基于線性回歸-馬爾可夫模型的鐵路客運量預測

李曉東

（沈陽鐵路局 沈陽客運段，遼寧 沈陽 110013）

我國經(jīng)濟的快速發(fā)展、社會的進步改變了人們的工作方式和生活習慣，同時也改變了對運輸?shù)男枨?。旅客的?jīng)濟能力和時間價值觀念逐漸增強，更加關(guān)注運輸質(zhì)量，包括出行的便捷性、旅行的舒適性、旅行時間的縮短、安全性的提高、運輸服務水平等[1]。目前，鐵路運輸面臨著運輸數(shù)量和質(zhì)量的雙重壓力。為解決鐵路運輸?shù)摹捌款i”問題，我國進行了既有線提速和高速鐵路建設(shè)，預計 2012年投產(chǎn)新線 6 366 km。“十二五”期間，全國鐵路運營里程將達到12萬 km，其中以高速鐵路為主骨架的快速鐵路網(wǎng)達4.5萬 km，西部地區(qū)鐵路達 5萬 km。這將使鐵路既有的優(yōu)勢得以充分發(fā)揮，同時也為鐵路的發(fā)展注入新的活力。

1 客運量預測模型的選擇

鐵路客運量既是衡量運營效果的一項重要指標，運輸部門可以根據(jù)客運量的變化及時調(diào)整戰(zhàn)略部署，同時也是鐵路項目可行性研究中的重點內(nèi)容，是論證項目建設(shè)必要性和經(jīng)濟性的基礎(chǔ)。國內(nèi)外采用的鐵路客流量預測方法較多，其中定量預測方法可分為因果關(guān)系分析法、產(chǎn)運銷平衡法、四階段法等。這些方法在預測精度上都有待提高，以便為決策者提供更可靠的數(shù)據(jù)。在鐵路既有線提速前，客運量預測只是針對趨勢客運量。但是，既有線實施提速和高速鐵路建成投入運營，鐵路客運綜合服務質(zhì)量得到提高，如果照搬某一種方法，預測結(jié)果將會出現(xiàn)偏差，并且隨著時間的推移，理論預測值和未來實際運量的誤差也會越來越大[2]。

回歸分析是一種應用極為廣泛的數(shù)量分析方法，主要用于確定2種或2種以上變量間相互依賴的定量關(guān)系。回歸分析的基本思想是：雖然自變量和因變量之間沒有嚴格的、確定性的函數(shù)關(guān)系，但可以設(shè)法找出最能代表它們之間關(guān)系的數(shù)學表達形式。因此，可以通過因變量和自變量來確定變量之間的因果關(guān)系，建立線性回歸模型，并根據(jù)實測數(shù)據(jù)求解模型的各個參數(shù)，然后評價回歸模型是否能夠很好地擬合實測數(shù)據(jù)，如果能夠很好地擬合，則可以根據(jù)自變量作進一步預測[3-4]。

線性回歸預測模型對經(jīng)濟社會系統(tǒng)預測具有重要的意義，但由于客運量的影響因素復雜，其變化呈現(xiàn)一定的隨機波動特點，因而預測結(jié)果會產(chǎn)生誤差。而馬爾可夫鏈是根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移矩陣來描述一個隨機動態(tài)系統(tǒng)未來的發(fā)展狀態(tài)，轉(zhuǎn)移矩陣反映了各個狀態(tài)之間的規(guī)律性。馬爾可夫鏈過程最主要的特征就是無后效性，即t時刻之后的狀態(tài)只與 t時刻的狀態(tài)有關(guān)，而與以前的狀態(tài)無關(guān)。因此，可以通過對線性回歸預測模型的結(jié)果進行馬爾可夫鏈改進來提高其預測的準確性[5]。

2 鐵路客運量預測

2.1 線性回歸模型確定預測值

鐵路客運量的影響因素包括國民生產(chǎn)總值、人口數(shù)量、居民消費水平、運價、運輸服務水平、運輸方式結(jié)構(gòu)等。目前，國家制定了“十二五”規(guī)劃，但以上因素仍存在一定的不確定性。因此，選取鐵路營業(yè)里程這一相對確定的指標進行線性回歸分析。2001—2010年我國鐵路客運量和鐵路營業(yè)里程如表1所示[6]。根據(jù)數(shù)據(jù)作散點圖，其趨勢大致呈線性關(guān)系，如圖1所示。

