面齒輪嚙合過(guò)程中壓力角對(duì)齒面摩擦生熱的影響分析

何國(guó)旗 ，嚴(yán)宏志，胡威，何瑛，舒陶量

(1.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙，410083；2.湖南工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 株洲，412000；3.湖南理工職業(yè)技術(shù)學(xué)院 資源工程系，湖南 湘潭，411104)

面齒輪傳動(dòng)是一種圓柱齒輪與圓錐齒輪相嚙合的齒輪傳動(dòng)，其面齒輪屬于特殊的圓錐齒輪，是用尺寸與其嚙合的漸開線圓柱齒輪尺寸相同或者相近的刀具經(jīng)范成而得到的[1]。面齒輪傳動(dòng)由于具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、傳動(dòng)重合度大、動(dòng)力分流效果好、振動(dòng)小等諸多優(yōu)點(diǎn)[1]，面齒輪的動(dòng)力分流傳動(dòng)裝置在武裝直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)中得到應(yīng)用。由于武裝直升機(jī)在飛行過(guò)程中的載荷及轉(zhuǎn)速較高，傳動(dòng)系統(tǒng)摩擦生熱較大，而且嚙合過(guò)程中齒面各點(diǎn)的載荷及相對(duì)速度不同，使得輪齒上溫度場(chǎng)分布不均勻，引起齒輪熱彈性變形，不僅會(huì)消除齒輪傳動(dòng)間隙，還將引起齒廓形狀發(fā)生改變，這將極大地影響面齒輪的傳動(dòng)性能、潤(rùn)滑性能和可靠性，導(dǎo)致傳動(dòng)失效，因此，齒面溫度成為影響面齒輪傳動(dòng)質(zhì)量的重要技術(shù)指標(biāo)。Litvin等[1]對(duì)面齒輪傳動(dòng)的嚙合進(jìn)行了研究，從嚙合幾何學(xué)原理上分析了根切和頂尖的條件，同時(shí)發(fā)展了點(diǎn)接觸面齒輪。鄧小洈[2]在試驗(yàn)的基礎(chǔ)上建立了摩擦副導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)模型及邊界條件，采用數(shù)值計(jì)算方法對(duì)摩擦副溫度場(chǎng)在不同工況下的溫度場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算，得到了摩擦副的溫度分布狀況；龍慧等[3]系統(tǒng)分析了圓柱齒輪嚙合過(guò)程中主、從動(dòng)輪輪齒的絕對(duì)滑動(dòng)速度和相對(duì)滑動(dòng)速度，建立了齒面摩擦因數(shù)和摩擦熱流量的計(jì)算方法，并分析了其沿嚙合面的分布規(guī)律以及相關(guān)的影響因素。肖望強(qiáng)等[4]介紹了非對(duì)稱齒輪摩擦熱流量的計(jì)算方法，并分析了其沿嚙合面的分布規(guī)律以及相關(guān)的影響因素，推導(dǎo)了輪齒本體溫度的熱平衡方程，建立了輪齒有限元溫度分析的模型。李政民卿等[5]對(duì)面齒輪的嚙合理論進(jìn)行了研究，主要集中于面齒輪的齒面生成、面齒輪齒寬的限制條件、無(wú)安裝誤差及有安裝誤差的齒接觸分析、運(yùn)動(dòng)誤差、重合度齒面曲率和齒面速度等。目前，人們對(duì)面齒輪嚙合過(guò)程中齒面摩擦生熱的研究特別是壓力角對(duì)齒面摩擦生熱的影響研究較少。圓柱齒輪和面齒輪接觸表面的摩擦熱流量由齒面的相對(duì)滑動(dòng)速度、接觸壓力和齒面摩擦因數(shù)共同決定[2]。為此，本文作者通過(guò)對(duì)面齒輪齒面幾何特征進(jìn)行分析，在全膜潤(rùn)滑的假設(shè)條件下，從齒面的相對(duì)滑動(dòng)速度、接觸壓力和齒面摩擦因數(shù)等幾個(gè)方面研究面齒輪嚙合過(guò)程中齒面摩擦生熱以及受壓力角的影響，以便為面齒輪的設(shè)計(jì)提供有效的理論依據(jù)。

