磁性液體阻尼減振器動(dòng)力學(xué)建模及實(shí)驗(yàn)?

楊文明,李德才,馮振華

(北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院,北京 100044)

引 言

磁性液體是一種由包覆有表面活性劑的納米鐵磁性或亞鐵磁性顆粒分散于液態(tài)載液中形成的穩(wěn)定的膠態(tài)懸浮液。在磁性液體應(yīng)用于實(shí)際之初,人們就提出了將磁性液體應(yīng)用于阻尼的設(shè)想[1],后來,K.Raj和 R.M oskow itz于 1980年綜述了磁性液體阻尼技術(shù)的諸多應(yīng)用[2]。之后,應(yīng)用磁性液體的阻尼器被發(fā)展為多種類型。1987年,Katsuto Nakatsuka等人提出了一種活塞式磁性液體阻尼器[3],并將這種阻尼器與空氣彈簧組合用來控制載物臺(tái)的振動(dòng),Toyohisa Fujita等人將電流變液與磁性液體混合代替活塞式阻尼器中的磁性液體[4,5],發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的阻尼器可阻尼更寬頻率范圍的振動(dòng)。 Hideaki Fukuda等人則在活塞式磁性液體阻尼器的外部安裝電磁鐵來達(dá)到對(duì)振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)控制的目的[6,7]。1998年,AbéM asato等人提出了調(diào)諧磁性液體阻尼器[8],后來由Yasuhiro Ohira等人建立了這種阻尼器的分析模型[9,10],并經(jīng)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了它的有效性。2002年,V.G.Bashtovoi提出了一種磁性液體動(dòng)力吸振器[10],發(fā)現(xiàn)它最適用于阻尼小振幅(小于 1 mm)和小頻率(小于1 Hz)的振動(dòng)。最近幾年,人們?yōu)榱藴p小阻尼過程中的生熱,提出了磁性液體膠體阻尼器[12],為了將阻尼器應(yīng)用于微型機(jī)械,研究了多孔彈性片狀磁性液體阻尼器等類型[13]。到現(xiàn)在,有的磁性液體阻尼器已經(jīng)應(yīng)用于機(jī)械、儀器儀表和航天等領(lǐng)域中,有的則還處于理論分析階段,但在阻尼器件中作為支撐和阻尼液仍然是磁性液體最具潛力的應(yīng)用之一。

本文針對(duì)要求結(jié)構(gòu)緊湊和能量耗散較小的場(chǎng)合,提出另外一種磁性液體阻尼減振器,建立這種減振器的動(dòng)力學(xué)模型,并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模型的有效性。

1 磁性液體阻尼減振器工作原理

如圖1所示,磁性液體阻尼減振器由圓柱形非磁性外殼,充滿在外殼內(nèi)的磁性液體以及浸沒在磁性液體中的圓柱形永磁體組成。如果忽略永磁體的重力,根據(jù)磁性液體的第二類懸浮原理[14],永磁體將遠(yuǎn)離外殼內(nèi)壁,懸浮在磁性液體中央。使用時(shí)將外殼與被減振的物體固定,外界的振動(dòng)將引起永磁體與外殼間的相對(duì)運(yùn)動(dòng),從而在磁性液體內(nèi)部產(chǎn)生具有速度梯度的流動(dòng),這樣就可以依靠液體的粘性耗能原理耗散能量。

本文中為了研究簡(jiǎn)便,用一端固定,另一端自由的彈性懸臂梁產(chǎn)生自由振動(dòng),梁的示意圖和建立的坐標(biāo)系如圖2所示。將未變形時(shí)梁的軸線,即各截面形心連成的直線取作 y軸,將梁的對(duì)稱平面內(nèi)與y軸垂直的方向取作x軸。梁在對(duì)稱平面內(nèi)作彎曲振動(dòng),不考慮剪切變形和截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)彎曲振動(dòng)的影響,梁的軸線只有橫向位移x(y,t),t為時(shí)間變量。阻尼器安裝于梁的最低端,而且圓柱形阻尼器的軸線沿振動(dòng)方向。

圖1 磁性液體阻尼減振器結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of ferrofluid damper

圖2 彈性懸臂梁Fig.2 The elastic brass plate

2 磁性液體阻尼減振器動(dòng)力學(xué)建模

2.1 彈性懸臂梁振動(dòng)能量的計(jì)算

一端固定,另一端自由的彈性懸臂梁自由振動(dòng)時(shí)具有如下的表達(dá)式[15]式中 A為初始偏移量,U=1.875/l,l為梁的長(zhǎng)度,k為梁自由振動(dòng)的頻率。

