基于α截集法的生土窯居模糊隨機(jī)可靠度分析

郭平功，童麗萍

(1.鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 鄭州450001;2.河南城建學(xué)院土木工程系，河南平頂山467036)

0 引言

生土窯居是在原始黃土中挖鑿而形成的穴居居住形式，由挖鑿成型的純原狀土拱作為窯居的自支撐結(jié)構(gòu)，沒有棟梁支撐，也沒有其它支護(hù).但卻能夠久而不衰、屹立百年甚至數(shù)百年而不坍塌.即使在地震多發(fā)區(qū)(中國在役窯居大多分布于地震多發(fā)地帶，45%的窯居區(qū)地震烈度在7度以上)，建造年代百年以上的窯洞也很普遍，充分說明了生土窯居較高的可靠性.只有從可靠度角度對生土窯居進(jìn)行研究，才能揭示其可靠性較高的原因.

目前還沒有關(guān)于生土窯居可靠度研究的文獻(xiàn).影響其可靠度的主要因素為土體的強(qiáng)度.土體力學(xué)性能參數(shù)主要的獲取方法是試驗，由于土體本身在空間上呈現(xiàn)很大的變異性，以及取樣的擾動、試驗方法的差異，使試驗結(jié)果具有不確定性，主要是隨機(jī)性和模糊性［1-2］.由于土體力學(xué)參數(shù)的隨機(jī)性和模糊性，導(dǎo)致生土窯居的可靠度具有隨機(jī)性和模糊性.

目前，考慮模糊不定性的研究方法仍處于探索階段，α截集法、凸集法、模糊集法、主觀概率法、混沌理論法等都被用來進(jìn)行模糊分析［3］.由于α截集法能同時考慮模糊性和隨機(jī)性［4］，筆者擬基于α截集法進(jìn)行生土窯居的模糊隨機(jī)可靠度分析.

通過α截集法，將土體模糊的力學(xué)參數(shù)轉(zhuǎn)化為分布在一定區(qū)間上的離散數(shù)，結(jié)合強(qiáng)度折減有限元法，構(gòu)建生土窯居的功能函數(shù)，進(jìn)而求得模糊隨機(jī)可靠度，探索土體力學(xué)參數(shù)的模糊性對生土窯居可靠度的影響.

1 基于α截集法的土體模糊參數(shù)［5］

設(shè)生土窯居土體模糊參數(shù)的均值為對稱三角形模糊數(shù)［xB，xN，xT］(圖1)，取某一α 截集(0≤α≤1)，則其離散結(jié)果為區(qū)間數(shù)圖中，xN為模糊數(shù)的均值分別為 α 截集上的模糊數(shù)的左右兩個端點值，α =0 時的可簡記為xB，xT.對于對稱三角形模糊數(shù)，在α截集上有如下關(guān)系式:

式中:σ為參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，反映參數(shù)隨機(jī)性的大小;f為模糊程度系數(shù)，反映參數(shù)模糊性的大小.依據(jù)專家知識及工程經(jīng)驗，f∈［0.5，1.5］［6］.

圖1 三角型模糊數(shù)及其隸屬度Fig.1 Triangular fuzzy number and its membership degree

根據(jù)河南三門峽陜縣生土窯居所在的黃土土層分布，結(jié)合中國市政工程西北設(shè)計研究院有限公司進(jìn)行的土工試驗，取陜塬(歷史上對陜縣黃土塬的簡稱)的黃土力學(xué)參數(shù)平均值如表1所示.

表1 黃土力學(xué)參數(shù)平均值Tab.1 Average mechanical parameters of loess

參照文獻(xiàn)中有關(guān)土工參數(shù)的變異系數(shù)δ的資料［7］，除容重的變異系數(shù)較小，約為0.03，其它參數(shù)的變異系數(shù)δ的取值范圍為δ∈［0.1，0.3］，可將參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差記為σ=δ·xN，式(1)可寫為:

以黏聚力X1、內(nèi)摩擦角X2兩個不相關(guān)的正態(tài)模糊隨機(jī)變量為例，模糊數(shù)的均值分別為51.8 kPa、28.1°，二者采用相同的變異系數(shù) δ，則在α截集上，X1的端點值分別為的端點值分別為28.1(1+(1- α)fδ).所以 α 截集上模糊隨機(jī)變量(X1，X2)的兩種極值組合為在兩種組合下進(jìn)行隨機(jī)可靠度分析，可求得α截集上可靠指標(biāo)的極小值和極大值，亦可求得對應(yīng)的設(shè)計驗算點可見通過α截集法這一橋梁，模糊隨機(jī)可靠度問題轉(zhuǎn)化為了隨機(jī)可靠度問題.

