纖鋅礦GaN/AlxGa1－xN量子阱材料中極化子效應(yīng)

烏仁圖雅，段旭來，趙鳳岐，蘇日古嘎

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，內(nèi)蒙古功能材料物理與化學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，呼和浩特010022)

纖鋅礦GaN/AlxGa1－xN量子阱材料中極化子效應(yīng)

烏仁圖雅，段旭來，趙鳳岐，蘇日古嘎

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，內(nèi)蒙古功能材料物理與化學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，呼和浩特010022)

采用Lee-Low-Pines(LLP)變分法研究纖鋅礦量子阱材料中電子-聲子相互作用有關(guān)問題，給出纖鋅礦GaN/AlxGa1-xN和InxGa1-xN/GaN量子阱材料中極化子基態(tài)能量和第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的躍遷能量隨量子阱寬度和材料組分的變化關(guān)系.研究中考慮了纖鋅礦量子阱材料中光學(xué)聲子模各向異性以及聲子頻率隨波矢的變化關(guān)系.同時(shí)還對運(yùn)用LLP變分方法計(jì)算極化子能量時(shí)所采用的幾種不同處理方法進(jìn)行了分析和討論，并給出相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果.

纖鋅礦;量子阱;極化子

GaN基半導(dǎo)體是一類重要的寬禁帶半導(dǎo)體，它具有高擊穿電場、高電子飽和漂移速度和強(qiáng)的抗輻射能力等優(yōu)點(diǎn).用它非常適合研制高溫、高功率微波器件和在惡劣環(huán)境下工作的各類電子器件.纖鋅礦氮化物量子阱材料已應(yīng)用到藍(lán)光發(fā)射二極管［1-2］、激光二極管［3-4］，紫外線光電探測器［5］等器件中.由于GaN基半導(dǎo)體材料具有與以往的第一、二代半導(dǎo)體所沒有的特殊物理現(xiàn)象，因而近年來，GaN基半導(dǎo)體材料中電子態(tài)問題不斷引起許多科研工作的關(guān)注［6-12］.

B.C.Lee［6］等采用介電連續(xù)和倫敦單晶模型，研究了纖鋅礦單、雙異質(zhì)結(jié)材料中的電子-光學(xué)聲子相互作用，導(dǎo)出該結(jié)構(gòu)中電子與各支光學(xué)聲子相互作用哈密頓量.他們指出纖鋅礦量子阱材料中除了具有閃鋅礦中所具有的定域模，半空間模和界面模外，還存在傳播模.史俊杰［7-9］等人通過轉(zhuǎn)移矩陣法研究纖鋅礦異質(zhì)結(jié)材料中的光學(xué)聲子色散關(guān)系，導(dǎo)出電子與各支光學(xué)聲子相互作用哈密頓量.纖鋅礦量子阱材料中縱光學(xué)聲子和橫光學(xué)聲子是分不開，以混合模的形式存在［10，11］.

史俊杰等［13-15］用他們導(dǎo)出的電子-聲子相互作用哈密頓量出發(fā)研究纖鋅礦GaN/AlxGa1-xN量子阱材料中電子-聲子相互作用有關(guān)的問題，并給出了相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果.趙鳳岐［16-18］等利用B.C.Lee［6］導(dǎo)出的電子-聲子相互作用哈密頓量，對纖鋅礦GaN/AlxGa1-xN拋物量子阱材料中電子-聲子相互作用進(jìn)行了研究，給出了極化子基態(tài)能量、第一激發(fā)態(tài)能量和躍遷能量隨阱寬及外場的變化關(guān)系.屈媛等［19］結(jié)合介電連續(xù)和單軸晶體模型導(dǎo)出含纖鋅礦三元混晶InxGa1-xN和AlxGa1-xN單量子阱材料中各類光學(xué)聲子模的色散關(guān)系，進(jìn)一步分析了聲子模隨組分X的變化關(guān)系.最近，文獻(xiàn)［20］中利用B.C.Lee［6］導(dǎo)出的電子-聲子相互作用哈密頓量討論了纖鋅礦GaN/ AlxGa1-xN量子阱材料中束縛極化子結(jié)合能等問題.但是，對纖鋅礦量子阱材料中電子與聲子相互作用對電子行為影響的認(rèn)識仍比較粗淺，有待于進(jìn)一步深入研究.

