基于理化指標(biāo)統(tǒng)計(jì)分析的葡萄酒質(zhì)量評(píng)價(jià)——2012年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題論文

侯勇超 馬松林 孫誠(chéng)程 胡繼元 高慧

（巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽 巢湖 238000）

1 問(wèn)題重述[1]

確定葡萄酒質(zhì)量時(shí)一般是通過(guò)聘請(qǐng)一批有資質(zhì)的評(píng)酒員進(jìn)行品評(píng),從而確定葡萄酒的質(zhì)量。釀酒葡萄的好壞與所釀葡萄酒的質(zhì)量有直接的關(guān)系，葡萄酒和釀酒葡萄檢測(cè)的理化指標(biāo)會(huì)在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的質(zhì)量。通過(guò)給定的得分及理化指標(biāo)數(shù)據(jù)解決下列問(wèn)題：

（1）分析兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果有無(wú)顯著性差異，哪一組結(jié)果更可信？

（2）根據(jù)釀酒葡萄的理化指標(biāo)和葡萄酒的質(zhì)量對(duì)這些釀酒葡萄進(jìn)行分級(jí)。

（3）分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)之間的聯(lián)系。

（4）分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)對(duì)葡萄酒質(zhì)量的影響，并論證能否用葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)葡萄酒的質(zhì)量？

2 問(wèn)題分析與預(yù)備知識(shí)

2.1 問(wèn)題一

利用SPSS等統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)分析[2]，并采用計(jì)算均值、T-檢驗(yàn)的方法進(jìn)行計(jì)算分析，用以評(píng)判兩組評(píng)酒員評(píng)價(jià)結(jié)果的差異性，從而判斷評(píng)價(jià)結(jié)果可信性。T-檢驗(yàn)是用t分布理論來(lái)推論差異發(fā)生的概率，從而比較兩個(gè)平均數(shù)的差異是否顯著。當(dāng)總體分布是正態(tài)分布，如總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知且樣本容量n＜30，那么樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計(jì)量呈t分布。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

2.2 問(wèn)題二

在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，選取第二組評(píng)酒師對(duì)紅白葡萄酒的評(píng)價(jià)結(jié)果平均值作為標(biāo)準(zhǔn)，先通過(guò)主成分分析法[3]將問(wèn)題簡(jiǎn)化，從而便于排序與分類(lèi)，再使用聚類(lèi)分析對(duì)主成分的特征向量進(jìn)行分析。最后參考酒類(lèi)等級(jí)建立標(biāo)準(zhǔn)[4]，并使用數(shù)據(jù)分析結(jié)果支持結(jié)論。

2.3 問(wèn)題三

根據(jù)第二問(wèn)分級(jí)結(jié)果，使用SPSS軟件對(duì)葡萄酒和葡萄的主要理化指標(biāo)進(jìn)行相關(guān)性及多元回歸分析[5]，從而確定釀酒葡萄與葡萄酒理化指標(biāo)之間的聯(lián)系。

2.4 問(wèn)題四

根據(jù)葡萄酒評(píng)價(jià)結(jié)果與葡萄酒及釀酒葡萄主要理化指標(biāo)間的關(guān)系，篩選出對(duì)葡萄酒的分有重要影響的指標(biāo)，然后做多元線(xiàn)性回歸分析，并通過(guò)數(shù)據(jù)帶入對(duì)比檢驗(yàn)后，用得出評(píng)價(jià)葡萄酒質(zhì)量的公式。

3 問(wèn)題假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明

問(wèn)題假設(shè)：

3.1 假設(shè)原始數(shù)據(jù)基本準(zhǔn)確（個(gè)別異常數(shù)據(jù)可進(jìn)行處理）；

3.2 假設(shè)評(píng)酒員惡意打分情況可忽略，僅考慮評(píng)酒水平差別；

3.3 假設(shè)葡萄樣品為隨機(jī)選取，質(zhì)量水平近似符合正態(tài)分布；

3.4 假設(shè)葡萄酒由與之編號(hào)相同的釀酒葡萄釀造。

符號(hào)說(shuō)明：

t為樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計(jì)量；

μ為總體平均數(shù)；

σX為樣本標(biāo)準(zhǔn)差；

n為樣本容量；

X″為標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果；

Xi樣品指標(biāo) ；

Xmin指標(biāo)最小值；

Xmax指標(biāo)最大值。

4 模型的建立與求解

通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析等方法，4.1-4.4分別建立模型解決題目中的問(wèn)題。

