復(fù)合材料懸臂外伸板的非線性動(dòng)力學(xué)建模及數(shù)值研究*

呂書鋒 張偉

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124）

復(fù)合材料懸臂外伸板的非線性動(dòng)力學(xué)建模及數(shù)值研究*

呂書鋒 張偉?

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124）

研究了橫向氣動(dòng)載荷和參數(shù)激勵(lì)聯(lián)合作用下復(fù)合材料懸臂外伸矩形板在伸出過(guò)程中的非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.根據(jù)Reddy的高階剪切層合板理論，應(yīng)用Hamilton原理建立了外伸板在橫向氣動(dòng)力和參數(shù)激勵(lì)作用下的非線性動(dòng)力學(xué)方程，其中橫向氣動(dòng)力采用一階活塞氣動(dòng)力.然后應(yīng)用Galerkin方法對(duì)系統(tǒng)偏微分形式的非線性方程進(jìn)行離散，得到了一組時(shí)變系數(shù)的非線性動(dòng)力學(xué)方程.在此方程的基礎(chǔ)上，對(duì)復(fù)合材料懸臂外伸板進(jìn)行了數(shù)值模擬分析，討論了外伸速度對(duì)懸臂外伸板非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響.

復(fù)合材料懸臂外伸板，高階剪切理論，活塞理論，Hamilton原理，非線性動(dòng)力學(xué)

引言

近年來(lái)，軸向懸臂外伸結(jié)構(gòu)在工程中的應(yīng)用越來(lái)越常見(jiàn)，如新型可變形機(jī)翼、太陽(yáng)帆板和天線、機(jī)械手臂等.這類結(jié)構(gòu)因其沿軸向是可運(yùn)動(dòng)的，相比于不可移動(dòng)、靜止的結(jié)構(gòu)，當(dāng)其沿軸向運(yùn)動(dòng)或受到外載荷的作用時(shí)，可能帶來(lái)一些新的、影響結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.因此研究其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的非線性動(dòng)力學(xué)特性對(duì)工程應(yīng)用具有很重要的價(jià)值.

近年來(lái)，軸向懸臂可外伸結(jié)構(gòu)的研究已引起了學(xué)者們的關(guān)注.Tabarrok等［1］推導(dǎo)了長(zhǎng)度隨時(shí)間變化梁的運(yùn)動(dòng)方程，得到四個(gè)非線性偏微分形式運(yùn)動(dòng)方程和一個(gè)幾何關(guān)系方程.Taleb和Misra［2］研究了不可壓縮流體中，以恒定速度外伸的等環(huán)形截面懸臂梁的小變形橫向振動(dòng).Wang和Wei［3］將一個(gè)柔性機(jī)械手臂建模為細(xì)長(zhǎng)的可移動(dòng)懸臂梁模型，研究了梁在外伸過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)特性.Fung等［4］利用四種不同的梁理論建立了帶尖端質(zhì)量移動(dòng)梁的非線性動(dòng)力學(xué)模型.Theodore等［5］根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論推導(dǎo)了軸向可外伸柔性梁的運(yùn)動(dòng)方程，并通過(guò)數(shù)值模擬的方法研究了其橫向振動(dòng).Behdinan和Tabarrok等［6］應(yīng)用Hamilton原理推導(dǎo)了可外伸柔性梁的運(yùn)動(dòng)方程.Gosselin等［7］研究了等環(huán)形截面柔細(xì)懸臂梁在不可壓縮稠密流體中以恒定速度伸展的穩(wěn)定性.研究類似模型的還有，Poivan和Sampaio［8］研究了軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度柔性梁的振動(dòng)問(wèn)題.Wang等［9］推導(dǎo)了一種可外伸懸臂板模型線性振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，分析了運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的頻率和系統(tǒng)穩(wěn)定性.張謙等［10］設(shè)計(jì)了一種可外伸機(jī)翼結(jié)構(gòu)，實(shí)驗(yàn)研究了該結(jié)構(gòu)在不同外伸速度下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng).本文選取沿軸向可外伸的復(fù)合材料懸臂矩形板作為研究對(duì)象，對(duì)其在活塞氣動(dòng)力［11］和面內(nèi)參數(shù)激勵(lì)聯(lián)合作用下的非線性振動(dòng)特性進(jìn)行分析.

1　基本方程

考慮一個(gè)沿軸向可外伸的復(fù)合材料層合矩形懸臂板，該板受到面內(nèi)均布簡(jiǎn)諧激勵(lì)和橫向氣動(dòng)載荷共同作用.板以初始長(zhǎng)度l0開(kāi)始沿x軸方向懸臂向外伸出，板寬為b，厚度為h，笛卡爾坐標(biāo)系Oxy位于板的中面，如圖1所示.外伸速度考慮了一個(gè)小擾動(dòng)的影響，形式為V=V0+Vdcos（Ω2t），面內(nèi)激勵(lì)的形式為fy=f0+f1cosΩ1t，橫向的氣動(dòng)力載荷采用一階活塞氣動(dòng)力，記為Δp.

