一種提高N線模型探頭標(biāo)定精度的解算方法

朱立人 李文駿 丁 輝 王廣志

(清華大學(xué)醫(yī)學(xué)院生物醫(yī)學(xué)工程系，北京 100084)

引言

超聲成像技術(shù)由于其本身的諸多優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用在臨床診斷和介入手術(shù)引導(dǎo)等醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。尤其是與X線透視成像、計(jì)算機(jī)斷層成像(CT)、磁共振成像(MRI)等其他醫(yī)學(xué)成像手段相比，超聲影像因?yàn)闆]有電離輻射、在成像時(shí)間方面沒有限制，并能為醫(yī)生提供病人實(shí)時(shí)的影像信息，因此在引導(dǎo)介入手術(shù)中起到了十分重要的作用［1－2］。

在超聲引導(dǎo)介入治療和手術(shù)中，超聲探頭的空間位置需要通過(guò)三維空間定位系統(tǒng)進(jìn)行跟蹤，并且與同時(shí)被跟蹤的手術(shù)器械等統(tǒng)一到同一個(gè)坐標(biāo)系中，以便將器械姿態(tài)和位置準(zhǔn)確地顯示在超聲圖像上，呈現(xiàn)給醫(yī)生。利用三維定位系統(tǒng)跟蹤超聲探頭的技術(shù)，同樣被應(yīng)用于徒手(free-hand)三維超聲圖像的獲?。?］。為了能夠跟蹤超聲探頭，以及探頭上延伸出的成像平面，首先必須確定從位置跟蹤傳感器坐標(biāo)系到超聲成像平面坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系。測(cè)量和解算這個(gè)變換的過(guò)程就是超聲探頭標(biāo)定，這個(gè)過(guò)程中基本的坐標(biāo)系變換關(guān)系如圖1所示。

目前，人們已經(jīng)提出若干種模型和方法來(lái)實(shí)現(xiàn)超聲探頭與定位系統(tǒng)傳感器的標(biāo)定［4］，其中最為廣泛應(yīng)用的方法之一是 N線模型方法［5－6］。這種模型在水箱中設(shè)置許多由尼龍線組成的N形目標(biāo)。當(dāng)超聲平面切過(guò)這些N形目標(biāo)時(shí)，每個(gè)N形靶線在圖像上產(chǎn)生3個(gè)亮斑。手動(dòng)識(shí)別和拾取三個(gè)亮斑的坐標(biāo)后，通過(guò)左右2個(gè)亮斑到中間亮斑的距離之比，并結(jié)合模型的設(shè)計(jì)約束，可以重建出N形目標(biāo)與成像平面交點(diǎn)在設(shè)計(jì)坐標(biāo)系中的3D坐標(biāo)值。通過(guò)同一個(gè)目標(biāo)在超聲圖像坐標(biāo)系和位置傳感器坐標(biāo)系中的測(cè)量，即可解算出標(biāo)定變換關(guān)系。傳統(tǒng)的解算方法包括解析的［7－10］和迭代的［11］最小二乘算法。

圖1 超聲探頭標(biāo)定的物理模型Fig.1 physical model of ultrasound probe calibration

然而，由于超聲探頭的聲場(chǎng)隨著深度增加而擴(kuò)散，超聲成像面并非理想的幾何平面。有一定厚度的成像面與線形目標(biāo)相交，反射目標(biāo)在理想成像平面上的投影并不是一個(gè)點(diǎn)，從而形成線狀甚至弧形的亮斑，如圖2所示。這樣的光斑在手工或者自動(dòng)拾取標(biāo)志點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)存在很大的誤差和不確定性，引起N形目標(biāo)三維坐標(biāo)重建計(jì)算中的誤差增大，導(dǎo)致這個(gè)過(guò)程中原本存在的共面性丟失，進(jìn)而引起最小二乘準(zhǔn)則下的解算精度下降。