4.1 問(wèn)題1的T—檢驗(yàn)、方差檢測(cè)模型

從實(shí)際生活中，我們知道對(duì)葡萄酒的評(píng)價(jià)主要采用感官評(píng)定價(jià)法。感官評(píng)價(jià)主要依靠評(píng)酒員的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)來(lái)完成，所以在評(píng)判哪組評(píng)酒員的結(jié)果可信度比較高時(shí)，就必須比較對(duì)于不同的評(píng)酒師對(duì)于同一種酒的評(píng)判結(jié)果的差異性，以此為標(biāo)準(zhǔn)，哪組出現(xiàn)的差異比較少，哪組可信度就高。首先，我們使用了Excel和SPSS軟件對(duì)兩組評(píng)酒員的品嘗評(píng)分進(jìn)行了處理，得出了每組評(píng)酒員給出的綜合分?jǐn)?shù)（表1），并運(yùn)用T-檢驗(yàn)得到如下結(jié)論：

表1 紅白葡萄酒T-檢驗(yàn)結(jié)果

由上表可知兩組評(píng)酒員評(píng)價(jià)結(jié)果存在顯著性差異，特別由白葡萄酒的評(píng)論結(jié)果計(jì)算出P值為0.009＜=0.05且F＞F crit,所以更體現(xiàn)出兩組評(píng)酒員評(píng)價(jià)結(jié)果的不同。

其次，我們對(duì)評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，得到兩組評(píng)酒員對(duì)紅白葡萄酒評(píng)價(jià)結(jié)果的平均值及方差得出下表：

表2 評(píng)酒員對(duì)紅白葡萄酒評(píng)價(jià)結(jié)果的平均值及方差

由上表得出結(jié)論第二組方差較第一組小，故第二組評(píng)酒師對(duì)紅白葡萄酒的評(píng)價(jià)結(jié)果更為準(zhǔn)確。

4.2 問(wèn)題2的主成分分析、聚類(lèi)分析模型

由第一問(wèn)我們得出第二組評(píng)酒師對(duì)紅白葡萄酒的評(píng)價(jià)結(jié)果更加準(zhǔn)確，因此我們?nèi)〉诙M評(píng)酒師對(duì)紅白葡萄酒的評(píng)價(jià)結(jié)果平均值作為第二問(wèn)中的葡萄酒的質(zhì)量，再據(jù)附錄二中的釀酒葡萄的理化指標(biāo)進(jìn)行分析，找出哪種釀酒葡萄理化指標(biāo)是影響葡萄酒質(zhì)量的關(guān)鍵因素。

我們使用SPSS軟件對(duì)釀酒葡萄的各項(xiàng)理化指標(biāo)進(jìn)行了一定的處理如求均值、方差等，然后對(duì)結(jié)果進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。 由附件得到釀酒葡萄的主要成分有50多種，并且它們之間存在著復(fù)雜的關(guān)系。因此，我們需要通過(guò)主成分分析在保留主要信息的前提下對(duì)這些指標(biāo)進(jìn)行簡(jiǎn)化處理。

4.2.1 主成分分析過(guò)程與結(jié)果

對(duì)于紅葡萄，通過(guò)SPSS 18軟件對(duì)葡萄酒的30項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行主成分分析，得到方差分解圖和主成分系數(shù)矩陣,其中前8個(gè)主成分的特征較大，且累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)84.148%，根據(jù)主成分選取指標(biāo)的原則，選取前8個(gè)主成分可以代表30項(xiàng)指標(biāo)。因此選擇該 8 個(gè)主成分，并定義為 Y1，Y2，Y3，Y4，Y5，Y6，Y7，Y8。

表3 成份矩陣a

a.已提取了8個(gè)成份。

對(duì)于白葡萄通過(guò)SPSS軟件對(duì)葡萄酒的30項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行主成分分析，得到方差分解圖和主成分系數(shù)矩陣。其中前9個(gè)主成分的特征較大，且累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)84.148%，根據(jù)主成分選取指標(biāo)的原則，選取前9個(gè)主成分完全可以代表30項(xiàng)指標(biāo)。因此選擇該 9 個(gè)主成分，并定義為：Y1，Y2，Y3，Y4，Y5，Y6，Y7，Y8。

對(duì)于紅葡萄，用表中的各個(gè)值的成份量數(shù)據(jù)除表中主成分相對(duì)應(yīng)的特征值開(kāi)平方根使得主成分中每項(xiàng)指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的系數(shù)[4]，即特征向量。將得到的特征向量與標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)相乘得出主成分表達(dá)式。

第一種主成分方程：

第一主成分方差貢獻(xiàn)率最大為23.461%，通過(guò)線(xiàn)性方程能得出特征向量較大的是X4，X11。

第二種主成分方程：

第二主成分方差貢獻(xiàn)率最大為16.831%，通過(guò)線(xiàn)性方程能得出特征向量較大的是X16，X17，X18，X22。第三主成分方差貢獻(xiàn)率最大為12.688%，特征向量較大的是X14，X29。第四主成分方差貢獻(xiàn)率最大為9.508%，特征向量較大的是X19。第五主成分方差貢獻(xiàn)率最大為6.692%，特征向量較大的是X21，X23。第六主成分方差貢獻(xiàn)率最大為5.794%，特征向量較大的是X26，X30。第七主成分方差貢獻(xiàn)率最大為4.730%，特征向量較大的是X15。第八主成分方差貢獻(xiàn)率最大為4.454%，特征向量較大的是X14，X18。