根據(jù)Reddy的高階剪切層合板理論［12］，位移場(chǎng)可以寫為

其中，u0，v0，w0為中面上任意一點(diǎn)分別沿x，y，z方向的位移，φx和φy分別為繞y和x軸的轉(zhuǎn)角.

圖1　懸臂外伸板的力學(xué)模型Fig.1 The model of deploying cantilever plate

采用von Karman的大變形幾何關(guān)系，可以得到應(yīng)變-位移關(guān)系εi（i=xx，yy）和曲率-位移關(guān)系γi（i=xy，yz，zx）的表達(dá)式

根據(jù)Hamilton原理，可推得可伸縮懸臂板的非線性動(dòng)力學(xué)方程為

其中，δ為阻尼系數(shù)，Δp表示由一階活塞理論推得的氣動(dòng)載荷，形式為

懸臂外伸板在固定和自由端的邊界條件分別為

2　Galerkin離散

對(duì)方程（3）進(jìn)行無(wú)量綱化，然后應(yīng)用Galerkin方法將偏微分形式的非線性方程離散為常微分形式的非線性動(dòng)力學(xué)方程.本文選取了系統(tǒng)前兩階振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行二階Galerkin離散，在滿足位移邊界條件的情況下選取振型函數(shù)為

其中，Xi（x）取沿x方向的固支-自由梁函數(shù)，Yj（y）取沿y方向的自由-自由梁函數(shù).

將振型函數(shù)（6）代入方程（3）進(jìn)行Galerkin運(yùn)算的過(guò)程中，特別需要注意，因?yàn)榘宓拈L(zhǎng)度沿x軸是隨時(shí)間改變的，所以在推導(dǎo)中要用到如下運(yùn)算關(guān)系

考慮橫向振動(dòng)為系統(tǒng)的主要運(yùn)動(dòng)方式，離散后可以得到以橫向位移w1和w2為變量的兩自由度無(wú)量綱非線性動(dòng)力學(xué)方程

這里，方程中的系數(shù)αi和βi（i=1，2，…，10）都是與時(shí)間有關(guān)的變量，即得到的方程是變系數(shù)系統(tǒng)，方程的質(zhì)量項(xiàng)、阻尼項(xiàng)和剛度項(xiàng)都隨時(shí)間變化.

3　算例分析

為了研究復(fù)合材料懸臂外伸板的非線性動(dòng)力學(xué)特性，選取如下參數(shù)進(jìn)行數(shù)值分析.板的組成為各鋪層等厚度、同材料、正交鋪設(shè)的三層石墨/環(huán)氧，其它參數(shù)：l0=2.0m，b=1.5m，h=0.004m，f0= 2000N/m2，Vd=0.005m/s，Ω1=Ω2=15，κ=1.4，M∞=3.0，Va=900m/s，ρa(bǔ)=0.65kg/m3，δ=600N ·s/m.根據(jù)非線性振動(dòng)方程（8），數(shù)值分析相關(guān)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)外伸過(guò)程中動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的影響.

圖2與圖3給出了兩種不同外伸速度下懸臂板沿軸向外伸過(guò)程中第一階和第二階振動(dòng)的時(shí)域分析曲線.首先觀察這些圖的全局響應(yīng)特性，盡管外伸速度的取值不同，系統(tǒng)的整個(gè)外伸過(guò)程呈現(xiàn)出一些相似的振動(dòng)規(guī)律，即初始的時(shí)候，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生振幅的跳躍現(xiàn)象，隨著板的繼續(xù)外伸，系統(tǒng)的第一階振動(dòng)幅值逐漸增大，第二階振動(dòng)幅值先減小再增大，前兩階振動(dòng)頻率逐漸降低，振幅可能再次發(fā)生跳躍和發(fā)散現(xiàn)象.

圖2　當(dāng)V0=0.10時(shí)系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖Fig.2 Time history curves when V0=0.10

通過(guò)對(duì)兩種不同速度下系統(tǒng)時(shí)間歷程圖的比較，可以發(fā)現(xiàn)外伸速度對(duì)系統(tǒng)外伸過(guò)程中動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的影響.首先觀察系統(tǒng)的第一階振動(dòng)，當(dāng)外伸速度為v0=0.10m/s時(shí)，如圖2（a），在無(wú)量綱時(shí)間t=90左右，振幅結(jié)束初始跳躍，當(dāng)外伸速度增大到v0=0.20m/s時(shí)，見(jiàn)圖3（a），振幅結(jié)束跳躍的無(wú)量綱時(shí)間大約為t=80，顯而易見(jiàn)，隨著外伸速度的增加，振幅結(jié)束初始跳躍的時(shí)間逐漸提前.但與此同時(shí)，系統(tǒng)振幅再次發(fā)生跳躍的時(shí)間會(huì)提前，并且外伸速度越快，系統(tǒng)再次發(fā)生振幅跳躍的時(shí)間就越提前.

