學(xué)習(xí)經(jīng)典案例體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化*

☆張映姜

（湛江師范學(xué)院數(shù)科院，廣東湛江 524048）

呈現(xiàn)網(wǎng)上經(jīng)典的數(shù)學(xué)案例，豐富數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)，這將成為當(dāng)前學(xué)校數(shù)學(xué)課堂中常見的情形。有調(diào)查表明，英國有62.2%、德國有41%的教師喜歡使用網(wǎng)絡(luò)上課。[1]在我國，調(diào)查表明，67.02%的學(xué)生認(rèn)為豐富的教學(xué)內(nèi)容、多樣的呈現(xiàn)方式是重要的；18.92%的學(xué)生希望利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行教學(xué)，而認(rèn)為選擇傳統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)結(jié)合教學(xué)的學(xué)生有77.30%。[2]這說明，生動(dòng)直觀的網(wǎng)絡(luò)資源、開放的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的確受到學(xué)生的追捧。通過網(wǎng)絡(luò)資源，利用高爾頓釘板可進(jìn)行直觀體驗(yàn)，運(yùn)用七巧板拼圖能實(shí)施游戲?qū)W習(xí)，利用漢諾塔活動(dòng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)探究，通過擲拋硬幣讓學(xué)生理解隨機(jī)主題。這些悠久的歷史案例，經(jīng)典的文化名題，生動(dòng)的網(wǎng)絡(luò)情境，促進(jìn)學(xué)生體驗(yàn)性的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，豐富知識(shí)和情感經(jīng)驗(yàn)，追溯知識(shí)的源頭，豐厚知識(shí)的文化內(nèi)涵，構(gòu)建知識(shí)、獲得意義，欣賞數(shù)學(xué)文化，增進(jìn)情感。

一、高爾頓釘板試驗(yàn)：直觀體驗(yàn)

學(xué)習(xí)對(duì)象形象化，學(xué)習(xí)內(nèi)容直觀化。直觀能打破時(shí)空限制，集文本、圖形、動(dòng)畫、音視頻等多種媒體把教學(xué)內(nèi)容展現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生迅速感知學(xué)習(xí)內(nèi)容，把學(xué)習(xí)內(nèi)容變?yōu)楦鼮榫唧w的、可感知的東西。英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓做了一個(gè)頻率穩(wěn)定性的實(shí)驗(yàn)，即高爾頓釘板試驗(yàn)，通過網(wǎng)絡(luò)可生動(dòng)地展示高爾頓釘板試驗(yàn)，即形象地展示隨機(jī)事件概率分布情況，深受學(xué)生的喜愛。學(xué)生參與高爾頓釘板試驗(yàn)，觀察試驗(yàn)結(jié)果，能形成高爾頓釘板的概率分布圖，生動(dòng)的形象、直觀的圖像的經(jīng)驗(yàn)有助于學(xué)生對(duì)試驗(yàn)的理解和記憶。這與心理學(xué)家布魯納提出的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)理念一致。

釘板實(shí)驗(yàn)的網(wǎng)址：http:／／4a.hep.edu.cn／NCourse／gltj／gltj＿sjsy.htm＃.

如圖1，展示著名的高爾頓釘板統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)。網(wǎng)上提供的高爾頓釘板動(dòng)畫直觀生動(dòng)，能準(zhǔn)確地將正態(tài)分布的形狀展現(xiàn)出來，同時(shí)，還可把偏態(tài)分布模擬地、形象地體現(xiàn)，充分形象地揭示概率與分布間的關(guān)系，驚嘆高爾頓天才的實(shí)驗(yàn)，佩服網(wǎng)絡(luò)資源提供者高超的設(shè)計(jì)。如圖2所示，每一顆釘子的位置恰好位于下層兩顆釘子的正中間，小球碰到釘子后向左落下均以概率p。在高爾頓釘板的模擬統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)中，可以設(shè)置小球從釘子左邊落下概率p、樣本的容量即小球個(gè)數(shù)以及演示的次數(shù)。并在p＜0.5，p＝0.5，p＞0.5分別進(jìn)行模擬的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生觀察、思考、分析、比較，歸納出概率p與事件分布統(tǒng)計(jì)關(guān)系，總結(jié)概括分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。通過大量的隨機(jī)事件來發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件分布的規(guī)律，并發(fā)現(xiàn)概率p對(duì)分布的影響。如圖1所設(shè)置的數(shù)據(jù)，通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，分布的規(guī)律如圖2所示。通過直觀學(xué)習(xí)，學(xué)生在事件分布規(guī)律思考中發(fā)現(xiàn)參數(shù)（在一定范圍內(nèi)）對(duì)結(jié)果的影響，同時(shí)，也感受到概率分布豐富的文化內(nèi)涵，形成個(gè)人的概率分布的知識(shí)意義，通過模擬直觀試驗(yàn)，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行深入思考，仔細(xì)分析、概括歸納等思維活動(dòng)，掌握了知識(shí)，豐富了內(nèi)涵，獲得了直觀經(jīng)驗(yàn)，也理解了概率分布的數(shù)學(xué)模型。