由式(1)可知 ,在時(shí)間點(diǎn)tn=(n=0,1,2,… )上,梁處于不受力的平衡位置,只有運(yùn)動(dòng)能,此時(shí)整個(gè)梁的運(yùn)動(dòng)能為

式中 S為梁的截面積,d為梁材料的密度。將t=tn以及x0(y)的表達(dá)式代入式(3),并經(jīng)積分計(jì)算,可得梁的振動(dòng)能量為

2.2 磁性液體中粘性耗能的計(jì)算

由于梁振動(dòng)時(shí)磁性液體內(nèi)的粘性耗能,梁的振動(dòng)被抑制,用梁振動(dòng)的對(duì)數(shù)衰減率Λ來衡量這種抑制作用的強(qiáng)弱

式中 Ai為第i次振動(dòng)的振幅,如果記Wi為振幅 Ai時(shí)梁的振動(dòng)能量,則由式(1),(2)和(3)可知Wi正比于Ai2,從而

如果用ΔW表示第i次振動(dòng)中磁性液體的粘性耗能,則Wi-1=Wi+ΔW,從而對(duì)數(shù)衰減率可以表示為

下面計(jì)算在梁振動(dòng)的一個(gè)周期T內(nèi)磁性液體的粘性耗能。假設(shè)外殼沿軸線方向較其中的永磁體長(zhǎng)很多,認(rèn)為永磁體只在外殼內(nèi)的中心部分振動(dòng),這時(shí)可以忽略永磁體在軸線方向上受到的磁性液體施加的回復(fù)力。又假設(shè)永磁體和外殼間的間隙較永磁體的尺寸小很多,而且由于外殼隨被減振件一起振動(dòng)的頻率較小,所以永磁體和外殼間的間隙內(nèi)磁性液體的流動(dòng)可以認(rèn)為是沿軸線方向上的一維準(zhǔn)定常流動(dòng)。

根據(jù)減振器結(jié)構(gòu)的軸對(duì)稱性,將在三維空間內(nèi)的問題簡(jiǎn)化為二維平面問題,如圖3所示,可以只考慮圖中對(duì)稱軸以上的部分。圓柱形永磁體懸浮于圓柱形外殼內(nèi)的磁性液體中,設(shè)外殼內(nèi)徑為R,永磁體的質(zhì)量為m,長(zhǎng)度為lm,密度為d m,半徑為ra,端面面積為 Sm,外圓柱表面積為 Sa,磁性液體的密度為d f,粘度為Z。忽略永磁體的磁場(chǎng)對(duì)磁性液體粘度的影響。認(rèn)為永磁體在磁性液體中沿徑向居中,居中時(shí)永磁體和外殼間的間隙為ga。

設(shè)外殼沿軸線方向相對(duì)于初始位置的位移為x,永磁體相對(duì)于外殼的位移為xm,磁性液體相對(duì)于外殼的位移為xf,速度為vf。由于忽略磁場(chǎng)和重力對(duì)磁性液體的影響,所以間隙內(nèi)磁性液體流動(dòng)在r方向上的N-S方程可以簡(jiǎn)化為

圖3 磁性液體阻尼減振器的參數(shù)Fig.3 Parameters of ferrofluid damper

圖4 永磁體和外殼間的間隙內(nèi)磁性液體的受力Fig.4 Forces exerted on the ferrofluid between the shell and magnet

即磁性液體內(nèi)的壓力不隨坐標(biāo)r變化,當(dāng)假設(shè)磁性液體對(duì)永磁體兩端面上某一點(diǎn)的壓力分別為p1和p2時(shí),這時(shí)磁性液體對(duì)永磁體兩端面上所有點(diǎn)的壓力也為p1和p2,而且與永磁體兩端面處于同一x位置的磁性液體內(nèi)部的壓力也為p1和p2。

磁性液體可以看作是牛頓流體[16],其內(nèi)部的剪切應(yīng)力可以表示為

由于在間隙內(nèi)磁性液體進(jìn)行一維的準(zhǔn)定常流動(dòng),所以vf不隨坐標(biāo) x變化,由式 (9)知f也不隨坐標(biāo)x變化,所以間隙內(nèi)處于同一r位置上的磁性液體層受到相同的剪切應(yīng)力,故將永磁體外圓柱表面上受到磁性液體的剪切應(yīng)力統(tǒng)一表示為f a。

