基于Monte Carlo方法的戰(zhàn)斗部部件質(zhì)心偏移量仿真分析

葛任偉 歐陽勇 李 佳

中國工程物理研究院，綿陽，621900

0 引言

由于加工、裝配、材料特性等不確定性因素的存在，導彈的實際質(zhì)心位置往往偏離理論期望值而產(chǎn)生質(zhì)心偏移。對于高速運動中的導彈，當其質(zhì)心偏移量超差時，容易造成導彈偏離軌道而影響控制精度，甚至造成墜毀［1］。隨著導彈技術的進一步發(fā)展，遠程化、高命中率已成為導彈的發(fā)展方向之一，而隨著飛行速度的增快，其在飛行過程中受到質(zhì)心偏移因素的影響也越來越大。

通常，在導彈完成裝配后，可以通過測量裝置獲得質(zhì)心位置的實測值，如質(zhì)心偏移超差，可通過質(zhì)量配平的方式進行調(diào)整，使其滿足要求。然而，這種方式屬于后驗方法，雖可以使產(chǎn)品滿足要求，在一定程度上卻是以犧牲其他性能為代價，如增加配平質(zhì)量等。若能在早期設計階段，及時掌握質(zhì)心偏移的情況，通過理論計算對相關因素進行分析，并采取一定的措施控制質(zhì)心偏移的范圍，不僅可以提高產(chǎn)品的質(zhì)量，而且還能大大縮減后期進行質(zhì)量配平的工作流程及時間。本文以某導彈戰(zhàn)斗部部件為例，探討在設計階段由于給定的尺寸誤差引起的導彈質(zhì)心偏移量大小的計算方法。

1 質(zhì)心偏移量計算

1.1 質(zhì)心偏移產(chǎn)生的原因

考慮加工、安裝等因素，導彈零部件的設計尺寸通常帶有一定的公差；加工時，零部件的實際尺寸誤差具有一定的隨機性；裝配過程中，誤差會按尺寸鏈的方向傳遞，使質(zhì)心偏離預期位置，多個組件疊加的效果使導彈產(chǎn)生質(zhì)心偏移。下面以某導彈戰(zhàn)斗部部件為例，分析質(zhì)心偏移產(chǎn)生的原因。

某戰(zhàn)斗部部件由安裝板與其上布置的組件M1，M2，…，Mn組成，每個組件均通過螺釘與安裝板連接，如圖1所示。圖中oz方向為彈頭飛行方向，ox、oy分別為安裝板的舵面線方向，o為坐標原點，位于安裝板的圓心。令部件ox方向的質(zhì)心位置函數(shù)為fx（X），部件質(zhì)心期望位置為安裝板中心，即坐標原點，則fx（X）與組件質(zhì)量、位置參數(shù)之間的函數(shù)關系為

式中，X、fx（X）、mi、xi分別為組件在ox 方向上的位移量、質(zhì)心位置函數(shù)、組件質(zhì)量和組件質(zhì)心距坐標原點的距離。

圖1 模型示意圖

設計期望fx（X）＝0，但由于尺寸偏差、質(zhì)量誤差存在的必然性，使得質(zhì)心偏離預期位置，即fx（X）≠0，組件產(chǎn)生質(zhì)心偏移，其數(shù)值大小為質(zhì)心偏移量。為了減小質(zhì)心偏移對導彈飛行性能的影響，一般要求fx（X）小于某一給定值。同時由式（1）可以看出，影響質(zhì)心偏移的因素為各組件的質(zhì)量及其距組件理論質(zhì)心的距離，組件的質(zhì)量通常不會隨裝配等因素而改變，因此，影響組件質(zhì)心偏移量的因素為組件質(zhì)心的位移。

在實際工程應用中，x、y方向均會出現(xiàn)誤差，此時的質(zhì)心偏移量計算公式為

式中，fx，y（X，Y）、fy（Y）分別為組件在xoy 平面的質(zhì)心位置函數(shù)及組件在oy方向的質(zhì)心位置函數(shù)。

1.2 組件裝配尺寸鏈分析

圖2所示為裝配尺寸鏈示意圖，以其中的第i個組件為例，分析裝配尺寸鏈中尺寸誤差對組件質(zhì)心偏移量的影響，裝配完成后的組件質(zhì)心在ox方向的尺寸鏈為［2-4］

式中，xi0為 尺 寸 鏈 封 閉 環(huán)；x1、x2、x3、x4為 尺 寸 鏈 組 成環(huán)；D為組件安裝孔直徑；d為螺釘直徑。

圖2 裝配尺寸鏈示意圖

x1、x2、x3、x4通常會給定設計誤差，xi0也不可避免地存在誤差，其大小由式（3）決定。同樣，可以分析得出oy方向的尺寸鏈及其誤差。

通常采用極值法與Monte Carlo方法計算質(zhì)心偏移量。

1.3 基于極值法的質(zhì)心偏移量計算方法

極值法也叫最差情況法，分析的重點是質(zhì)心偏移量范圍的變化，是組件質(zhì)心位置的最大變動或最小變動范圍的綜合結(jié)果，僅考慮尺寸誤差最壞時的極端情況。極值法計算質(zhì)心偏移量大小的公式為

同理

然后通過式（2）計算得到組件質(zhì)心偏移量。

1.4 基于Monte Carlo方法的質(zhì)心偏移量計算方法

Monte Carlo方法通過隨機模擬和統(tǒng)計試驗來求解數(shù)學、物理和工程技術問題的近似解，是一種根據(jù)各個單獨變量的分布形式來求解具有多個變量函數(shù)分布的方法［5－6］。該方法從所有變量的分布形式中取樣，并把由此得到的各值代入到有關函數(shù)中，求得一個函數(shù)值，將這一過程重復相當多的次數(shù)，便得到若干個函數(shù)值，然后估計出這些變量函數(shù)值的分布和參數(shù)。用Monte Carlo方法模擬進行質(zhì)心偏差分析包括以下內(nèi)容：