圖1

圖2

不難理解夸美紐斯的名言，“一切知識(shí)都從感官開始的”，“在可能的范圍內(nèi)，一切事物應(yīng)盡量地放在感官的跟前。一切看得見的東西，應(yīng)盡量地放在視者跟前；一切聽得見的東西，應(yīng)盡量地放在聽者的跟前……假如有一個(gè)東西能夠同時(shí)在幾個(gè)感官上面留下印象，它便應(yīng)當(dāng)和幾個(gè)感官去接觸”。特瑞赤拉研究認(rèn)為，83%的信息通過視覺獲得，11%的信息通過聽覺獲得[6]。利用圖形、動(dòng)畫、圖像、模型等多種媒體，把抽象的教學(xué)內(nèi)容化為具體化、形象化、直觀化、生動(dòng)化，讓學(xué)生通過多種刺激迅速感知，把握學(xué)習(xí)對(duì)象的特征，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，概括結(jié)論，讓學(xué)生獲得圖像經(jīng)驗(yàn)，從而理解知識(shí)。

二、七巧板拼圖：游戲體驗(yàn)

游戲體驗(yàn)也是有意思的學(xué)習(xí)形式。通過游戲體驗(yàn)，不僅能吸引學(xué)生的注意力以及提高學(xué)習(xí)興趣，而且還能激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，增強(qiáng)學(xué)生的參與意識(shí)和創(chuàng)造意識(shí)。七巧板是著名的拼圖游戲，將一塊正方形的板分割成七塊，不同的拼湊可得到千變?nèi)f化的圖案。利用http:／／www.puzzle8.com／tangram／中的七巧板進(jìn)行拼圖競賽。

首先，針對(duì)“人物類、建筑類、動(dòng)物類、圖形類、物品類、交通類”等七巧板游戲，讓學(xué)生進(jìn)行看形拼圖。如圖3、圖4是利用七巧板游戲平臺(tái)將七塊板進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)而拼成得到的松鼠，兔子狀的圖形。

圖3

圖4

其次，讓學(xué)生利用七巧板進(jìn)行想像拼圖，看誰最具有想像力。由于七巧板構(gòu)思巧妙，變化無窮，對(duì)學(xué)生是個(gè)挑戰(zhàn)。學(xué)生用七巧板可拼成各種圖案和文字，能出現(xiàn)許多拼圖高手，課堂十分活躍。通過學(xué)生擺出各種各樣的圖形，增強(qiáng)了形象思維，啟發(fā)了智慧，提高了創(chuàng)造能力。

然后，讓學(xué)生評(píng)評(píng)七巧板?！捌咔砂濉笔侵袊艜r(shí)的發(fā)明，歷史悠久，廣為流傳。變化之多，至少千種，隨手變幻，風(fēng)景、建筑、物品、動(dòng)物、人等形態(tài)，都可用七巧板拼圖表示。無論怎樣將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、平移，每塊板的形狀、大小不會(huì)改變。奇妙的七巧板，讓我們進(jìn)入美妙的拼圖世界。七巧板排悶破寂，眾人喜歡，愛不釋手。拿破侖流放時(shí)將其用來消遣，鍛煉思維，打發(fā)時(shí)光。李約瑟說它曾是“東方最古老的消遣品”。杜威提出以活動(dòng)為中心的主張，早已關(guān)注到學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。他主張學(xué)生的學(xué)習(xí)從生活和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過實(shí)際動(dòng)手，實(shí)際操作等各種活動(dòng)進(jìn)行學(xué)習(xí)，從做中學(xué)，通過活動(dòng)獲得體驗(yàn)，在實(shí)踐體驗(yàn)中獲得經(jīng)驗(yàn)，在具體實(shí)踐情境中獲得意義。網(wǎng)絡(luò)中的游戲?qū)W習(xí)，讓學(xué)生從游戲中感受歷史文化，又理解數(shù)學(xué)知識(shí)和思想；網(wǎng)絡(luò)中合適內(nèi)容的游戲?qū)W習(xí)，能激發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)的興趣，開發(fā)智力，啟迪心靈，讓人動(dòng)手、動(dòng)腦；學(xué)會(huì)觀察、概括，培養(yǎng)能力，掌握方法，提高素質(zhì)。