1 面齒輪嚙合時(shí)齒面相對(duì)滑動(dòng)速度及影響因素分析

1.1 面齒輪嚙合時(shí)齒面相對(duì)滑動(dòng)速度形成分析

在面齒輪嚙合過(guò)程中，由于圓柱齒輪和面齒輪的尺寸和轉(zhuǎn)速不同，將導(dǎo)致兩輪齒在嚙合點(diǎn)沿切線方向的速度不相等，使得兩輪齒齒面產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)[2?3]。

如圖1所示，設(shè)圓柱齒輪的齒面IΣ和面齒輪的齒面ΣII某個(gè)時(shí)刻在N點(diǎn)嚙合，在各自所在的坐標(biāo)系中，其矢量r1和r2表達(dá)式分別為：

在時(shí)間dt內(nèi)，圓柱齒輪的齒面ΣI移動(dòng)到ΣI′，面齒輪的齒面ΣII移動(dòng)到ΣII′′，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到N′，該點(diǎn)在齒面ΣI上移到N1，在齒面ΣII上移到N2。

點(diǎn)N隨各自坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)速度描述為：

圖1 面齒輪傳動(dòng)時(shí)齒面接觸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)描述Fig.1 Meshing point movement description of face-gear drive

點(diǎn)N隨同各自坐標(biāo)系的相對(duì)速度為：

1.2 壓力角對(duì)齒面相對(duì)滑動(dòng)速度影響分析

本文算例中面齒輪傳動(dòng)的參數(shù)如下：面齒輪傳動(dòng)的模數(shù)為5，面齒輪的齒數(shù)為40，圓柱齒輪的齒數(shù)為17。圓柱齒輪及面齒輪的材料均為45號(hào)鋼，圓柱齒輪進(jìn)行表面淬火處理，硬度（HRC）為 40～45，面齒輪進(jìn)行調(diào)質(zhì)處理，硬度（HB）為220～240。齒輪嚙合采用L-AN32全損耗系統(tǒng)用油噴油潤(rùn)滑，潤(rùn)滑油的初始溫度和空氣溫度為 25 ℃，彈性模量E為 2.16×1011N·m2，泊松比ν為0.25；面齒輪系統(tǒng)扭矩T為20 kN·m，輸入轉(zhuǎn)速n1為2 000 r/min。

當(dāng)壓力角分別為20°和25°時(shí)，兩齒輪接觸面切向絕對(duì)滑動(dòng)速度和相對(duì)滑動(dòng)速度沿嚙合區(qū)間的分布如圖2所示。圖2中v1和v2分別表示圓柱齒輪和面齒輪沿接觸切線方向絕對(duì)滑動(dòng)速度，vs為嚙合點(diǎn)沿接觸切線方向相對(duì)滑動(dòng)速度；v1(20°)和v1(25°)表示壓力角分別為20°和25°時(shí)圓柱齒輪沿接觸切線方向絕對(duì)滑動(dòng)速度；v2(20°)和v2(25°)表示壓力角分別為 20°和 25°時(shí)面齒輪沿接觸切線方向絕對(duì)滑動(dòng)速度；vs(20°)和vs(25°)表示壓力角分別為 20°和 25°時(shí)為嚙合點(diǎn)沿接觸切線方向圓柱齒輪和面齒輪的相對(duì)滑動(dòng)速度。

從圖2可知：壓力角的改變對(duì)絕對(duì)滑動(dòng)速度和相對(duì)滑動(dòng)速度有較大的影響，壓力角為 25°與壓力角為20°相比，圓柱齒輪和面齒輪在嚙合過(guò)程中絕對(duì)滑動(dòng)速度增大，而圓柱齒輪和面齒輪的相對(duì)滑動(dòng)速度隨著壓力角的增大而減小。