（1）確定變量概率密度函數(shù)。由于尺寸誤差、裝配位置的隨機性，導致組件質(zhì)心位置具有隨機性，其位置誤差通常服從一定的概率分布。由式（3）可知，每個組件質(zhì)心位置是其裝配尺寸鏈組成環(huán)的函數(shù)，組成環(huán)的概率分布形式，決定了組件質(zhì)心位置的分布情況。

（2）產(chǎn)生隨機數(shù)、抽樣。為了模擬各組成環(huán)尺寸，模擬產(chǎn)生大量的服從（0，1）上均勻分布的隨機數(shù)，根據(jù)各組成環(huán)尺寸誤差的概率分布形式及其相關性，將產(chǎn)生的服從（0，1）上均勻分布的隨機數(shù)抽樣轉(zhuǎn)換為滿足分布形式的隨機數(shù)。為了便于討論，本文假設組成環(huán)參數(shù)之間相互獨立，且概率密度函數(shù)服從正態(tài)分布，以獲得一組等價于尺寸及公差實際值的隨機數(shù)。

（3）確定質(zhì)心偏移函數(shù)。安裝板上組件的質(zhì)心位置封閉環(huán)之間為相互獨立的隨機變量，導彈戰(zhàn)斗部部件質(zhì)心位置可看作是這些隨機變量的多維隨機函數(shù)：

（4）統(tǒng)計模擬結(jié)果。通過質(zhì)心偏移函數(shù)就可獲得大量的 Δfx、Δfy和 Δfx，y，對其進行統(tǒng)計分析得到均值、方差等統(tǒng)計量［7－8］，然后對結(jié)果進行評判分析。

2 計算示例

現(xiàn)以圖1為例，對采用極值法與Monte Carlo方法獲得的質(zhì)心偏移量進行對比分析，假設設計時要求的導彈戰(zhàn)斗部部件質(zhì)心偏移量不大0.45mm，其給定的組件在ox、oy方向上的尺寸、誤差及分布參數(shù)相同，如表1所示。

表1 計算參數(shù)

將表1中的參數(shù)代入式（4），得到組件在ox、oy方向上的質(zhì)心偏移量范圍均為（－0.4116，0.4116）mm。組件在xoy平面的質(zhì)心偏移量范圍為（0，0.58）mm，超出了設定值，需進一步縮小各個尺寸的誤差，以滿足設計指標，這將增加產(chǎn)品的加工難度及成本。

借助MATLAB軟件的計算功能，按照1.4節(jié)中的分析內(nèi)容，根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，產(chǎn)生正態(tài)分布的隨機數(shù)，即各組成環(huán)的模擬數(shù)據(jù)樣本，將其代入質(zhì)心位置函數(shù)，得到質(zhì)心偏移的模擬數(shù)據(jù)樣本。當抽樣次數(shù)n′為1×104、1×106和4×106時，利用式（5）計算組件在ox、oy方向上的質(zhì)心位置以及組件的質(zhì)心偏移量，得到Δfx、Δfy的均值、標準差以及Δfx，y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。由于組件在ox、oy方向上采用了相同的尺寸、誤差及分布參數(shù)，故計算所獲得的Δfx與Δfy的均值、標準差相同，數(shù)據(jù)如表2所示。圖3a～圖3c所示為Δfx、Δfy的數(shù)據(jù)樣本統(tǒng)計圖；圖3d～ 圖3f所示為Δfx，y的數(shù)據(jù)樣本統(tǒng)計圖。

表2 抽樣計算結(jié)果

圖3 模擬樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果

由表2與圖3a～圖3c可知，部件質(zhì)心位置在ox、oy 方向上以99.73% 的概率位于（－0.308，0.308）mm 之 間，以 99.9937% 的 概 率 位 于（－0.412，0.412）mm 之間，在ox、oy 方向上的質(zhì)心偏移量大于0.45mm的幾率非常小。由圖3d～圖3f可知，組件在xoy平面質(zhì)心偏移量的分布形式與正態(tài)分布函數(shù)大于零時的情況相近，這是由于尺寸誤差基于正態(tài)分布假設，質(zhì)心偏移量在計算時只取正值的結(jié)果。進一步計算可以得到Δfx，y小于0.45mm 的概率為99.79%，大于極值法計算結(jié)果0.58mm的概率為0.0065%。可見采用極值法計算得到的結(jié)果近于小概率事件，而采用Monte Carlo方法更符合實際情況。因此，可先在設計階段根據(jù)給定的尺寸誤差預估質(zhì)心偏移量的大小，再根據(jù)計算結(jié)果合理地調(diào)整設計公差，達到有效降低產(chǎn)品加工難度的目的。

3 結(jié)語

本文基于Monte Carlo方法，以某導彈戰(zhàn)斗部部件分析了尺寸誤差對其質(zhì)心偏移的影響，對比分析了采用極值法與Monte Carlo方法計算質(zhì)心偏差的結(jié)果。極值法計算的所有尺寸偏差的最大值通常反映的是質(zhì)心偏移量的范圍，近于小概率事件，故難以客觀地反映實際的情況。Monte Carlo方法因其是基于大多數(shù)機械化零件在公差范圍內(nèi)呈正態(tài)概率分布的事實進行計算，所以其計算結(jié)果通常更加符合實際的工程情況。本文分析表明，若在設計的初期，根據(jù)設計分配的尺寸誤差，利用Monte Carlo方法進行計算，則可以有效地掌握產(chǎn)品質(zhì)心偏移量的大小，為合理分配公差提供指導。

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