三、漢諾塔的活動(dòng)：探究體驗(yàn)

探究體驗(yàn)也是重要的學(xué)習(xí)方式?？茖W(xué)研究需要探究、探索，通過網(wǎng)上實(shí)驗(yàn)探究，抽象、歸納、類比、概括出數(shù)學(xué)規(guī)律；探究體驗(yàn)?zāi)芗ぐl(fā)學(xué)生積極地思考，能激發(fā)學(xué)生探索和創(chuàng)造欲望，尋找問題的答案；也只有通過探究活動(dòng)得到的結(jié)果才是終身難忘的。亞里土多德曾說：“思維從驚訝和問題開始”。利用網(wǎng)絡(luò)中許多學(xué)習(xí)資源，構(gòu)建探究情境，產(chǎn)生疑惑，激發(fā)興趣，引起學(xué)生探究。心理學(xué)家皮亞杰研究認(rèn)為，當(dāng)感知的信息與現(xiàn)有認(rèn)知之間出現(xiàn)適度的沖突時(shí)，人的興趣最大。蘇霍姆林斯基曾說過：“在人的心靈深處,都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者”。打開網(wǎng)站 http:／／www.towerofhanoi.net／，進(jìn)行漢諾塔的探究體驗(yàn)，找到迭代關(guān)系。

漢諾塔是一古老的傳說。印度一圣廟里一塊銅板上，有3根寶石針，左邊針上有64塊金片，從小到大疊放，如圖5，俗稱梵塔。移動(dòng)金片，每次一塊，且小的總在大的上面。當(dāng)64塊金片全部從左針移到右針時(shí)，世界的末日來臨了。即歷史上曾經(jīng)所謂的“世界末日問題”。

圖5

設(shè)金屬片有n塊時(shí)操作的次數(shù)為f(n)。通過漢諾塔的金片數(shù)n＝1，2，3，4……探究歸納發(fā)現(xiàn)，操作的次數(shù)滿足條件：

通過迭代計(jì)算發(fā)現(xiàn)，搬完64塊金片至少需要18,446,744,073,709,551,615次。假設(shè)搬運(yùn)者每秒移一片，中間不停頓，大概需要584,942,417,355年，即不少于5000億年。利用網(wǎng)絡(luò)中的神話故事，通過歷史文化進(jìn)行漢諾塔問題的探究體驗(yàn)，學(xué)生既感受數(shù)學(xué)問題的歷史悠久，又體驗(yàn)到數(shù)學(xué)文化的神韻；既了解了迭代的原型，又欣賞了人類的智慧。最后，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)，漢諾塔的“世界末日的問題”，真是杞人憂天。

四、擲拋硬幣：主題體驗(yàn)

主題體驗(yàn)也是常用的學(xué)習(xí)形式。數(shù)學(xué)知識(shí)是社會(huì)的，人能在社會(huì)、歷史和文化情境獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生通過自己的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)地構(gòu)建知識(shí)的意義（Paul，1998）?；诰W(wǎng)絡(luò)教室，通過電子白板圍繞主題鏈接全球的網(wǎng)絡(luò)資源進(jìn)行學(xué)習(xí)。通過悠久的歷史案例，經(jīng)典的文化名題，可在網(wǎng)絡(luò)情境中學(xué)習(xí)，豐富知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，在文化氛圍中構(gòu)建知識(shí)的意義，豐富知識(shí)的歷史文化內(nèi)涵。圍繞蒲豐擲硬幣的主題，鏈接相關(guān)網(wǎng)頁，討論學(xué)習(xí)關(guān)于硬幣的歷史故事、硬幣游戲、相關(guān)悖論及評(píng)述，進(jìn)行擲拋硬幣的主題學(xué)習(xí)。