圖2 不同壓力角的面齒輪齒面沿接觸切線方向絕對(duì)滑動(dòng)與相對(duì)滑動(dòng)速度分布Fig.2 Absolute and relative sliding velocity distribution at tangent direction of different pressure angels

2 面齒輪嚙合區(qū)中的接觸應(yīng)力的確定

2.1 面齒輪嚙合區(qū)中接觸應(yīng)力的計(jì)算

根據(jù)赫茲理論對(duì)接觸物體表面幾何關(guān)系的分析可知：物體表面之間有相同距離的點(diǎn)在公切面上將形成類似于橢圓的區(qū)域[6?7]。設(shè)面齒輪傳動(dòng)中，和分別為嚙合點(diǎn)處圓柱齒輪齒面的兩主曲率；和分別為嚙合點(diǎn)處面齒輪齒面的兩主曲率。正交主平面與公切面交線的交點(diǎn)分別為(x1，y1)和(x2，y2)。對(duì)于點(diǎn)接觸的面齒輪傳動(dòng)，嚙合點(diǎn)處形成接觸橢圓，根據(jù)接觸點(diǎn)主曲率和兩彈性體彈性系數(shù)與接觸橢圓區(qū)域的關(guān)系可知，接觸區(qū)域橢圓長(zhǎng)短半軸ρx和ρy分別為：

式中：iμ和Ei(i=l，2)分別為圓柱齒輪和面齒輪材料的泊松比和彈性模量；系數(shù)u和v為橢圓積分函數(shù)。

按照赫茲接觸理論，在接觸橢圓表面上，接觸應(yīng)力按橢圓體分布，其最大接觸應(yīng)力σmax在接觸橢圓中心[8]。因此，面齒輪傳動(dòng)嚙合點(diǎn)處的最大接觸應(yīng)力σmax為：

式中：ρx為橢圓的長(zhǎng)半軸半徑；ρy為橢圓的短半軸半徑。當(dāng)x=0，y=0時(shí)，橢圓中心發(fā)生最大應(yīng)力為：

2.2 壓力角對(duì)面齒輪嚙合區(qū)中接觸應(yīng)力的影響分析

對(duì)面齒輪嚙合區(qū)中的接觸應(yīng)力進(jìn)行仿真分析，分析結(jié)果如圖3所示。橫坐標(biāo)從左至右分別為雙齒嚙合區(qū)下界點(diǎn)即雙齒齒根嚙入點(diǎn)，單齒嚙合區(qū)下界點(diǎn)即單齒嚙入點(diǎn)，嚙合節(jié)點(diǎn)，單齒嚙合區(qū)上界點(diǎn)即單齒嚙出點(diǎn)，雙齒嚙合區(qū)上界點(diǎn)即雙齒齒頂嚙出點(diǎn)。

圖3 中σH(20°)和H(25°)分別表示面齒輪壓力角為 20°和 25°時(shí)嚙合區(qū)中的接觸應(yīng)力。由圖3可以看出不同壓力角的面齒輪從齒根嚙入到齒頂嚙出齒面接觸應(yīng)力沿嚙合線的分布和變化規(guī)律。當(dāng)壓力角為 20°時(shí)，在單對(duì)齒嚙合區(qū)下界點(diǎn)面齒輪的齒面接觸應(yīng)力達(dá)到一個(gè)嚙合周期中的最大值，達(dá)到850 MPa。當(dāng)壓力角為25°時(shí)，無(wú)論單齒嚙合區(qū)還是雙齒嚙合區(qū)，下界點(diǎn)面齒輪的齒面接觸應(yīng)力都呈明顯下降趨勢(shì)，齒面最大接觸應(yīng)力σHmax為 780 MPa，且嚙合點(diǎn)接觸區(qū)平均壓力σc也減小。

圖3 不同壓力角的面齒輪齒面接觸應(yīng)力σH變化曲線Fig.3 Contact stress curves of face-gear at different pressure angels