對(duì)圓柱形永磁體在 x方向上應(yīng)用牛頓第二定律,有

式中 Sm=πr2a,Sa=2πra lm。假設(shè)永磁體相對(duì)于外殼的加速度與外殼自身的加速度相比可以忽略,即,則式 (10)成為

為了確定式(11)中等號(hào)右端各項(xiàng)的值,需要求得外殼和永磁體間間隙內(nèi)磁性液體在外殼隨被減振件一起振動(dòng)時(shí)的流速分布。以該間隙內(nèi)半徑為r,厚度為d r且與永磁體具有相同長(zhǎng)度的磁性液體層為研究對(duì)象,如圖4所示。令層與永磁體外表面間的徑向距離為ya,它是一個(gè)變量。結(jié)合上面的分析,假設(shè)磁性液體層內(nèi)外側(cè)的磁性液體對(duì)層的切應(yīng)力分別為f1和f2,層左右兩端的磁性液體對(duì)層的壓應(yīng)力分別為 p1和p2。

對(duì)磁性液體層應(yīng)用牛頓第二定律,有

其中液體層外側(cè)的切應(yīng)力產(chǎn)生的力可用內(nèi)側(cè)的切應(yīng)力根據(jù)該力沿r方向的變化率求得,即

將式(9)和(13)代入式(12),并認(rèn)為磁性液體相對(duì)于外殼的加速度可以忽略,經(jīng)化簡(jiǎn),有另外,對(duì)于外殼和永磁體間隙內(nèi)磁性液體的流動(dòng),有邊界條件

求解方程(14),并由邊界條件最終可得

其中

根據(jù)式(16),可計(jì)算得外殼和永磁體間的間隙內(nèi)磁性液體的流量為

作用于永磁體圓柱表面上的切應(yīng)力為

由外殼內(nèi)所有的磁性液體的質(zhì)量守恒,可得

將 Sm和式(18)代入式(20),化簡(jiǎn)得

將式(21)的結(jié)果分別代入式(19)和(17),得

將式 (22)和(23)代入式 (11),可得

式中 a=6R3-9R2ga+10Rga2-3ga3

將式 (21)代入式 (16),得

綜合式(24)和 (25),并由式(1)將梁上 y位置點(diǎn)的振動(dòng)加速度代入,得到梁在振動(dòng)時(shí)減振器內(nèi)磁性液體的流速如下

由于不可壓縮流體中單位時(shí)間的能量耗散可以表示為[17]

其中vi和vk分別為流體運(yùn)動(dòng)速度在坐標(biāo)xi和xk上的分量,V為流體的體積。而本文中只考慮永磁體和外殼間隙內(nèi)磁性液體的流動(dòng),所以耗能也只發(fā)生在這些流動(dòng)中,且忽略磁場(chǎng)對(duì)磁性液體粘度的影響,這樣其能量耗散可以簡(jiǎn)化為

將式 (26)代入上式,并根據(jù) d V=2πl(wèi)m(ra+ ya)d ya,可得

其中

則在梁的振動(dòng)周期 T內(nèi)磁性液體的粘性耗能為

2.3 懸臂梁振動(dòng)對(duì)數(shù)衰減率的計(jì)算

應(yīng)用式(7),(4)和(30),可得到安裝有磁性液體阻尼減振器的彈性懸臂梁振動(dòng)的對(duì)數(shù)衰減率的表達(dá)式

其中Y和x0(y)分別由式(29)和 (2)給出。

3 實(shí) 驗(yàn)

在如圖5(圖6為其對(duì)應(yīng)的實(shí)物圖)所示的裝置上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。彈性懸臂梁選用黃銅板,尺寸為1 200mm× 50mm× 5mm,重 2.55 kg。 其一端固定,另一端安裝磁性液體阻尼減振器,梁自由振動(dòng)的頻率k=1.74 Hz,實(shí)驗(yàn)時(shí)的初始振幅為15mm。固定在梁自由端的半導(dǎo)體加速度傳感器可得到與振動(dòng)加速度成定量關(guān)系的電壓信號(hào),該信號(hào)經(jīng)數(shù)據(jù)采集器(DI-710)讀入并經(jīng)模數(shù)轉(zhuǎn)換后輸入到與之相連的計(jì)算機(jī),數(shù)據(jù)采集器的采樣頻率為200 Hz。進(jìn)入到計(jì)算機(jī)的信號(hào)首先轉(zhuǎn)化為加速度數(shù)據(jù),再由加速度數(shù)據(jù)得到梁振動(dòng)的速度和位移數(shù)據(jù)。

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.5 Schemeo f the experimental devices

圖6 實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖Fig.6 Graph of the experimental devices

