有重合點x＝x3n＋2；如果存在n∈N使得y3n＋2＝y(tǒng)3n＋3，那么Tx＝Ax，這里的x＝x3n＋3?（A，T）有重合點x＝x3n＋3.不失一般性，假設對任意的n∈N，有yn≠yn＋1.

由條件（iii），有

進而可得

同樣由條件（iii）可得

于是推出

再由條件（iii），有

化簡得

因此，對任意的m，n∈N，m＞n，由（G3），（G5）和式（4），有

從而得出G（yn，ym，ym）→0（n，m→∞）.因此｛yn｝是TX中的G－柯西列.由于TX是G－完備的，所以存在p，t∈X，使得yn→p＝Tt，這意味著y3n→p，y3n＋1→p和y3n＋2→p.由條件（iii），有

在上述不等式中令n→∞，并考慮到G關(guān)于它3個變元的連續(xù)性，可得

因此，有At＝p，即At＝Tt＝p.由于（A，T）是弱相容映象對，所以Ap＝Tp.

利用條件（iii）和Tp＝Ap，有

在上式中令n→∞，并利用命題3中的不等式（iii）可得

推出Ap＝p.因此Ap＝Tp＝p.

同理，可得Bp＝Tp＝p和Sp＝Tp＝p.因此p是A，B，S和T公共不動點.

下面證明唯一性.假設p′是A，B，S和T的另一個公共不動點，由條件（iii）和G（p，p′，p′）≤2G（p，p，p′），有

推出p＝p′.所以p是A，B，S和T的唯一公共不動點.證畢.

注1 在定理1中，如果取A＝B＝S，T＝I（I表示恒等映象），則得文獻［4］中的主要結(jié)果.可見本定理改進和發(fā)展了［4］中的相關(guān)結(jié)果.

下面的推論可以直接從定理1中得到.

推論1 設（X，G）為G－度量空間.若有4個自映象A，B，S，T：X→X滿足以下條件：

（i）AX?TX，BX?TX，SX?TX；

（ii）TX是X完備的G－子空間；

（iii）對?x，y，z∈X，有

推論2 設（X，G）為G－度量空間.若有4個自映象A，B，S，T：X→X滿足以下條件：

（i）AX?TX，BX?TX，SX?TX；

（ii）TX是X完備的G－子空間；

（iii）對?x，y，z∈X，有

推論3 設（X，G）為G－度量空間.若有兩個自映象A，T：X→X滿足以下條件：

（i）AX?TX；

（ii）TX是X完備的G－子空間；

（iii）對?x，y，z∈X，有

例 設X＝［0，1］，G度量被定義為G（x，y，z）＝｜x－y｜＋｜y－z｜＋｜z－x｜.兩個映象A，T：定義為顯然.因此，對?x，y，z∈X，推論3的條件都滿足，且0就是A和T的唯一公共不動點.

杭州師范大學理學院物理實驗中心對本文的寫作給予了支持，謹致謝意！

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［9］Mustafa Z，Shatanawi W，Bataineh M.Existence of fixed points results inG－metric spaces［J］.International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences，2009（2009），Article ID 283028.

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Common Fixed Point Theorem about Four Mappings inG－metric Spaces

YIN Yun1，2，GU Feng1，2

（1.College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China；
2.Institute of Applied Mathematics，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

Using the concept of weakly compatible mapping，the paper discussed the existence and uniqueness of the common fixed point for four self－mappings in completeG－metric space，and proved a new common fixed theorem.The results have improved and extended the corresponding results of this field.

G－metric space；contractive mappings；common fixed point

O177 MSC2010：47H10；54H25

A

1674－232X（2012）06－0511－05

10.3969/j.issn.1674－232X.2012.06.007

2012－06－01

國家自然科學基金項目（11071169）；浙江省自然科學基金項目（Y6110287）.

谷 峰（1960—），男，教授，主要從事非線性泛函分析及應用研究.E－mail：gufeng99＠sohu.com