3 面齒輪嚙合時(shí)齒面摩擦生熱流量的確定

3.1 面齒輪齒面接觸域的摩擦因數(shù)

根據(jù)Barone等[9?10]提出的摩擦因數(shù)計(jì)算公式，對(duì)于面齒輪齒面的任意嚙合點(diǎn)C，摩擦因數(shù)cμ可表示為：

式中：wcτ為單位寬度上的載荷；η0為潤(rùn)滑油黏度；v12為嚙合點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度；vr為嚙合點(diǎn)處卷汲速度。

在面齒輪嚙合過(guò)程中，接觸點(diǎn)處的相對(duì)滑動(dòng)速度以及卷汲速度隨嚙合點(diǎn)位置的變化而變化，因此，齒面摩擦因數(shù)在嚙合過(guò)程中也是變化的[8]。齒面接觸區(qū)的摩擦因數(shù)不僅與面齒輪輪齒嚙合位置有關(guān)，而且與面齒輪齒面粗糙度、轉(zhuǎn)速、接觸載荷等因素有關(guān)；同時(shí)，還受潤(rùn)滑油黏度和齒輪本體溫度的影響。其中，轉(zhuǎn)速及潤(rùn)滑油黏度是影響齒輪摩擦因數(shù)的主要因素。

3.2 面齒輪嚙合區(qū)滑動(dòng)摩擦熱計(jì)算

面齒輪嚙合齒面間的摩擦熱主要包括：齒面間的滑動(dòng)摩擦、滾動(dòng)摩擦以及金屬?gòu)椝苄宰冃我鸬哪Σ?個(gè)方面。在面齒輪嚙合過(guò)程中，輪齒接觸表面的摩擦熱流量與接觸壓力、齒面的相對(duì)滑動(dòng)速度和齒面摩擦因數(shù)等有關(guān)。齒面上由摩擦產(chǎn)生的熱能一部分通過(guò)熱傳導(dǎo)進(jìn)入齒輪齒體，而另一部分則由作用嚙合齒面的潤(rùn)滑油通過(guò)強(qiáng)制對(duì)流傳熱而冷卻擴(kuò)散。因此，嚙合齒面產(chǎn)生的摩擦熱流量對(duì)高速齒輪溫度的改變和分布以及熱的平衡有重要影響[8]。面齒輪嚙合區(qū)滑動(dòng)摩擦熱可按下式計(jì)算：

3.3 壓力角對(duì)面齒輪嚙合區(qū)滑動(dòng)摩擦熱的影響

對(duì)面齒輪嚙合區(qū)滑動(dòng)摩擦熱進(jìn)行仿真分析，得到面齒輪的摩擦熱流量沿嚙合線的分布如圖4所示。圖4 中qc(20°)和qc(25°)分別表示壓力角為 20°和 25°條件下沿嚙合線的摩擦熱分布。

由圖4可知：壓力角為25°與20°相比，雙齒嚙合區(qū)面齒輪齒面摩擦熱流量明顯要小，壓力角為20°時(shí)，雙齒嚙合區(qū)面齒輪下界點(diǎn)面齒輪齒面摩擦熱流量為120 kN/m2；而壓力角為25°時(shí)，雙齒嚙合區(qū)面齒輪下界點(diǎn)面齒輪齒面摩擦熱流量約為75 kN/m2。在單齒嚙合區(qū)，壓力角為25°與20°相比，雖然單齒嚙合區(qū)面齒輪齒面摩擦熱流量要大，但相差很小。

因此，面齒輪輪齒在嚙合區(qū)各點(diǎn)處的摩擦熱流量隨著工作齒側(cè)壓力角的增大而減小，在齒根處摩擦熱流量最大值減小的幅度最大。

圖4 不同壓力角的面齒輪摩擦熱流量qc沿嚙合線的分布Fig.4 Face-gear friction heat flux distribution along meshing line at different pressure angels