為了驗(yàn)證所得理論的正確性,分別驗(yàn)證永磁體半徑ra,永磁體和外殼間的間隙ga,以及不同飽和磁化強(qiáng)度磁性液體對(duì)懸臂梁振動(dòng)對(duì)數(shù)衰減率的影響。阻尼減振器的結(jié)構(gòu)參數(shù)和磁性液體的物理參數(shù)在表1中給出。其中永磁體的材料均為Nd-Fe-B,長(zhǎng)度都為12mm,所用磁性液體的基載液均為煤油,其中分散的均為 Fe3 O4磁性顆粒。組裝完成的減振器最重19.93 g。

表1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)Tab.1 Experimental param eters

在以上條件下,一種振動(dòng)的位移圖像如圖7所示。

圖7 懸臂梁自由端的振幅變化曲線Fig.7 Diagrams of the plate oscillations with and without the damper

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

圖8中給出梁振動(dòng)的對(duì)數(shù)衰減率Λ隨永磁體半徑ra變化的理論曲線和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比。從圖中可以看出,當(dāng)永磁體半徑較小時(shí),實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)測(cè)的一致性很好,而當(dāng)永磁體半徑較大時(shí),一致性較差,而且理論曲線與實(shí)驗(yàn)值的偏差隨著永磁體半徑的增大而增大。這是因?yàn)楫?dāng)永磁體半徑較大時(shí),永磁體磁場(chǎng)對(duì)磁性液體的吸引力也較大,這種吸引力使得在包圍永磁體周圍形成超出永磁體尺寸較多的啞鈴狀磁性液體包覆層,如圖9所示,這將阻礙外殼和永磁體間間隙內(nèi)磁性液體的流動(dòng),而理論上這種影響在假設(shè)中忽略。圖8還可以說明當(dāng)永磁體半徑較小時(shí),梁振動(dòng)的對(duì)數(shù)衰減率隨著永磁體半徑的增大而增大。

圖8 梁振動(dòng)對(duì)數(shù)衰減率隨永磁體半徑的變化Fig.8 Dependence of the logarithmic decay rate on theradius of themagnet

圖9 吸引磁性液體后的永磁體Fig.9 The ferrofluid structure around themagnet

圖10中給出梁振動(dòng)的對(duì)數(shù)衰減率Λ隨永磁體和外殼間的間隙 ga變化的理論曲線和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比?？梢钥闯?理論曲線與實(shí)驗(yàn)值的一致性在間隙較小時(shí)較好,較大時(shí)則較差。這是因?yàn)樵谕茖?dǎo)理論是曾做出間隙與永磁體尺寸相比較小的假設(shè),而在圖中4個(gè)間隙較大的實(shí)驗(yàn)值中,間隙值已超過永磁體直徑,理論中所假設(shè)的“薄層模型”已經(jīng)不適用。從圖10中還可以看出,在其他條件相同時(shí),有一最佳的間隙值使得梁振動(dòng)的對(duì)數(shù)衰減率達(dá)到最大。

將表1中的不同磁性液體按照飽和磁化強(qiáng)度從小到大編號(hào)為 1～5,在表2中給出使用這幾種磁性液體時(shí)梁振動(dòng)的對(duì)數(shù)衰減率理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比。從表中發(fā)現(xiàn),使用1號(hào)磁性液體時(shí)理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差別比其他磁性液體大。受重力的影響,減振器內(nèi)永磁體會(huì)或多或少偏離外殼的軸線位置,而 1號(hào)磁性液體的飽和磁化強(qiáng)度最小,永磁體在外殼內(nèi)處于同一位置時(shí)受到磁性液體的懸浮力也最小,所以偏離中心位置的距離就最大,而理論則是基于永磁體在磁性液體內(nèi)居中的假設(shè)。

圖10 梁振動(dòng)對(duì)數(shù)衰減率隨永磁體和外殼間間隙的變化Fig.10 Dependence of the logarithm ic decay rate on the wid th of the gap in the radial direction

表2 不同磁性液體時(shí)的對(duì)數(shù)衰減率Tab.2 The logarithm ic decay ratewhen dif ferent ferrof luid are used

5 結(jié) 論

(1)提出了一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的磁性液體阻尼減振器,建立了這種減振器的動(dòng)力學(xué)模型,并結(jié)合彈性懸臂梁的振動(dòng)能量,得到減振器施加于彈性懸臂梁后梁振動(dòng)的對(duì)數(shù)衰減率。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明,在所假設(shè)的條件下,理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一致性較好。

(2)其他條件相同時(shí),當(dāng)永磁體半徑較小時(shí),磁性液體阻尼減振器的阻尼效果隨著永磁體半徑的增大而增大;減振器外殼與永磁體間有一最佳間隙,使得梁振動(dòng)的對(duì)數(shù)衰減率達(dá)到最大。

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