針對(duì)傳統(tǒng)基于N線模型超聲探頭標(biāo)定算法中重建獲得目標(biāo)點(diǎn)三維坐標(biāo)共面性丟失的問(wèn)題，本研究設(shè)計(jì)了一種解算方法，在不改變目前標(biāo)定流程的基礎(chǔ)上，通過(guò)擬合平面的方式重塑共面性，提高探頭標(biāo)定的精度。

圖2 N線模型的超聲圖像Fig.2 typical ultrasound image of N-phantom

1 標(biāo)定原理

1.1 N線模型標(biāo)志點(diǎn)重建

用于超聲探頭標(biāo)定的N線模型通常由多層尼龍線安裝在水槽中組成，每一層的尼龍線穿成若干如大寫英文字母N形狀的靶線，如圖3所示。圖中將模型正面板部分打開后，顯示了2層N形靶線，其中作為目標(biāo)的斜線用虛線表示。每一個(gè)N形靶線中的斜線(圖中虛線所示)與超聲成像平面相交的交點(diǎn)成為求解配準(zhǔn)變換關(guān)系的標(biāo)志點(diǎn)，交點(diǎn)在二維超聲圖像上的位置容易通過(guò)手動(dòng)拾取的方式獲得。通過(guò)靶線設(shè)計(jì)形狀的約束，則可以重建出這些交點(diǎn)在三維模型中的位置。

圖3 N線模型設(shè)計(jì)Fig.3 diagram of N-phantom design

對(duì)于模型中的任意一個(gè)N形靶線，圖4示意了它與有一定厚度的超聲成像平面相交的情況。在理想的情況下，超聲成像面為空間中的幾何平面，并與靶線相交于E、F、G等3點(diǎn)。在超聲圖像中，可以直接拾取N形靶線中的目標(biāo)點(diǎn)E、F、G。同時(shí)，通過(guò)圖像中線段EF與FG長(zhǎng)度的比值以及AC、AB的設(shè)計(jì)尺寸，由ΔBEF和ΔCGF的相似關(guān)系，即可計(jì)算出F點(diǎn)在BC約束線段上的位置，進(jìn)而得到F點(diǎn)在模型坐標(biāo)系下xm和ym軸的坐標(biāo)值;根據(jù)該N形靶線所在的層數(shù)，知道它的深度坐標(biāo)zm。計(jì)算N形靶線中的目標(biāo)點(diǎn)F在模型坐標(biāo)系下三維位置的過(guò)程，將其稱為目標(biāo)點(diǎn)的“重建”。重建后，將會(huì)得到一系列目標(biāo)點(diǎn)對(duì)。在理想情況下，這些點(diǎn)將在三維坐標(biāo)系中構(gòu)成一個(gè)平面。

圖4 N形靶線目標(biāo)點(diǎn)重建原理Fig.4 target point reconstruction in N shaped fiducials

然而，在實(shí)際情況下，超聲平面與靶線相交，形成3個(gè)在橫向(xi軸方向)上有一定長(zhǎng)度的擴(kuò)散亮斑，無(wú)法很準(zhǔn)確地選取交點(diǎn)。這不但降低在超聲圖像中拾取注冊(cè)用標(biāo)志點(diǎn)的準(zhǔn)確性，而且由于F點(diǎn)在模型坐標(biāo)系中的重建過(guò)程對(duì)EF和FG長(zhǎng)度的比值敏感，還會(huì)導(dǎo)致重建得到的F點(diǎn)在模型坐標(biāo)系下坐標(biāo)不精確，丟失目標(biāo)點(diǎn)集在三維模型坐標(biāo)系中的共面性。