本文在考慮晶格振動頻率單軸異性情況，利用LLP變分法，研究了纖鋅礦GaN/AlxGa1-xN和InxGa1-xN/GaN量子阱材料中電子-定域聲子作用，給出極化子能量和躍遷能量隨量子阱寬度L及組分X的變化關(guān)系.同時(shí)介紹了LLP變分法中采用的三種處理方法，并對三種處理方法進(jìn)行了分析和討論.

1 理論計(jì)算

考慮纖鋅礦 GaN/AlxGa1-xN(InxGa1-xN/ GaN)材料構(gòu)成的量子阱結(jié)構(gòu)，阱寬為2d，且沿z軸方向生長，即z軸垂直于界面，x-y平面平行于界面.阱內(nèi)材料位于區(qū)間|z|＜d，(λ=1)，壘材料位于區(qū)間|z|≥d，(λ=2).采用有效質(zhì)量近似，該系統(tǒng)(極化子)的哈密頓可寫為

式中:p?=(p?xy，p?z)是電子的動量，mλ是電子的有效帶質(zhì)量，a+wj(awj)是波矢為w?=(q?，kz)、頻率為ω的對稱(j=S)和反對稱(j=A)聲子產(chǎn)生算符(湮滅算符).方程(1)中第二項(xiàng)是勢能，可表示為

在GaN/AlxGa1-xN量子阱中

對纖鋅礦結(jié)構(gòu)，Qi=0.7，b=1.0eV［21］，對閃鋅礦結(jié)構(gòu)，Qi=0.6，b=0.53 eV［21］.

在纖鋅礦(閃鋅礦)InxGa1-xN/GaN量子阱中

其中，Qi=0.7，b=1.4eV［22］.EgGaN和EgAlN和EgInN分別表示相應(yīng)材料的帶隙.

其中方程(1)中最后一項(xiàng)是電子—聲子相互作用哈密頓量［6］

對于纖鋅礦量子阱中的對稱定域模

從纖鋅量子阱礦材料中電子—聲子相互作用哈密頓量看，它比閃鋅礦中的電子—聲子相互作用哈密頓量復(fù)雜的多.因此在纖鋅礦量子阱材料中處理電子—聲子相互作用問題比閃鋅礦量子阱材料中相應(yīng)問題難.

為了簡化系統(tǒng)的哈密頓量，需要進(jìn)行兩次幺正變換，以消去哈密頓量中的電子坐標(biāo)和將晶格振動從原點(diǎn)移到平衡點(diǎn)上.兩次幺正變換的形式為

上式中，fw(f*w)是變分參數(shù).對于對稱模，χj(z)為

(10)

對于反對稱模，χj(z)為

幺正變換后得到系統(tǒng)的哈密頓量為

選取系統(tǒng)的波函數(shù)

則極化子能量為

由能量對fw(f*w)求極值條件

可以確定fw(f*2)

將上述變分參數(shù)帶入能量的表達(dá)式，得到

其中，E0n是電子在量子阱中的子帶能量，ζj(z)是χj(z)的導(dǎo)數(shù).

對基態(tài)，波函數(shù)φ1(z)選為

對激發(fā)態(tài)，波函數(shù)φ2(z)選為

在運(yùn)用LLP變分法處理極化子能量時(shí)，主要有三種方法.這三種方法的差別是在幺正變換U2中變分參數(shù)fw的選擇不同.