2 生土窯居響應(yīng)面函數(shù)的構(gòu)建

筆者采用響應(yīng)面函數(shù)代表生土窯居的功能函數(shù)，輸入為土體的力學(xué)性能參數(shù)，“響應(yīng)”采用“富裕安全系數(shù)”，由生土窯居的有限元模型計算求得.

2.1 有限元分析模型

由文獻(xiàn)可知［8］，生土窯居可按平面應(yīng)變問題研究.選取三聯(lián)孔模型，每孔窯室的尺寸相同，中間主窯兩側(cè)的窯腿寬度相同.根據(jù)在河南三門峽陜縣的調(diào)研，窯居的幾何參數(shù)取平均值，如圖2、表2所示.為減少計算量，取對稱的一半模型進(jìn)行有限元建模如圖3所示，根據(jù)圣維南原理，有限元分析模型的總尺寸取窯室尺寸的5倍以上.由于模型較大，圖3中截取的是有窯洞的部分.圖3(a)中窯洞未開挖，施加了重力荷載并平衡了初始地應(yīng)力.

圖2 生土窯居各部位示意圖Fig.2 Sketch map of earth-sheltered dwelling

表2 生土窯居幾何參數(shù)Tab.2 Geometry parameters of earth-sheltered dwellings

圖3 有限元分析模型Fig.3 Model of Finite Element Analysis

生土窯居的營造不同于一般建筑，它不是加荷，而是經(jīng)歷了卸荷——加荷的過程.窯室的開挖使初始的自重應(yīng)力場發(fā)生了應(yīng)力重分布，并且各窯室的開挖不是同時完成的，有的經(jīng)歷數(shù)年，窯室開挖完成后(如圖3(b)所示)，施加地面均布荷載4 kN/m2×1.4=5.6 kN/m2，其中1.4為可變荷載分項系數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)值取4 kN/m2是考慮到地面經(jīng)常有車輛行駛或停留，參考《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》GB 50009—2001中關(guān)于樓面作為汽車通道及停車庫的荷載取值.

靠近窯室的部分網(wǎng)格劃分的較密，離得越遠(yuǎn)網(wǎng)格劃分越粗.模型右側(cè)為對稱約束，底部固定豎向約束，左側(cè)固定水平約束.

每輪有限元分析的輸入?yún)?shù)為土體的力學(xué)材料參數(shù).首先全部力學(xué)參數(shù)均作為隨機(jī)變量輸入，可求得各隨機(jī)變量的靈敏度系數(shù)，從中選擇靈敏度系數(shù)較大的隨機(jī)變量，作為模糊隨機(jī)變量，再進(jìn)行生土窯居的模糊隨機(jī)可靠度分析.

2.2 基于強(qiáng)度折減法的富裕安全系數(shù)

采用“富裕安全系數(shù)”(以F'表示)作為響應(yīng)面函數(shù)的“響應(yīng)”，即代表功能函數(shù)在不同隨機(jī)變量組合情況下的值，規(guī)定F'與安全系數(shù)(F)的關(guān)系式為:［9］

采用強(qiáng)度折減法確定結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)，其原理如式(4)所示.式中:w為強(qiáng)度折減系數(shù);c、φ和c'、φ'分別為折減前后的黏聚力和內(nèi)摩擦角;結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)時的折減系數(shù)即為安全系數(shù)F.極限狀態(tài)的判定以特征點的位移發(fā)生突變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn).

對于圖3的有限元模型，選取主窯拱圈的中點A作為特征點，當(dāng)土體的力學(xué)參數(shù)均取表1所示的平均值時，特征點豎向位移與w的關(guān)系如圖4所示.圖中位移以向上為正.

圖4 特征點豎向位移與強(qiáng)度折減系數(shù)關(guān)系圖Fig.4 Relation between vrtical dsplacement of caracteristic pint and srength reduction fctor

由圖4可知，折減系數(shù)由1.58增大為1.59時，向下位移由48 mm增大為98 mm，發(fā)生突變，說明w為1.58時窯居處于極限狀態(tài)，安全系數(shù)F為 1.58，F(xiàn)'為 0.48.

2.3 響應(yīng)面函數(shù)

本文的響應(yīng)面函數(shù)采用不含交叉項的二次多項式.當(dāng)只有黏聚力、內(nèi)摩擦角兩個模糊隨機(jī)變量時，其形式如式(5)所示.

式中:a、b1、b2、c1、c2為待定系數(shù).求解響應(yīng)面函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求(5)式中的待定系數(shù)，需首先確定一系列試驗點，并按上文2.1和2.2節(jié)所述建立有限元模型，求得富裕安全系數(shù)F'，即求得與試驗點對應(yīng)的功能函數(shù)值.本文的試驗點采用坐標(biāo)軸上的點的中心進(jìn)行復(fù)合設(shè)計.