4 齒面間摩擦熱流量的分配

4.1 齒面間摩擦熱流量的分配計(jì)算

由于材料、導(dǎo)熱系數(shù)以及邊界熱阻等不同，接觸面上產(chǎn)生的摩擦熱流量向兩齒輪的熱量也不相同。由于面齒輪嚙合狀況非常復(fù)雜,摩擦因數(shù)μ通過(guò)實(shí)測(cè)或經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)確定，一般推薦μ=0.045～0.065[10]，本文取μ=0.050。設(shè)兩嚙合輪齒之間摩擦熱分配因子為λ，則齒輪任意嚙合點(diǎn)C處的摩擦熱流量qc分作2部分qc1與qc2，分別流入圓柱齒輪和面齒輪，則2個(gè)齒輪各自輸入的熱量分別為[6?8]：

摩擦熱分配因子λ的表達(dá)式為：

式中：β1和β2為 2個(gè)齒輪材料的導(dǎo)熱系數(shù)；ρ1和ρ2為2個(gè)齒輪材料的密度；c1和c2為2個(gè)齒輪材料的比熱容；vτ1和vτ2為2個(gè)齒輪嚙合點(diǎn)C處的切向速度。

4.2 壓力角對(duì)齒面間摩擦熱流量分配的影響

從齒根嚙入到齒頂嚙出，圓柱齒輪熱分配系數(shù)λ1沿嚙合線增大，面齒輪熱分配系數(shù)λ2沿嚙合線減小。對(duì)面齒輪嚙合齒面間摩擦熱流量分配進(jìn)行仿真分析，熱分配系數(shù)λ1和λ2沿嚙合線的分布如圖5所示，熱分配系數(shù)λ1和λ2與輪齒參與嚙合順序及壓力角有關(guān)，使齒輪在嚙合線方向熱分配系數(shù)變化率減小。圖5中λ1(20°)和λ1(25°)為壓力角分別為 20°和 25°時(shí)圓柱齒輪熱分配系數(shù)；λ2(20°)和λ2(25°)為壓力角分別為 20°和 25°時(shí)面齒輪熱分配系數(shù)。

從齒根嚙入瞬時(shí)到嚙合節(jié)點(diǎn)，對(duì)于圓柱齒輪來(lái)講，壓力角為 20°的熱分配系數(shù)比壓力角為 25°的熱分配系數(shù)要小，但從嚙合節(jié)點(diǎn)到齒頂嚙出瞬時(shí)，壓力角為20°的熱分配系數(shù)比壓力角為25°的熱分配系數(shù)要大。面齒輪則與圓柱齒輪相反。而且，從齒根嚙入瞬時(shí)到嚙合節(jié)點(diǎn)，圓柱齒輪的熱分配系數(shù)均小于面齒輪。從嚙合節(jié)點(diǎn)到齒頂嚙出瞬時(shí)，圓柱齒輪的熱分配系數(shù)均大于面齒輪的熱分配系數(shù)。但是，圓柱齒輪和面齒輪在壓力角為 25°時(shí)的熱分配系數(shù)變化比壓力角為 20°時(shí)的要小。

圖5 不同壓力角面齒輪熱分配系數(shù)λ沿嚙合線的分布Fig.5 Face-gear heat partition coefficient distribution along meshing line at different pressure angels

5 結(jié)論

(1)在面齒輪嚙合過(guò)程中，壓力角的改變對(duì)嚙合齒面的絕對(duì)速度和相對(duì)滑動(dòng)速度有很大的影響，隨著壓力角的增大，絕對(duì)滑動(dòng)速度增大，而相對(duì)滑動(dòng)速度則隨著壓力角的增大而減小。

(2)壓力角增大，則圓柱齒輪、面齒輪沿嚙合線的熱分配系數(shù)變化率減小。

(3)面齒輪輪齒在嚙合區(qū)各點(diǎn)處的摩擦熱流量隨著壓力角的增大而減小，在齒根處摩擦熱流量最大值減小的幅度最大。因此，適當(dāng)增加壓力角，有利于減少齒面摩擦生熱。

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