超混沌反同步控制及其在保密通信中的應(yīng)用

彭戰(zhàn)松，魏增輝

(黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開封 475004)

0 引言

1987 年Fujisaka 和Yamata[1]對(duì)混沌同步的研究和1990 年P(guān)ecora 和Carroll[2]對(duì)混沌同步的實(shí)驗(yàn)研究引起了人們的廣泛重視，至今，人們已經(jīng)提出了各種不同的混沌同步和混沌控制的方法[3-8]，如反饋控制[5]、模糊控制[6]、自適應(yīng)控制[7]、反同步[8]等。 混沌保密通信的研究在國(guó)際上起源于20 世紀(jì)90 年代初期，迄今已經(jīng)提出了同步混沌通信4 大保密技術(shù)[9]，即混沌掩蓋、混沌調(diào)制、混沌鍵控和混沌擴(kuò)頻。

超混沌系統(tǒng)是人們?cè)趯?duì)混沌系統(tǒng)的研究中提出的。 它與混沌系統(tǒng)相比，具有更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。 根據(jù)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的發(fā)展，超混沌同步系統(tǒng)被應(yīng)用到保密通信中，具有重要的應(yīng)用價(jià)值和廣闊的發(fā)展前景。 本文將超混沌異結(jié)構(gòu)反同步方法應(yīng)用于混沌掩蓋保密通信，實(shí)現(xiàn)了超混沌的自同步和反同步控制。

1 超混沌系統(tǒng)反同步控制

1.1 超混沌系統(tǒng)的描述

最近，由Aimin chen 等人在研究Lü 系統(tǒng)[10]的控制過程中，用狀態(tài)反饋的方法，在Lü 系統(tǒng)中增加一個(gè)新變量，獲得了一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)，稱為超混沌Lü 系統(tǒng)。 其具體描述如式（1）。

式中：a，b，c，d 是Lü 系統(tǒng)的參數(shù)。 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取值為a=36、b=3、c=20、-0.35＜d≤1.30 時(shí)，系統(tǒng)（1）處于超混沌狀態(tài)。 此時(shí)取d=0.8，超混沌吸引子如圖1（a）所示。

劉崇新在2007 年提出了一個(gè)四維自治超混沌Liu 系統(tǒng)[11]，該超混沌系統(tǒng)模型如下:

式中：X=(x，y，z，w)T∈R4為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；a、m、b、e、h、k、g、c、d 為系統(tǒng)的參數(shù)。

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a=10、m=1、b=1、e=2.5、h=1、k=1、g=2、c=4、d=0.25 時(shí)，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，超混沌吸引子如圖1（b）所示。

圖1 超混沌吸引子Fig.1 Hyper-chaos attractor

1.2 超混沌異結(jié)構(gòu)反同步控制

令驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為超混沌Lü 系統(tǒng)，響應(yīng)系統(tǒng)為超混沌Liu 系統(tǒng)，為了區(qū)別與系統(tǒng)（1）的參數(shù)，將系統(tǒng)（2）中的a、b、c、d 改寫為a1、b1、c1、d1，將系統(tǒng)（2）改寫為

其中μ1，μ2，μ3，μ4，為控制器，定義誤差e1=x1+x，e2=y1+y，e3=z1+z，e4=w1+w，則反同步誤差系統(tǒng)為

選擇如下控制器:

此時(shí)反同步誤差系統(tǒng)為

取ki>0（i=1,2,3,4）。 顯然反同步誤差系統(tǒng)（6）的Jacobi 矩陣特征值均為負(fù)，根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性定理[12]可知，系統(tǒng)（6）零解穩(wěn)定，此時(shí)lim｜｜ei（t）｜｜=0（i=1，2，3，4）。 即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（3）達(dá)到了反同步。 圖2 為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（3）反同步控制后的吸引子和反同步誤差曲線模擬結(jié)果。

圖2 控制器(5)式作用下系統(tǒng)(1)與(3）的反同步誤差曲線和吸引子Fig.2 Anti-synchronous error curve and attractor of system (1) and (3) with the action of controller (5)

2 異結(jié)構(gòu)超混沌反同步控制在保密通信中的應(yīng)用

基于上述混沌反同步控制方法，現(xiàn)將其用于混沌掩蓋保密通信中。 以下仿真在超混沌Lü 系統(tǒng)和超混沌Liu 系統(tǒng)反同步的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)。

2.1 基本原理

混沌遮掩保密通信的基本原理是發(fā)送端的混沌系統(tǒng)為類似噪聲的混沌信號(hào)，將有用信號(hào)疊加到混沌信號(hào)上進(jìn)行遮掩，通過物理信道把混合信號(hào)發(fā)送出去；同時(shí)接收端與發(fā)送端混沌系統(tǒng)達(dá)到同步，從接收的混合信號(hào)中減去重構(gòu)的混沌信號(hào)，從而解出發(fā)送的有用信息。 同步的條件和它們的方程結(jié)構(gòu)及參數(shù)空間作為信號(hào)解調(diào)的密匙。