表1 2001—2010年全國鐵路客運量和鐵路營業(yè)里程

圖1 2001—2010年全國鐵路客運量和鐵路營業(yè)里程關(guān)系散點圖

按數(shù)據(jù)趨勢可以建立線性方程，應用 MATLAB 軟件，回歸方程為：

式中：X 為營業(yè)里程，萬km；Y 為鐵路客運量，萬人。

回歸模型擬合度檢驗結(jié)果顯示，相關(guān)系數(shù)為0.950，而決定系數(shù) R2為0.903，回歸方程對樣本數(shù)據(jù)點擬合較好。

根據(jù)公布的數(shù)據(jù)：2011年鐵路新增線路 2 022 km，2012年計劃新增線路 6 366 km，2015年計劃鐵路線路全長達到 12萬 km。根據(jù)上述公式可以得到鐵路客運量的回歸預測值及相對誤差，如表2所示。

表2 鐵路客運量回歸預測相關(guān)數(shù)據(jù)

2.2 回歸-馬爾可夫預測模型確定預測值

馬爾可夫鏈是根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移矩陣來描述一個隨機動態(tài)系統(tǒng)未來的發(fā)展狀況，轉(zhuǎn)移概率(即在事件的發(fā)展變化過程中，從某一種狀態(tài)出發(fā)下一時刻轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài)的可能性) 則反映了各狀態(tài)之間某種內(nèi)在的規(guī)律性。其中，n 步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算為：

P(n) 描述了 m個狀態(tài)相互轉(zhuǎn)移的概率分布。其中，pij為由狀態(tài) i 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j 的概率[7-8]。如 p12表示由狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2的概率。下一時刻向各狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率 P(E) 為：

其中 E1×z是一個1行 z 列的矩陣，為當前時刻的狀態(tài)矩陣，z 為劃分的狀態(tài)區(qū)間。

回歸—馬爾可夫預測模型的基本思想是先用回歸預測模型進行預測。然后根據(jù)回歸預測數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的相對誤差將各原始數(shù)據(jù)年劃分狀態(tài)。再根據(jù)各年所處狀態(tài)求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，進行未來相關(guān)數(shù)據(jù)的預測。

2.2.1 狀態(tài)劃分

根據(jù)表2中的相對誤差列，將原始數(shù)據(jù)按年劃分為4個狀態(tài)，劃分標準如表3所示。例如，2009年的回歸預測相對誤差為 0.56%，則該年屬于狀態(tài) 3。

表3 狀態(tài)劃分區(qū)間及各狀態(tài)含義

2.2.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移

鐵路客運量在 2001—2010年中各類狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移情況如表4所示。例如，表4中第二行的數(shù)據(jù)含義為：由狀態(tài) 1一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1和一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)3的情況各出現(xiàn)了1次，合計為2次。表4中的其他數(shù)據(jù)依次類推。

表4 回歸預測結(jié)果馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移

2.2.3 數(shù)據(jù)預測

根據(jù) 2001—2010年鐵路客運量數(shù)據(jù)，以2010年為當前時間點預測 2011年鐵路客運量，需要計算一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；預測 2012 與 2015年的鐵路客運量，需要分別計算二步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與五步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。下面以運用回歸—馬爾可夫模型預測2011年鐵路客運量為例，說明該模型的具體計算過程。

從狀態(tài)的轉(zhuǎn)移表可確定馬爾可夫一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P (1)。

由于 2010年鐵路客運量所處的狀態(tài)為狀態(tài) 3，對應 2010年的狀態(tài)矩陣為 (0，0，1，0)，因而 2011年鐵路客運量轉(zhuǎn)向各狀態(tài)的概率為：

即 2011年鐵路客運量有 0.25 的概率處于狀態(tài)2和狀態(tài) 4，有 0.5 的概率處于狀態(tài) 3。

由各狀態(tài)區(qū)間的預測中值，分別乘以預測年可能處于該狀態(tài)的概率再求和，即：175 238×0.25＋184 225×0.50＋196 806×0.25＝185 124(萬人)，得到 2011年鐵路客運量回歸—馬爾可夫預測值為185 124萬人。同理，計算得到 2012年和 2015年鐵路客運量的預測結(jié)果，如表5所示。

表5 鐵路客運量回歸-馬爾可夫預測值

3 結(jié)束語

基于回歸—馬爾可夫預測模型的 2011年、2012年鐵路客運量預測值分別為 185 124萬人和 199 427萬人，與 2011年實際數(shù)據(jù)和 2012年預計數(shù)據(jù)的誤差為-0.04% 和 -1.72%。因此，在鐵路客運量預測方面，對線性回歸預測模型結(jié)果進行馬爾可夫鏈改進的方法能夠提高預測的準確性。但還需通過更多的實際數(shù)據(jù)對預測模型的可靠性進行驗證，以不斷完善回歸—馬爾可夫預測模型。

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