每輪有限元計算，響應(yīng)面函數(shù)的獲取按如下步驟進(jìn)行:①按照各試驗點的數(shù)據(jù)進(jìn)行有限元建模計算，求得對應(yīng)的F';②解線性方程組，獲取待定系數(shù) a、b1、b2、c1、c2，即求得該輪有限元計算的響應(yīng)面函數(shù).

每輪得到響應(yīng)面函數(shù)后，即可按照改進(jìn)的一次二階矩法求得可靠指標(biāo)與驗算點，當(dāng)前后兩輪所得驗算點的模滿足(6)式時，迭代終止.

3 生土窯居的模糊隨機(jī)可靠度

3.1 土體參數(shù)中關(guān)鍵的模糊隨機(jī)變量

土體的力學(xué)參數(shù)如表1所示共有5個，如果都作為模糊隨機(jī)變量，計算代價較高，可進(jìn)行常規(guī)隨機(jī)可靠度分析，求得各參數(shù)的靈敏度系數(shù)，以靈敏度系數(shù)大者作為模糊隨機(jī)變量.

各參數(shù)的均值取表1數(shù)據(jù)，容重的變異系數(shù)取為0.03，其它參數(shù)的變異系數(shù)取為0.3［7］，基于強(qiáng)度折減法建立響應(yīng)面函數(shù)，進(jìn)而求得可靠指標(biāo)與靈敏度系數(shù)，各參數(shù)的靈敏度系數(shù)如表3所示.

表3 各參數(shù)的靈敏度系數(shù)Tab.3 Sensitivity coefficient of parameters

由表3可以看出，黏聚力和內(nèi)摩擦角的靈敏度系數(shù)絕對值遠(yuǎn)大于其它參數(shù)，二者可作為模糊隨機(jī)變量，進(jìn)行生土窯居的模糊隨機(jī)可靠度分析.其中靈敏度系數(shù)是負(fù)數(shù)的為抗力項，正數(shù)的為荷載項.

3.2 生土窯居的模糊隨機(jī)可靠度

模糊隨機(jī)變量表示為(X1，X2)，其模糊均值為表1所示的黏聚力和內(nèi)摩擦角的取值，在不同的模糊系數(shù)f、變異系數(shù)δ情形下，可得(X1，X2)的兩種極值組合為，二者均對應(yīng)式(4)中未折減、初始的(c，φ)，基于強(qiáng)度折減法建立響應(yīng)面函數(shù)，可求得α截集上可靠指標(biāo)的極小值和極大值，亦可求得對應(yīng)的設(shè)計驗算點當(dāng)f、δ在其常見范圍內(nèi)變化，即取 f∈［0.5，1.5］，δ∈［0.1，0.3］時，模糊可靠度的計算結(jié)果如圖5～6所示.

由圖5、圖6可知，模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)不是一定值，而是分布在一個三角形的區(qū)域，這是因為在α截集上，模糊隨機(jī)參數(shù)是呈三角形分布的;當(dāng)隸屬度為1時，模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)退化為隨機(jī)可靠指標(biāo)，成為一定值;在隸屬度小于1時，模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)在一閉區(qū)間上分布，且隸屬度越小，該閉區(qū)間的跨度越大，但閉區(qū)間的中點均為隸屬度為1時的模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)，這是因為模糊數(shù)是呈對稱三角形分布的.

由圖5可知，當(dāng)δ由0.1增大為0.2時，模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)的中值(即隸屬度為1時的值)由3.86減小到1.93，相應(yīng)的失效概率由5.67e-5增大為2.68e-2，即失效概率增大了約470倍，說明土體黏聚力和內(nèi)摩擦角變異系數(shù)的增大，將導(dǎo)致生土窯居可靠度的急劇降低;δ為0.3時，生土窯居最小的失效概率約為1/250，是很大的.

由圖6可知，模糊程度系數(shù)f的變化，不影響模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)的中值;隨著模糊程度系數(shù)f的減小，可靠指標(biāo)分布的閉區(qū)間跨度越來越小，并且可得出推論，當(dāng)f=0時，即模糊程度為0時，模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)退化為隨機(jī)可靠指標(biāo);當(dāng)f=0.5、δ=0.1時，模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)的最小值為3.20，生土窯居仍是可靠的，與模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)三角形分布對應(yīng)的土體黏聚力取值范圍是［49.21 kPa，54.39 kPa］，內(nèi)摩擦角的取值范圍是［26.70°，29.51°］.