2.2 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)待加密信號(hào)為i（t）。 在i（t）與超混沌信號(hào)x1（t）疊加之前，先經(jīng)函數(shù)f(·)轉(zhuǎn)換，并與混沌信號(hào)疊加，產(chǎn)生混合信號(hào)，以增加隱藏的效果。 進(jìn)入作真實(shí)驗(yàn)時(shí)，只要保證系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定且混沌的，并且存在逆函數(shù)f-1(·)。 因此，系統(tǒng)的安全性就不僅依賴于混沌遮掩，還與函數(shù)f(·)有關(guān)，即使破譯者得到了經(jīng)函數(shù)f(·)變換后的有用信號(hào)，也無法得到原始信號(hào)。 這增加了信號(hào)被截獲后的破譯難度，有利于提高信息傳輸?shù)陌踩浴?/p>

根據(jù)異結(jié)構(gòu)超混沌反同步控制方案，把系統(tǒng)（1）作為發(fā)射系統(tǒng)，把同步系統(tǒng)（3）改寫為

作為接收系統(tǒng)，s（t）=x（t）+f（i（t）），設(shè)待加密信號(hào)為 i（t）=0.5sin（10t），變換函數(shù)為f（x）=tan（x）+1與混沌信號(hào)x（t）疊加后的混合信號(hào)s（t），在接收端提取信號(hào)f'（i（t））=s（t）+x1（t）=x（t）+x1（t）+f（i（t））=f（i（t）），當(dāng)系統(tǒng)工作時(shí)間t>10、解密后信號(hào)與原信號(hào)之間的誤差在10-6以下時(shí)，f（x）的反函數(shù)為f-1（x）=arctan[s（t）+x1（t））-1]=i'（t），i'（t）為解密后的有用信號(hào)，與原始信號(hào)的誤差為e（t）=i'（t）-i（t）（如圖3 所示）。 由仿真結(jié)果可以看出，接收系統(tǒng)有效地恢復(fù)了傳輸?shù)挠杏眯盘?hào)，由圖3（a）、（b）可以看出，有用信號(hào)與混沌信號(hào)毫不相干。 結(jié)合混沌序列的特性實(shí)現(xiàn)保密通信，（c）為變換加密信號(hào)，（d）為在物理信道中傳輸?shù)淖儞Q加密信號(hào)和混沌序列，（e）為解密后恢復(fù)信號(hào)，（f）為有用信號(hào)加密前后的誤差。

圖3 混沌掩蓋保密通信仿真波形圖Fig.3 Chaos masks secret communication simulation oscillogram

3 結(jié)語(yǔ)

本文首先用反同步控制方法，實(shí)現(xiàn)了超混沌自同步。 分析了超混沌系統(tǒng)同步誤差的穩(wěn)定性，然后將超混沌異結(jié)構(gòu)反同步控制應(yīng)用于保密通信，系統(tǒng)在混沌遮掩保密通信中分別進(jìn)行了仿真。 數(shù)值仿真結(jié)果表明，該方法可以較好地應(yīng)用在混沌遮掩保密通信方案中。 混沌同步的一個(gè)重要領(lǐng)域的應(yīng)用就是在保密通信領(lǐng)域，不同超混沌系統(tǒng)之間混沌同步的實(shí)現(xiàn)。 它增加了超混沌系統(tǒng)的應(yīng)用范圍，驗(yàn)證了該方法在混沌通信保密方面具有的良好實(shí)用價(jià)值。

[1] Fujisaka H,Yamada T.Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems [J].Porg TheoryPhys.1983、69:32-47.

[2] Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J]. Phys.Rev.Lett.,1990,64:821.82.

[3] 趙遼英,趙光宙,厲小潤(rùn). 基于Riccatic 方程的混沌同步方法及其在保密通信中的應(yīng)用[J]. 電路與系統(tǒng)學(xué)報(bào),2005,10(3):6-10.

[4] BOUTAYEB M ,DAROUACH M ,RAFARALAHYH.Generalized state-space observers for chaotic synchroni zation and secure communication [J]. IEEE Trans on Circuits and Systems，2002，49（3）:345-349.

[5] JIANG Zhong-ping.Advanced feedback control of the chaotic Duffing equation[J]. IEEE Trans on Circuits and Systems,2002,49(2):244-249.

[6] LIAN K Y,CHIANG T S,CHIU C S.Synthesis of fuzzy model-based designed tO synchronization and secure communication for chaotic systems[J].IEEE Trans Systems M an and Cybernetics，2001，31（1）:66-83.

[7] 王中生,李偉鋒,廖曉昕.不確定Duffing 混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)跟蹤控制[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào),2005,33(2)64-66.

[8] 王興元, 王明軍. 三種方法實(shí)現(xiàn)超混沌Chen 系統(tǒng)的反同步[J]. 物理學(xué)報(bào)，2007，56（12）:6843-6850.

[9] 馬在光,吳純英,丘水生. 混沌同步和混沌通信研究的新進(jìn)展與嘗試[J]. 2002,17（3）：307-314.

[10] Aimin Chen, Jun -an Lu, Jinhu Lü, Simin Yu.Generating hyper-chaotic Lü attractor via state feedback control［J］. Physical A，2006，36（4）:103-110.

[11] 劉崇新. 一個(gè)超混沌系統(tǒng)及其分?jǐn)?shù)階電路仿真實(shí)驗(yàn)[J].物理學(xué)報(bào)2007，56（12）：6865-6872.

[12] 馬知恩. 常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M]. 西安:科學(xué)出版社，2001：70-71.