位移法在結(jié)構(gòu)力學中的應用

內(nèi)蒙古交通職業(yè)技術(shù)學院 蘇勒德

位移法是解決超靜定結(jié)構(gòu)最基本的計算方法，計算時與結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)關系不大，相較于力法及力矩分配法，其計算過程更加簡單，計算結(jié)果更加精確，應用的范圍也更加廣泛，可以應用于有側(cè)移剛架結(jié)構(gòu)的計算。此外，對于結(jié)構(gòu)較為特殊的體系，應用位移法可以很方便地得出彎矩圖的形狀，位移法不僅適用于超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計算，也適用于靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計算，所以學習和掌握位移法是非常有必要的。

一、位移法的基本思路

位移法的基本未知量便是結(jié)點位移，以單跨桿件單元集合體為例，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 單跨桿件單元集合體結(jié)構(gòu)

通過力法可以建立等截面直桿的剛度方程，分析不同桿件單元的桿端力和桿端結(jié)點位移以及荷載之間的聯(lián)系，而通過位移法，則無需再列出如力法那樣繁瑣的公式，可以直接應用其計算結(jié)果。位移法將結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算的問題進行了轉(zhuǎn)換，將其變?yōu)樵诨窘Y(jié)構(gòu)的荷載共同作用下求解基本未知量的內(nèi)力計算問題，通過力系的平衡條件及疊加法建立相應方程，實現(xiàn)對結(jié)點的位移和結(jié)構(gòu)內(nèi)力的求解。

二、確定基本未知量與基本結(jié)構(gòu)

位移法是以不考慮軸向變形為基礎的，其基本未知量不包含鉸結(jié)點轉(zhuǎn)角位移、支座結(jié)點位移，只是獨立的結(jié)點位移，這是位移法和矩陣位移法最大不同。位移法基本未知量的選取盡量要求數(shù)目最少，根據(jù)荷載及結(jié)構(gòu)的變形的條件，通常各個剛結(jié)點都存在相應的轉(zhuǎn)角位移，然而當結(jié)點連接的桿件具有一定的抗彎剛度時，則該結(jié)點不存在轉(zhuǎn)角位移，進而不能取其作為基本未知量；對線位移進行判定時，一般采用鉸接體系法以及附加連桿法進行判斷。在所有的位移約束后形成了位移法的基本結(jié)構(gòu)，其中線位移用鏈桿進行約束，角位移則用剛度無限大的剛臂進行約束，在基本結(jié)構(gòu)中剛臂數(shù)量對應著轉(zhuǎn)角位移的數(shù)量，同理，鏈桿支座的數(shù)量對應著線位移的數(shù)量。水平桿以及豎直桿，結(jié)點沿線方向的線位移通常是相同的，但是若桿件的軸向變形不能忽略時，則結(jié)點的線位移不同。以圖2所示的甲乙兩結(jié)構(gòu)為例，甲轉(zhuǎn)角位移數(shù)為5 個，線位移數(shù)目為3 個，但是結(jié)構(gòu)乙轉(zhuǎn)角位移數(shù)為4 個，線位移數(shù)也是4 個，這是因為中間鏈桿存在軸向變形，所以其兩端結(jié)點的豎向位移不同。

圖2 示例結(jié)構(gòu)

三、典型方程的建立

對位移法的基本未知量進行求解需要建立相應的典型方程，在建立典型方程時，通常采用基本體系法以及直接剛度方程法兩種方法?；谖灰品ǖ幕窘Y(jié)構(gòu)，施加原結(jié)構(gòu)中的荷載與位移，形成基本體系進行計算?；倔w系法是依托基本結(jié)構(gòu)與基本體系進行方程求解的，該方法概念清晰，且與力法求解步驟類似，相對比較容易學習掌握；直接剛度法大大簡化了位移法的計算的復雜性，然而其各個桿端力的計算都是基于基本結(jié)構(gòu)中的桿件單元所進行的。需要注意的是，其基本結(jié)構(gòu)不是顯式的。

基本體系法與直接剛度方程法的實質(zhì)是相同的，其差異性也只是典型方程的表面含義的不同，基本體系法對基本體系和原結(jié)構(gòu)的不同進行了消除，通過在原結(jié)構(gòu)中添加原本不存在的附加約束反力為零的條件，實現(xiàn)了典型方程的右端恒為零的形式。直接剛度方程法的實質(zhì)是基于等截面直桿剛度方程對各個不同的基本結(jié)構(gòu)單元在各種外力作用下的桿端內(nèi)力進行了羅列。另外對于基本體系法，計算其各系數(shù)時也同樣需要選取隔離體及相應的平衡條件。兩種方法所列出的典型方程是相通的，都是以力的平衡為基礎進行處理的。

四、位移基本結(jié)構(gòu)的簡化

對于某些超靜定結(jié)構(gòu)，根據(jù)體系的特點可以對基本結(jié)構(gòu)進行簡化處理。如當結(jié)構(gòu)為對稱結(jié)構(gòu)時則可取半邊結(jié)構(gòu)，在有些情況下，由于可以直接判斷結(jié)構(gòu)部分桿件的內(nèi)力，其結(jié)點轉(zhuǎn)角和相應的結(jié)點線位移在位移法計算時可以忽略，進而簡化了計算過程。以圖3所示的鋼架為例。

圖3 鋼架結(jié)構(gòu)

由于存在半剛結(jié)點B 和全剛結(jié)點D，故存在2 個角位移；改鉸處理后其自由度是2，如圖2（乙）所示；通過添加水平鏈桿與豎直鏈桿將體系轉(zhuǎn)換為幾何不變體系，如圖2（丙）所示；所以結(jié)構(gòu)的線位移數(shù)為2，加上2 個角位移，結(jié)構(gòu)有4 個未知量。然而對于懸臂梁半剛結(jié)點B，通過靜力平衡法即可求出其截面彎矩，所以不必將B 點轉(zhuǎn)角與位移量作為基本未知量，故結(jié)構(gòu)存在2 個未知量，其基本結(jié)構(gòu)如圖2（丁）所示。

五、結(jié)論

位移法的各種求解方法存在內(nèi)在統(tǒng)一性，在邏輯上是互相聯(lián)系的，都是基于相同的基本假定，判斷結(jié)構(gòu)體系的自由度，進而進行求解。位移法是以計算機為基礎的矩陣位移法的理論依據(jù)，是計算超靜定結(jié)構(gòu)的重要方法，需要工作人員熟練掌握。