方法一是在文獻(xiàn)［23］和本文中所使用的方法.該方法中變分參數(shù)的選擇和能量表達(dá)式為方程(16)和(17)中給出.

方法二是在文獻(xiàn)［17-18，24-25］中采用的方法.該方法中

方法三是在文獻(xiàn)［26-27］中采用的方法，該方法中

以上三種方法中fw的取值不同，因此得出的結(jié)果有所不同.

2 結(jié)果與討論

利用方程(16)～(22)，對纖鋅礦(閃鋅礦) GaN/AlN、GaN/AlxGa1-xN、纖鋅礦 InxGa1-xN/ GaN量子阱材料中的極化子能量進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算.數(shù)值計(jì)算中用到的相關(guān)參數(shù)在表1和表2中給出，數(shù)值計(jì)算的結(jié)果在圖1-4中給出［28-35］.

三元混晶AlxGa1-xN和InxGa1-xN)材料的參數(shù)根據(jù)線性內(nèi)插法求得［36］，即QAlxGa1-xN=(1-x) QGaN+xQAlN和QInxGa1-xN=(1-x)QGaN+xQInN.

表1 纖鋅礦結(jié)構(gòu)中GaN、AlN的相應(yīng)參數(shù)

表2 閃鋅礦結(jié)構(gòu)中GaN和AlN的相應(yīng)參數(shù)

圖1 量子阱中極化子基態(tài)能量E1隨阱寬L的變化關(guān)系

圖1中給出了纖鋅礦 GaN/Al0.3Ga0.7N和In0.3Ga0.7N/GaN量子阱材料中極化子基態(tài)能量隨阱寬L的變化關(guān)系.從圖看出，極化子基態(tài)能量隨阱寬的增大而減小，窄阱時(shí)，能量下降的速度快，阱寬增大時(shí)，下降的速度較慢，最后趨近于體材料GaN和In0.3Ga0.7N的三維值.這一變化規(guī)律與電子在量子阱中受到的量子限制有關(guān).因?yàn)樵谡鍟r(shí)，電子受到的量子局域效應(yīng)較強(qiáng)，使極化子基態(tài)能量較大;隨著阱寬增加，電子所受的量子局域效應(yīng)減弱，這就導(dǎo)致極化子基態(tài)能量降低.為了進(jìn)行對比分析，圖中還給出了閃鋅礦GaN/Al0.3Ga0.7N量子阱材料材料中極化子基態(tài)能量隨阱寬的變化關(guān)系.纖鋅礦結(jié)構(gòu)中極化子基態(tài)能量大于閃鋅礦結(jié)構(gòu)中的相應(yīng)值，這些差別主要是由于纖鋅礦結(jié)構(gòu)材料的單軸異性，即電子有效帶質(zhì)量、介電常數(shù)、聲子頻率、能帶寬度等參數(shù)不同于閃鋅礦結(jié)構(gòu)材料中的相應(yīng)參數(shù)導(dǎo)致的.

圖2給出了給定阱寬條件下極化子基態(tài)能量隨著組分X變化的函數(shù)關(guān)系.從圖2看出，基態(tài)能量隨著量子阱材料組分x的增加而增大，并且在阱寬較窄時(shí)(4nm)這種增加較為明顯，而當(dāng)阱寬較寬時(shí)(15nm)，變化逐漸趨于平緩.這是因?yàn)橼鍖捪嗤瑫r(shí)，隨著組分X的增加，量子阱深度變大，這就增強(qiáng)了量子限制效應(yīng)，從而導(dǎo)致基態(tài)能量隨著量子阱材料組分x的增加而增加.從圖2中還看出，電子-聲子相互作用對極化子能量的貢獻(xiàn)比較大，使基態(tài)能量明顯降低.比如阱寬為15nm時(shí)，纖鋅礦GaN/Al0.3Ga0.7N量子阱中的值約為35meV，閃鋅礦GaN/Al0.3Ga0.7N量子阱中的值約為31meV，纖鋅礦In0.3Ga0.7N/GaN量子阱中的值約為26meV.這些值的不同是由于結(jié)構(gòu)材料的單軸異性以及相關(guān)參數(shù)不同有關(guān).從上述分析看，GaN/Al0.3Ga0.7N和In0.3Ga0.7N/GaN量子阱材料中電子-聲子相互作用對極化子能量的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)大于GaAs/Al0.3Ga0.7As量子阱結(jié)構(gòu)中的相應(yīng)值(2.4meV).因此，在研究氮化物量子阱材料中極化子問題時(shí)，應(yīng)該考慮電子-聲子相互作用的影響.