圖6

硬幣是生活中常用來方便購物的錢幣。硬幣被數(shù)學(xué)家用來揭示隨機(jī)事件的規(guī)律。感到可笑的是，有人將施政視為游戲。曾傳說一國王還利用擲拋硬幣決定政令。不過，這也說明人類很早就有了硬幣擲拋游戲。通過網(wǎng)上擲硬幣游戲、數(shù)學(xué)家擲拋硬幣的激情、困擾賭徒的硬幣悖論等主題學(xué)習(xí)，讓學(xué)生理解隨機(jī)規(guī)律，體驗(yàn)歷史文化。

圖7

首先，利用網(wǎng)絡(luò)（http:／／www.wlcxx.cn／article／view19664.aspx）展示德.摩根、蒲豐、皮爾遜等歷史上著名的數(shù)學(xué)家醉迷于擲拋硬幣的經(jīng)典游戲活動(dòng)。如圖6，這些游戲無一例外地驗(yàn)證了，正面朝上的頻率趨向于。數(shù)學(xué)家的探究精神令人欽佩。

其次，如圖7，利用網(wǎng)絡(luò)（http:／jpk.whut.edu.cn／web20－2004／sucaiku／GaiLvLun／Dynamic／Html／01.htm）展示拋 擲硬幣的經(jīng)典游戲畫面。通過直接參與，學(xué)生觀察正面出現(xiàn)的總數(shù)、頻率及其變化，形成隨機(jī)的觀念，并獲得概率概念的直接體驗(yàn)。

然后，鏈接網(wǎng)頁 http:／tieba.baidu.com／p／1234455275芽pn＝1＆v＝0引出困擾拉斯維加斯賭徒的硬幣悖論：

賭玩猜硬幣正反的游戲，假定硬幣正常，賭一次正反先交1000美金，猜對(duì)得2000，猜錯(cuò)分文不得，這個(gè)賭徒連猜3次正面，結(jié)果都是反面。此時(shí)，這賭徒只剩下最后1000美金。他陷入沉思，第四次猜正面還是猜反面，才有可能贏。

猜反面：既然沒有做過手腳且質(zhì)地均勻，那么，每次出現(xiàn)正面或反面的概率都是，再說，硬幣也不會(huì)記得前一次的結(jié)果呀。

……于是乎，正面？反面？不知所措！?。?/p>

于是，引起人們對(duì)拉斯維加斯硬幣悖論激烈的爭吵。

通過擲拋硬幣的主題學(xué)習(xí)，不僅能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的經(jīng)典，而且還能體驗(yàn)到人類文化的精致，以及人類高超的智慧。正如德國數(shù)學(xué)家普林斯海姆說，數(shù)學(xué)知識(shí)，其價(jià)值不僅在于它是一種有力的工具，同時(shí)，還在于數(shù)學(xué)自身的完美。在數(shù)學(xué)的內(nèi)部或外部的延伸、應(yīng)用中，我們看到了最純粹的邏輯思維，以及最高級(jí)的智能活動(dòng)。是的，我們看到了偉大的人類，也正在創(chuàng)造人類的偉大。

五、教學(xué)體會(huì)

網(wǎng)絡(luò)上的經(jīng)典案例是數(shù)學(xué)課堂進(jìn)行體驗(yàn)學(xué)習(xí)的重要資源。將高爾頓釘板試驗(yàn)、漢諾塔的探究活動(dòng)、擲拋硬幣的主題及七巧板拼圖游戲引入課堂，不僅可獲得知識(shí)，豐富經(jīng)驗(yàn)，而且能實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)交互，增加了動(dòng)手的機(jī)會(huì)，利用活動(dòng)操作進(jìn)行參與式的學(xué)習(xí)，獲得了活動(dòng)性經(jīng)驗(yàn)；特別是，網(wǎng)絡(luò)中經(jīng)典的文化案例，悠久的人類歷史，營造了濃郁的文化氛圍，傳遞了人類文化，使學(xué)生有了特別好的文化體驗(yàn)，全方位地豐富了學(xué)生的知識(shí)、情感。信息化在教育中發(fā)揮的作用越來越大，發(fā)揮網(wǎng)絡(luò)資源的交互性、直觀性、信息共享等優(yōu)勢，可超越時(shí)空，師生足不出戶，就可分享全球信息。

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