3.3 原始正態(tài)隨機(jī)空間中的模糊驗算點

原始正態(tài)隨機(jī)空間是指正態(tài)隨機(jī)變量未經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化處理的空間.計算表明，無論f、δ及α如何取值，生土窯居的模糊驗算點均為(33.73±1.24 kPa，23.47 ±0.9°)，驗算點的粘聚力和內(nèi)摩擦角僅在很小的范圍內(nèi)浮動，在驗算點的平均值處(33.73 kPa，23.47°)，F(xiàn)'為 0，說明驗算點是準(zhǔn)確的，出現(xiàn)上下微小浮動是和(6)式的迭代收斂準(zhǔn)則對應(yīng)的，該精度已滿足工程要求.

在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)空間中，不同的f、δ及α取值，驗算點的坐標(biāo)差異很大，而回歸到原始正態(tài)隨機(jī)空間中，其坐標(biāo)均非常接近(33.73 kPa，23.47°)，可見在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)空間中呈現(xiàn)出的驗算點，更顯示出“模糊”的特點，而事實與此相反，在生土窯居的幾何參數(shù)等為定值的條件下，只考慮土體黏聚力和內(nèi)摩擦角的模糊隨機(jī)性，模糊驗算點為一定值.

模糊驗算點為定值與事實相符，生土窯居在什么樣的土體材料參數(shù)下處于承載能力極限狀態(tài)，不與所采用的土體模糊隨機(jī)參數(shù)相關(guān).

而模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)之所以在一定區(qū)間上分布，呈現(xiàn)出“模糊”的特點，是因為驗算點在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)空間中的坐標(biāo)與土體模糊隨機(jī)參數(shù)相關(guān)，而可靠指標(biāo)為驗算點在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)空間中到原點的距離.

3.4 黏聚力和內(nèi)摩擦角的靈敏度系數(shù)

計算表明，無論f、δ及α如何取值，如果保留到小數(shù)點后一位數(shù)字，黏聚力和內(nèi)摩擦角的靈敏度系數(shù)分別為-0.9和-0.4，二者均為抗力項，即隨著兩個參數(shù)的減小，生土窯居將接近承載能力極限狀態(tài)，并且和3.1節(jié)的結(jié)果一致，可見模糊隨機(jī)可靠度分析并不改變二者對可靠指標(biāo)的影響程度.

同時說明，黏聚力對可靠指標(biāo)的影響程度更大.在陜塬，經(jīng)?？梢娊踔绷⒌狞S土峭壁，充分說明該種黃土材料的粘聚力較大，適宜建造生土窯居.

4 結(jié)論

通過α截集法，將黃土的力學(xué)參數(shù)的模糊分布離散在區(qū)間上，把模糊隨機(jī)可靠度問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)可靠度問題，經(jīng)過多輪有限元分析，結(jié)合強(qiáng)度折減法，構(gòu)造生土窯居的響應(yīng)面函數(shù)，求得模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)與驗算點，所得結(jié)論如下:

(1)α截集法是將模糊隨機(jī)可靠度問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)可靠度問題的橋梁，且其參數(shù)中包含模糊系數(shù)f、變異系數(shù)δ，即能同時考慮模糊性和隨機(jī)性的影響，用來描述黃土力學(xué)參數(shù)的模糊分布是合適的.

(2)基于強(qiáng)度折減法的富裕安全系數(shù)，從整體上描述了生土窯居的安全性，可認(rèn)為生土窯居是一構(gòu)件，避免了把生土窯居這一復(fù)雜系統(tǒng)劃分為串聯(lián)、并聯(lián)構(gòu)件的問題，使求其模糊隨機(jī)可靠度這一問題變?yōu)榭赡?

(3)河南三門峽陜縣的生土窯居在營造過程中，十分注意選址，黃土材料力學(xué)參數(shù)的模糊性和變異性均較小，生土窯居的可靠性較高、選址合理.

(4)模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)不是一定值，而是分布在某個區(qū)間，即生土窯居的失效概率在一定的范圍，更符合真實的情況.

(5)土體材料參數(shù)變異系數(shù)的增大，將導(dǎo)致可靠指標(biāo)的迅速減小;模糊系數(shù)的增大，將導(dǎo)致模糊可靠指標(biāo)分布范圍變大.

(6)在生土窯居的幾何參數(shù)和荷載條件為定值的情況下，關(guān)于土體參數(shù)的驗算點為定值(33.73kPa，23.47°)，不呈現(xiàn)“模糊性”.

(7)黏聚力比內(nèi)摩擦角對可靠指標(biāo)的影響更大，在生土窯居營造時，選址應(yīng)選擇黏聚力大的黃土區(qū)域.

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