上述主成分方程分析結(jié)果顯示特征向量較大 的 為 X4，X11，X14，X15，X16，X17，X18，X19，X21，X22，X23，X26，X28，X29，X30。 我們利用這 15 項(xiàng)主成分特征向量進(jìn)行下一步聚類(lèi)分析。

4.2.2 聚類(lèi)分析過(guò)程與結(jié)果

（1）聚類(lèi)分析的過(guò)程

利用SPSS軟件對(duì)十五項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類(lèi)分析得到下圖：

圖1 聚類(lèi)示意圖

從圖中可以看出14和15的相似度較大，最早聚合為一類(lèi)， 又與 2、3、8、9、13、10 聚合為一類(lèi)，4與 12相關(guān)系數(shù)較大，聚為一類(lèi)，5、6、7聚為一類(lèi)，1與11同其他指標(biāo)差異較大，都單獨(dú)成為一類(lèi)，由文獻(xiàn)[2-4]可知PH值對(duì)葡萄質(zhì)量的影響較大。

（2）聚類(lèi)分析的結(jié)果

釀酒葡萄的理化性質(zhì)和葡萄酒的質(zhì)量與釀酒葡萄有很大關(guān)聯(lián)，故可以以此對(duì)釀酒葡萄進(jìn)行分級(jí)，結(jié)果如下：

紅葡萄：

一級(jí)：9、20、23

二級(jí)：2、3、4、5、14、17、19、21、22、24、26、27

三級(jí)：1、6、10、12、13、16、25

四級(jí)：7、8、11、15、18

4.3 問(wèn)題3的相關(guān)性分析及一元、多元回歸分析模型

根據(jù)第二題中對(duì)釀酒葡萄的分級(jí)，我們可以用SPSS軟件對(duì)葡萄酒和葡萄的主要理化指標(biāo)進(jìn)行回歸及相關(guān)性分析，再根據(jù)第二問(wèn)中對(duì)主要理化指標(biāo)的線(xiàn)性分析，分別用Excel作出不同等級(jí)釀酒葡萄與葡萄酒理化指標(biāo)間的典型對(duì)比圖，由上述我們確定了每一級(jí)的釀酒葡萄的突出的理化指標(biāo)，另外我們也確定了不同等級(jí)的釀酒葡萄所對(duì)應(yīng)的葡萄酒樣品，通過(guò)以上兩組數(shù)據(jù)找出每一級(jí)釀酒葡萄所對(duì)應(yīng)的葡萄酒樣品理化指標(biāo)的同異性。這樣就可以確定釀酒葡萄與葡萄酒理化指標(biāo)之間的關(guān)系，將其分為三類(lèi)，分別為線(xiàn)性相關(guān)、非線(xiàn)性相關(guān)及多元或關(guān)系復(fù)雜。

4.3.1 葡萄與葡萄酒主要理化指標(biāo)相關(guān)性分析

通過(guò)主要理化指標(biāo)的回歸分析， 我們可以得出紅葡萄與紅葡萄酒理化指標(biāo)之間的聯(lián)系。

我們從題設(shè)所給的附錄2中選出紅葡萄與紅葡萄酒的主要理化指標(biāo)，兩兩之間做回歸分析，線(xiàn)性相關(guān)的指標(biāo)為花色苷與花色苷、總酚與總酚、單寧與單寧和白藜蘆醇與白藜蘆醇等，如總酚與總酚分析為例，如下圖：

圖2 總酚間的關(guān)系圖

非線(xiàn)性相關(guān)的指標(biāo)為：酒總黃酮與果穗質(zhì)量，酒總黃酮與黃酮醇，酒總黃酮與白藜蘆醇等。

4.3.2 多元回歸分析及線(xiàn)性表分析

我們通過(guò)SPSS軟件對(duì)釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)進(jìn)行了多元回歸分析，分析后得出，在4.3.1中無(wú)法進(jìn)行歸類(lèi)的一部分理化指標(biāo)可以歸入多元或關(guān)系復(fù)雜一類(lèi)中如還原糖與酒總黃酮就屬于多元或關(guān)系復(fù)雜，分析過(guò)程及圖表略。分析過(guò)程中，還原糖被作為復(fù)雜因子排除出多元方程，無(wú)法與酒總黃酮構(gòu)成相關(guān)，故兩者關(guān)系多元或關(guān)系復(fù)雜。

