具有Hassell-Varley型功能性反應(yīng)的捕食系統(tǒng)周期性

王 莉

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 400047）

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)脈沖微分方程較之不帶脈沖的微分方程更能真實(shí)地反映自然界發(fā)展過程中的某種現(xiàn)象，科學(xué)和技術(shù)的許多領(lǐng)域如理論物理、機(jī)械、種群動(dòng)力系統(tǒng)、流行病動(dòng)力系統(tǒng)、工業(yè)控制、生物、技術(shù)經(jīng)濟(jì)等許多方面的變化規(guī)律都可以用脈沖微分方程來刻畫或描述，這使得脈沖微分方程的研究更有意義.在實(shí)際過程中，生態(tài)學(xué)模型的參數(shù)在特定的時(shí)間會(huì)發(fā)生突變，所以本章考慮具有脈沖效應(yīng)和時(shí)變時(shí)滯的Hassell-Varley型功能性反應(yīng)捕食系統(tǒng)，具有一定的生態(tài)意義和現(xiàn)實(shí)意義.

考慮下面的具有脈沖效應(yīng)和時(shí)變時(shí)滯的Hassell-Varley型功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)：

其中n∈z+，0＜δ＜1，x(t),y(t)表示種群中食餌，捕食者隨時(shí)間變化過程，k，α，r，β，γ分別表示食餌捕獲率，半飽和常數(shù)，內(nèi)稟增長率，捕食者的死亡率和食餌生物量轉(zhuǎn)化為捕食者生物量的轉(zhuǎn)化率；δ稱為H-V系數(shù).

t＝tn為定期收獲或投放時(shí)刻（脈沖時(shí)刻），cn，dn分別為食餌，捕食者的收獲率或投放率，不失一般生物意義，本章中總是假設(shè)：

（i）脈沖時(shí)刻｛tn｝,n∈z+滿足t0＝0＜t1＜Λ＜tn＜Λ；

（ii）存在正數(shù)ω＞0和正整數(shù)p，使得tn+p＝tn＋ω, cn+p＝cn, dn+p＝dn,cn,dn＞-1；

（iii）函數(shù) r:R ?R,k,b ,α,β,γ,τi:R? R+是連續(xù)ω-周期的（i=1,2,3）.

在（i）-（iii）條件下， R+2是系統(tǒng)(1)的不變集.

為方便，設(shè)J?R，記 PC ={g:J →R2|g(t)在t≠tk處連續(xù)，在t=tk處左連續(xù)右極限存在，k ∈ Z+}.

對ω-周期函數(shù)g(t)和ω-周期序列｛cn｝｛dn｝，我們采用下列記號：

下面給出本章中需要用到的一些引理：

引理1 （延拓定理[1]）設(shè)L是指標(biāo)為零的Fredholm映射，N在上是L-緊的

假設(shè)（a）對任意λ∈(0，1)，方程 Lx=λN x的解滿足x??Ω；

（b）對任意的 x ∈?Ω∩ KerL,QNx ≠0,，而且deg｛ JQ N,Ω ∩KerL,0｝≠0

下面利用重合度理論得到了系統(tǒng)（1）正周期解存在的充分條件.

定理1 如果系統(tǒng)（1）的參數(shù)滿足：

其中

則系統(tǒng)（1）至少存在一個(gè)ω-正周期解.

證明：作變換x（t）= exp｛ u（t）｝，y（t）= exp｛v （t）｝，則系統(tǒng)（1）變?yōu)?/p>

其中

對任意 λ∈ （0,1）由算子方程 LU=λN U，U∈X，有

對（2）從0到ω積分，得

從（3）～（5）知，

由于（u,v）T∈ X ，那么存在 ξi,ηi∈［0,ω ］, i=1,2,使得

由（4）（8）知，

則有

于是，利用（6）（9）有

同樣地，由（5）（8）（10）知

則

故而

則

則

則有

則

同樣地，由（5）（17）及0 ＜ γ(t) ≤ 1，（γ(t)為食餌生物量轉(zhuǎn)化為捕食者生物量的轉(zhuǎn)化率，故范圍在0到1之間）及定理2知，

則

則有

至此，對任意的 λ∈ （0,1），我們已對算子方程 LU=λN U 的解 u（t）,v （t）作了估計(jì)：H2≤u（t）≤ H1,H4≤v（t）≤H3,其中 H1,H2,H3,H4與λ無關(guān).

現(xiàn)在我們?nèi)?/p>

由上估計(jì)，對任何 λ∈（0,1）,L U =λNU 的任意解都滿足x??Ω，即引理1的第1個(gè)條件成立.為驗(yàn)證第2個(gè)條件，我們現(xiàn)在考慮關(guān)于（u , v ）T∈ R2的代數(shù)方程組：

這里μ∈[0,1]，類似以上的估計(jì)過程，易證對于任意μ∈[0,1]，代數(shù)方程(20)的解（U,V）T有界，事實(shí)上，它也滿足估計(jì)：

由（9），對任意的 U∈?Ω∩ KerL,都有 QNU ≠0.為了計(jì)算Brouwer度，構(gòu)造同構(gòu)變換G（μ,U ）= μQNU+（1-μ）H （U）,μ∈［0,1］.這里， U= （u,t ）T且

從（21）可以看出，對任意 U∈?Ω∩ KerL 和 μ∈ ［0,1］,都有G（μ,U ）≠0.由假設(shè)， H （U）=0都有唯一 解 . 由 Im Q= KerL,取 J=I,并 利 用 同 構(gòu) 不 變 的 性 質(zhì)deg ｛JQN ,Ω ∩KerL, 0｝ =deg ｛Q N ,Ω ∩KerL, 0｝ =deg ｛H ,Ω ∩KerL,0｝ ≠0.因此，我們驗(yàn)證了引理1的所有條件.從而 LU= NU在DomL ∩上至少有一解 （U*（t）,V*（t））T，且也是方程（2）的周期解. （x*（ t）,y*（t））T= （exp｛u*（t）｝,exp｛v*（t）｝）T也是方程（1）的正周期解.證畢.

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