符號(hào)空間的2-移位自映射

宋曉倩

（重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶萬州 404100）

符號(hào)空間上的轉(zhuǎn)移自映射是研究拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的重要工具之一.1938年，Morse和他的學(xué)生Hedlund首次正式將符號(hào)動(dòng)力學(xué)作為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)科提出，[1]之后對(duì)于符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移自映射的研究成為一個(gè)迫切的課題，這是因?yàn)樵谝欢l件下，一個(gè)普通的動(dòng)力系統(tǒng)可以和一個(gè)符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)或其子系統(tǒng)拓?fù)洌ò耄┕曹?[2]拓?fù)鋫鬟f性和混合性是研究動(dòng)力系統(tǒng)軌道結(jié)構(gòu)的兩個(gè)重要概念，關(guān)于他們的研究結(jié)果已經(jīng)有很多.[3-5]本文在符號(hào)空間中，提出了一類新的轉(zhuǎn)移映射：2-移位自映射，并且探討了2-移位自映射的周期點(diǎn)及其一些拓?fù)湫再|(zhì)，這些性質(zhì)與轉(zhuǎn)移自映射的性質(zhì)一致.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)S=｛0,1,…,k-1｝，其中k≥2，稱S為狀態(tài)空間，賦S以離散拓?fù)?，則S為緊致拓?fù)淇臻g，作積空間

此處Z+表示全體非負(fù)整數(shù)的集合，則由于S為緊致拓?fù)淇臻g，從而ZS+也是緊致的.

定義ZS+上的柱形如下：

其中 ai∈ S,n ＞ 0,m ≥0，例如

2 主要結(jié)果

下面我們?cè)诰o致拓?fù)淇臻gZS+上定義一個(gè)特殊的自映射2-移位自映射如下：

即在σ2的作用下， SZ+的點(diǎn)的坐標(biāo)一次向左移一位，原第0個(gè)坐標(biāo)抹去，依次類推，并稱 (SZ+,σ2)為2-移位單邊符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)，下面證明σ2的一些動(dòng)力性狀.

對(duì)于任意點(diǎn)x ∈ SZ+,如果存在整數(shù)n>0，使得(x) = x，則稱x為σ2的周期點(diǎn)；并把使得(x) =x成立的最小正整數(shù)n叫做它的周期，x相應(yīng)的稱為n-周期點(diǎn)，σ2的全體周期點(diǎn)的集合記為P(σ2).

定義2[2]：若對(duì)任意非空開集 U,V ?SZ+，存在n＞0,使得σ2n(U )∩ V≠?.則稱σ2是傳遞的.

定義3[2]：若對(duì)任意非空開集 U,V ? SZ+，存在N＞0,使得σ2(U)∩ V ≠?.?n ≥ N，則稱σ2

是拓?fù)鋸?qiáng)混合的.

定理1：σ2有以每一個(gè)偶數(shù)為周期的周期點(diǎn).

證明：任取 SZ+中的點(diǎn) x = (x0,x1,x2…)，對(duì)每一個(gè)偶數(shù)2n，我們構(gòu)造

從而 SZ+中的每一點(diǎn)都是σ2的周期點(diǎn)的極限點(diǎn)，即σ2的周期點(diǎn)集在 SZ+中處處稠密.

定理3：σ2是拓?fù)鋸?qiáng)混合的.即對(duì)任意非空開集U,V ? SZ+，存在N>0,使得

證明：設(shè) U,V ? SZ+為非空開集，并設(shè)x∈U.由拓?fù)浠男再|(zhì)，存在N>0使得

因此σ2是拓?fù)鋸?qiáng)混合的.

由定義2,3及定理3可得下列推論：

推論1：σ2是拓?fù)鋫鬟f的.

3 小 結(jié)

本文引入了符號(hào)空間上的一類新的映射，稱為2-移位自映射，并且探討了2-移位自映射σ2的一些性質(zhì)，得出：

1）σ2有以所有偶數(shù)為周期的周期點(diǎn).

2）σ2的周期點(diǎn)集在符號(hào)空間中處處稠密.

3）σ2是拓?fù)鋸?qiáng)混合的從而也是拓?fù)鋫鬟f的.

這些結(jié)論于轉(zhuǎn)移自映射的結(jié)論基本相似.從而擴(kuò)展了符號(hào)空間的研究范圍.

[1]Morse M.,Hedlund G.A.,Am.J. Math.,(60)1938, Reprinted in collected Papers of Morse M.2, World Scientific(1968).

[2]周作領(lǐng).符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，1997.

[3]陳綏陽，褚蕾蕾.動(dòng)力系統(tǒng)基礎(chǔ)及其方法[M].北京：科學(xué)出版社，2002.

[4]張偉年.動(dòng)力系統(tǒng)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2001.

[5]熊金誠(chéng).拓?fù)鋫鬟f系統(tǒng)中的混沌[J].中國(guó)科學(xué)：A輯，2005，35（3）.