4.3.3 相關(guān)結(jié)果

我們對(duì)釀酒葡萄與葡萄酒的主要理化指標(biāo)之間的聯(lián)系進(jìn)行了分析，通過(guò)大量的數(shù)據(jù)分析以及圖表說(shuō)明，白葡萄用同種方法即可，我們將聯(lián)系分為三種情況，分別為：

線(xiàn)性相關(guān)：如花色苷與花色苷、總酚與總酚、單寧與單寧和白藜蘆醇與白藜蘆醇。

非線(xiàn)性相關(guān)：如酒總黃酮與果穗質(zhì)量，酒總黃酮與黃酮醇，酒總黃酮與白藜蘆醇。

多元關(guān)系或關(guān)系復(fù)雜：如酒總黃酮與還原糖。

4.4 問(wèn)題4的多元回歸模型

4.4.1 相關(guān)性分析、多元回歸分析

首先對(duì)理化指標(biāo)跟葡萄酒得分的相關(guān)性進(jìn)行分析，從而得出影響得分的主要理化指標(biāo)。我們對(duì)釀酒葡萄及葡萄酒的主要理化指標(biāo)與葡萄酒質(zhì)量的之間進(jìn)行相關(guān)性分析來(lái)初步判斷他們與葡萄酒質(zhì)量的關(guān)系，分析出線(xiàn)性相關(guān)的量，由此得出各類(lèi)主要理化指標(biāo)與酒質(zhì)量的相關(guān)性關(guān)系。

然后利用SPSS對(duì)進(jìn)一步得出的數(shù)據(jù)進(jìn)行多元回歸分析，得出表4：

表4 系數(shù)a

相應(yīng)的方程為：

使用Matlab擬合得出圖像：

圖3 計(jì)算公式與實(shí)際得分變化趨勢(shì)比較

由上圖顯示出利用釀酒葡萄及葡萄酒各項(xiàng)指標(biāo)做出的公式可以較好的預(yù)測(cè)實(shí)際酒類(lèi)樣品的得分。

4.4.3 考慮芳香類(lèi)物質(zhì)對(duì)葡萄酒的分的影響

在加入芳香化合物前殘差為140.225，加入芳香化合物后殘差為135.957，故加入芳香化合物后更加精確。

由以上分析知釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)對(duì)葡萄酒質(zhì)量有較大影響，影響程度可以量化，并通過(guò)擬合到利用理化指標(biāo)的計(jì)算公式，從而評(píng)價(jià)葡萄酒的質(zhì)量。由于實(shí)際得分受評(píng)酒員水平影響以及葡萄酒的質(zhì)量還受到制作工藝、催化劑等的影響[6]，通過(guò)理化指標(biāo)計(jì)算得分將產(chǎn)生誤差，在以上誤差分析中可以看到，誤差在可接受范圍內(nèi)。

5 模型評(píng)價(jià)與展望

以上用統(tǒng)計(jì)分析等多種方法建立的模型較好地解決了差異性分析，釀酒葡萄等級(jí)分類(lèi)，理化指標(biāo)聯(lián)系及葡萄酒得分預(yù)測(cè)等問(wèn)題。優(yōu)點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)分析、主成分分析、聚類(lèi)分析等方法成熟，計(jì)算可靠，結(jié)果直觀可信；缺點(diǎn)：各理化指標(biāo)間的比值對(duì)葡萄酒產(chǎn)生的影響使得非線(xiàn)性因素增加，導(dǎo)致問(wèn)題變復(fù)雜，產(chǎn)生誤差?？梢钥紤]進(jìn)一步將典型理化指標(biāo)的比值作為新的指標(biāo)考慮，這樣有利于增加模型結(jié)果的精確程度。

[1]http://www.mcm.edu.cn/,訪(fǎng)問(wèn)時(shí)間：2012年11月3日（A題及數(shù)據(jù)來(lái)源）.

[2]馬騰，趙麗，李軍.2008年份昌黎原產(chǎn)地葡萄酒理化特性的統(tǒng)計(jì)學(xué)分析[J].河北科技師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，26（1）:5-11.

[3]吳桂芳，蔣益虹，王艷艷，等.基于獨(dú)立主成分和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的干紅葡萄酒品種的鑒別[J］.光譜學(xué)與光譜學(xué)分析，2009，29（5）:268-271.

[4]中華人民共和國(guó)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局，中國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)化管理委員會(huì).GB/T 15038-2006葡萄酒、果酒通用分析方法[S].北京:中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，2008.

[5]李華，劉永強(qiáng)，郭安鵲，等.運(yùn)用多元統(tǒng)計(jì)分析確定葡萄酒感官特性的描述符[J].中國(guó)食品學(xué)報(bào)，2007,（4）:114-11.

[6]秦含章.葡萄酒分析化學(xué)[M].北京:中國(guó)輕工業(yè)工業(yè)出版社，1991.