對(duì)于第二階振動(dòng)而言，運(yùn)動(dòng)規(guī)律與第一階的運(yùn)動(dòng)形式相似，如圖2（b）、3（b）.相比而言，第二階振動(dòng)的振幅遠(yuǎn)小于第一階振幅，可見(jiàn)第一階振動(dòng)為系統(tǒng)的主要振動(dòng)形式.

圖3　當(dāng)V0=0.20時(shí)系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖Fig.3 Time history curves when V0=0.20

4　結(jié)論

本文考慮一個(gè)沿軸向可外伸的復(fù)合材料懸臂板模型，應(yīng)用高階剪切理論和Hamilton原理建立其動(dòng)力學(xué)方程，根據(jù)得到的時(shí)變系數(shù)方程，應(yīng)用數(shù)值模擬的方法研究了一階活塞氣動(dòng)力作用下系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng).研究發(fā)現(xiàn)：懸臂板在外伸過(guò)程中，前兩階振動(dòng)頻率逐漸降低，存在振幅跳躍和發(fā)散的現(xiàn)象.并且隨著外伸速度的增大，系統(tǒng)的振幅結(jié)束初始跳躍的時(shí)間逐漸提前，同時(shí)再次發(fā)生振幅跳躍的時(shí)間也會(huì)提前.

1 Tabarrok B，Leech C M，Kim Y I.On the dynamics of an axially moving beam.Journal of the Franklin Institute，1974，297：201～220

2 Taleb I A，Misra A K.Dynamics of an axially moving beam submerged in a fluid.Journal of Hydronautics，1981，15：62～66

3 Wang P K C，Wei J D.Vibration in a moving flexible robot arm.Journal of Sound and Vibration，1987，116（1）：149～160

4 Fung R F，Lu P Y，Tseng C C.Non-linearly dynamic modeling of an axially moving beam with a tip mass.Journal of Sound and Vibration，1998，218：559～571

5 Theodore R J，Arakeri J H，Ghosal A.The modelling ofaxially translating flexible beams.Journal of Sound and Vibration，1996，191（3）：363～376

6 Behdinan K，Tabarrok B.Dynamics of flexible sliding beams-nonlinear analysis，Part II：transient response. Journal of Sound and Vibration，1997，208（4）：541～565

7 Gosselin F，Paidoussis M P，Misra A K.Stability of a deploying/deploying beam in dense fluid.Journal of Sound and Vibration，2007，299：123～142

8 Poivan M，Sampaio T R.Vibrations of axially moving flexible beams made of functionally graded materials.Thinwalled Structures，2008，46：112～121

9 Wang L H，Hu Z D，Zhong Z.Dynamic analysis of an axially translating plate with time-variant length.Acta Mechanica，2010，215：9～23

10 張偉，張謙，曹東興.可伸縮機(jī)翼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與振動(dòng)實(shí)驗(yàn)研究.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2011，9（4）：326～330（Zhang W，Zhang Q，Cao D X.Structural design and vibration experimental investigation of telescopic wings. Journal of Dynamics and Control，2011，9（4）：326～330（in Chinese））

11 Ashley H，Zartarian G.Piston theory a new aerodynamic tool for the aeroelastician.Journal of Aeronautical Sciences，1956，23：1109～1118

12 Reddy J N.Mechanics of laminated composite plates and shells：Theory and Analysis.Boca Raton：CRC Press LLC，2004

NONLINEAR ANALYSIS OF DEPLOYING LAMINATED COMPOSITE CANTILEVER PLATES*

Lu Shufeng Zhang Wei?
（College of Mechanical Engineering，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

This paper studied the nonlinear dynamics of deploying cantilever laminated composite plates subjected to transversal aerodynamic pressures and in-plane excitations.The first-order piston theory was employed to model the transversal air pressures.Based on Reddy′s third-order shear deformable plate theory and Hamilton Principal，the nonlinear governing equations of motion were established for the deploying cantilever laminated composite plates.By choosing suitable vibration mode-shape functions，the two-degree-of-freedom nonlinear governing equations of motion with time-varying coefficients were deduced by using Galerkin method.The influences of varying deploying velocities on the nonlinear resonance of the deploying cantilever plate were analyzed.

axially moving cantilever laminated plates，third-order plate theory，piston theory，Hamilton principle，nonlinear dynamics

26 July 2013，revised 5 December 2013.

E-mail：sandyzhang0@yahoo.com

10.6052/1672-6553-2014-040

2013-07-26收到第1稿，2013-12-05收到修改稿.

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11290152，11072008和10732020）

E-mail：sandyzhang0@yahoo.com

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11290152，11072008 and 10732020）