質(zhì)點在不同初始條件下做有心力運動的探討

江昌龍

（黃山學(xué)院 信息工程學(xué)院，安徽 黃山245041）

0 引 言

在理論力學(xué)[1]教材書中有專門的章節(jié)介紹了質(zhì)點在有心力作用下的運動，推導(dǎo)出比耐公式和能量方程，并討論萬有引力和庫侖引力兩種有心力模型，對比耐公式和能量方程進行了初步求解，但文中沒有確定求解結(jié)果中的系數(shù)，而且也沒有討論方程在什么樣的情況下有解以及說明初始條件的不同會對結(jié)果造成什么樣的影響。事實上，方程中的系數(shù)是由初始條件來確定的，若初始條件給定，質(zhì)點在有心力作用下的運動也將確定。初始條件不同，運動結(jié)果也將大相徑庭，基于這方面的考慮，本文系統(tǒng)全面闡述了質(zhì)點在不同初始條件下做有心力作用下的運動探討，對與平方成反比力的有心力模型做了深刻而細致的計算，對教材中的內(nèi)容做了擴展和補充。

一般來說，對于二體運動問題，如果其中一方位置固定或者質(zhì)量遠大于另一方，就可以化為單質(zhì)點運動問題，也就是本文所討論的問題模型。此問題模型的探討在天體運動、人造衛(wèi)星的發(fā)射，微觀粒子在靜電場中的運動等相關(guān)一類問題都有廣泛的應(yīng)用。

1 質(zhì)點在極坐標系下的動力學(xué)方程

在初始位置給出一定的初始速度，質(zhì)點在有心力作用下開始運動，以r(r＞0)代表極徑，θ代表極角，如圖1所示，則在極坐標系下質(zhì)點運動的動力學(xué)方程可以表示為：

圖1 極坐標系下質(zhì)點在有心力作用下的運動

4 總結(jié)

以上討論了質(zhì)點在與距離平方成反比的有心力作用的條件下由于初始條件的不同而造成對運動結(jié)果及對運動軌跡的影響。

1.應(yīng)用比耐公式也可以計算質(zhì)點的運動方程，但采用能量方程更具廣泛意義。計算結(jié)果表明，質(zhì)點運動的軌跡曲線與初始條件的r0，v0和α角都有關(guān)系。

2.在0＜α＜π時，可以根據(jù)初始條件把質(zhì)點的運動的在極坐標系下的運動學(xué)方程比較容易得算出來。在α=0或π時，要根據(jù)初始條件計算質(zhì)點在有心力作用下沿直線運動時位置與時間的關(guān)系時，該方程難以把位置表示成時間的函數(shù)關(guān)系，但是可以比較容易把時間表示成位置的函數(shù)關(guān)系。

[1]周衍柏.理論力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，1986.