圖2 給定阱寬條件下，GaN/AlxGa1－xN量子阱和

圖3 GaN/Al0.3Ga0.7N量子阱中極化子躍遷能量隨阱寬L(a)和組分X(b)的變化關(guān)系

圖3(a)和(b)分別給出了纖鋅礦(閃鋅礦) GaN/Al0.3Ga0.7N量子阱材料中極化子第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)躍遷能量隨阱寬和組分的變化關(guān)系.從圖3(a)中可知，躍遷能量隨阱寬的增大而減小，阱寬較小時(shí)減小的速度快，隨著阱寬的增大，減小的速度變慢，最后緩慢趨近于體材料的三維值.從圖3(a)中還可以發(fā)現(xiàn)，纖鋅礦結(jié)構(gòu)中的躍遷能量小于閃鋅礦結(jié)構(gòu)中的相應(yīng)值.這是由于纖鋅礦結(jié)構(gòu)中介電常數(shù)、有效質(zhì)量和聲子頻率等參數(shù)不同于閃鋅礦結(jié)構(gòu)中的相應(yīng)參數(shù)導(dǎo)致的.從圖3(b)看出，當(dāng)量子阱寬度較窄時(shí)(4nm)，躍遷能量隨Al組分X的增加而顯著增加，而當(dāng)量子阱寬度較寬時(shí)(15nm)，躍遷能量隨組分X的增加而變化非常小.這規(guī)律與電子在量子阱結(jié)構(gòu)中受量子限制有關(guān).

半導(dǎo)體量子阱材料中處理電子-聲子相互作用問題時(shí)，經(jīng)常采用LLP變分方法.由于在變換過程中第二次幺正變換的變分參數(shù)采取了不同的形式，得到的結(jié)果就有所差別.這里我們對常用的三種方法進(jìn)行對比分析.圖4中給出了不同方法得出的閃鋅礦量子阱中電子-定域聲子相互作用對極化子基態(tài)能量的貢獻(xiàn)隨量子阱寬度的變化關(guān)系.從圖4中可以看出，方法二(曲線1)得到的電子-定域聲子相互作用對極化子基態(tài)能量的貢獻(xiàn)比較大，除了窄阱情況外均大于體材料中的相應(yīng)值.方法三(曲線4)得到結(jié)果比較小，并且從某一阱寬開始隨著阱寬的增大而減小.方法一(曲線3)得到的結(jié)果隨著阱寬的增大而增大，在阱寬較大時(shí)，接近體材料中的相應(yīng)值.在理論上說電子與定域聲子相互作用由于阱寬的增大，電子穿過量子阱勢壘的幾率變小，電子被局域在阱內(nèi)，使得電子與定域聲子相互作用增強(qiáng)，在量子阱比較寬時(shí)，電子與定域聲子相互作用能量應(yīng)該接近電子-體聲子相互作用能量.因此用方法一得到的結(jié)果最符合于實(shí)際情況，而方法二和方法三得到的結(jié)果與實(shí)際情況有明顯的差距.在過去，討論GaAs/ AlxGa1-xAs量子阱中極化子問題時(shí)，由于電子-聲子相互作用對能量的貢獻(xiàn)比較小(約2.4 meV)，三種方法得出結(jié)果的差異沒那么被重視.目前，討論GaN/AlxGa1-xN量子阱中極化子問題時(shí)由于電子-聲子相互作用對能量的貢獻(xiàn)較大(約38 meV)，因此，應(yīng)該考慮三種方法的合理性.

圖4 閃鋅礦量子阱中電子－定域聲子相互作用對極化子基態(tài)能量的貢獻(xiàn)隨量子阱寬度的變化關(guān)系

3 結(jié)論

本文考慮了纖鋅礦GaN、AlN、InN材料的單軸異性及聲子頻率隨波矢的變化關(guān)系，采用LLP變分法研究了纖鋅礦(閃鋅礦)GaN/AlxGa1-xN和InxGa1-xN/GaN量子阱材料中極化子基態(tài)能量和第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的躍遷能量隨量子阱寬度及組份的變化關(guān)系.數(shù)值計(jì)算結(jié)果得出，纖鋅礦(閃鋅礦)GaN/Al0.3Ga0.7N和 In0.3Ga0.7N/GaN材料中極化子基態(tài)能量，第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的躍遷能量隨量子阱寬度增大而減小，最后趨近于相應(yīng)體材料的值.而基態(tài)能量和躍遷能量隨量子阱材料組分的變化而緩慢變化.纖鋅礦GaN/Al0.3Ga0.7N量子阱材料中電子-定域聲子相互作用對極化子能量的貢獻(xiàn)(約35meV)大于閃鋅礦 GaN/Al0.3Ga0.7N量子阱材料中的相應(yīng)值(約31meV)和纖鋅礦 In0.3Ga0.7N/GaN量子阱中的相應(yīng)值(約26meV).GaN/Al0.3Ga0.7N和 In0.3Ga0.7N/GaN量子阱中電子-定域聲子相互作用對能量的貢獻(xiàn)比GaAs/Al0.3Ga0.7As量子阱中的相應(yīng)值(2.4meV)大得多.因此，在討論GaN/Al0.3Ga0.7N和InxGa1 -xN/GaN量子阱材料中電子態(tài)問題時(shí)應(yīng)該考慮電子-聲子相互作用.研究還發(fā)現(xiàn)，用LLP變分方法處理半導(dǎo)體量子阱中電子-聲子相互作用問題時(shí)所采用的三種方法中，方法一得到的結(jié)果較好，它符合于實(shí)際情況，而方法二和方法三得到的結(jié)果與實(shí)際情況有明顯的差距.因此，討論量子阱中電子-聲子相互作用時(shí)采用第一種方法比較合理.

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The effect of polaron in wurtzite GaN/AlxGa1-xN quantum well

Wurentuya，DUAN Xu-lai，ZHAO Feng-qi，Suriguga
(College of Physics and Electronic Information，Inner Mongolia Normal University，Inner Mongolia Key Laboratory for Physics and Chemistry of Functional Materials，Huhhot 010022，China)

The problem related to the interaction between the electron and phonons in wurtzite quantum well structures are studied by using modified Lee-Low-Pines(LLP)variational method.The ground state energy and the first excited state to ground state transition energy of polaron in wurtzite(zinc-blende)GaN/AlxGa1-xN and InxGa1-xN/GaN wurtzite quantum well as functions of the well width and composition are given.The anisotropy of optical phonon modes and the relation of the phonon frequency changing with vector are considered in the investigation.Meanwhile，The several different methods of culcalating the polaron energy problems by using LLP methods in transformation process are analyzed and discussed，and the corresponding nummerical results are given.

wurtzite;quantum well;polaron

O471.3，O471.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1005-0299(2012)02-0133-07

2011-04-05.

國家自然基金(10964007)資助項(xiàng)目;內(nèi)蒙古自然基金資助項(xiàng)目(2009MS0110);內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)校科學(xué)研究項(xiàng)目(NJ09026).

烏仁圖雅(1977-)，女，講師.

(編輯 張積賓)