1.2 數(shù)據(jù)采集與預(yù)處理

在標(biāo)定過(guò)程中，用于采集標(biāo)定數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)一般涉及到圖5所示的坐標(biāo)系和空間變換關(guān)系，其中待標(biāo)定的變換是 Ts←i。為了計(jì)算這個(gè)變換，需要獲得圖像坐標(biāo)系和傳感器坐標(biāo)系下的一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)。為此，首先要計(jì)算從模型坐標(biāo)系xmym－zm到固定在定位系統(tǒng)上的“世界坐標(biāo)系”xwyw－zw的變換關(guān)系 Tw←m。通過(guò)可被空間定位系統(tǒng)跟蹤的探針，點(diǎn)選出模型外壁和上緣的定位小孔，并將小孔在世界坐標(biāo)系中的位置和在模型坐標(biāo)系中的位置配準(zhǔn)，就可以計(jì)算出這個(gè)變換關(guān)系Tw←m。

接著，用超聲探頭獲得模型一個(gè)切面的圖像。得到圖像后，首先是對(duì)任意一個(gè)N形靶線拾取其在圖像上的點(diǎn)，如圖4所示的 E、F、G等 3點(diǎn)。一方面，將其中目標(biāo)點(diǎn)F的坐標(biāo)擴(kuò)展為三維，得到超聲圖像上的配準(zhǔn)點(diǎn)集;另一方面，通過(guò)前述方法，重建這些由標(biāo)志點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的模型坐標(biāo)系三維坐標(biāo)。通過(guò)上一步計(jì)算得到的變換關(guān)系，以及定位系統(tǒng)獲得的從世界坐標(biāo)系到傳感器坐標(biāo)系的變換，可以將重建得到的點(diǎn)變換到傳感器坐標(biāo)系下，即

通過(guò)上述過(guò)程完成數(shù)據(jù)采集和預(yù)處理的坐標(biāo)變換之后，就可以解算超聲探頭與定位系統(tǒng)傳感器之間的標(biāo)定變換。

2 解算方法

2.1 解算方法概述

至此，可獲得所有N形目標(biāo)中靶線與成像平面交點(diǎn)的傳感器坐標(biāo)系的坐標(biāo)和超聲圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo)，兩組坐標(biāo)之間的基本變換關(guān)系為

式中，R為旋轉(zhuǎn)矩陣，t為平移向量。

這就將標(biāo)定問(wèn)題抽象為一個(gè)已知配對(duì)關(guān)系的基于標(biāo)志點(diǎn)的剛性配準(zhǔn)問(wèn)題，而傳統(tǒng)的標(biāo)定解算方法是使用最小二乘配準(zhǔn)準(zhǔn)則進(jìn)行解算。在這種理論上發(fā)展出了許多配準(zhǔn)算法，都可以應(yīng)用于標(biāo)定問(wèn)題的求解，如應(yīng)用較廣的解析求解方法［9］。最小二乘算法依賴于高斯隨機(jī)噪聲假設(shè)，而前述重建過(guò)程失去共面性的問(wèn)題屬于系統(tǒng)誤差，各點(diǎn)之間的誤差存在相關(guān)性。因此，最小二乘算法獲得的結(jié)果雖然最優(yōu)化了參與計(jì)算的注冊(cè)點(diǎn)誤差(fiducial registration error，F(xiàn)RE)，卻可能有較大的目標(biāo)注冊(cè)誤差(target registration error，TRE)。

針對(duì)傳統(tǒng)解算方法的這個(gè)問(wèn)題，筆者提出如下改進(jìn)方法:首先通過(guò)擬合重建這些目標(biāo)點(diǎn)的共面性，然后在平面內(nèi)應(yīng)用最小二乘配準(zhǔn)方法獲得標(biāo)定結(jié)果。

2.2 重建平面

為了重建傳感器坐標(biāo)系下配準(zhǔn)點(diǎn)的共面約束，首先使用這些點(diǎn)擬合一個(gè)平面。三維空間中的平面可表示為

式中，平面的法向量為 n= ［a，b，c］T，于是空間中任一點(diǎn) x= ［x，y，z］T到該平面的距離為

期望所有傳感器坐標(biāo)系下的觀測(cè)點(diǎn)到該平面的距離之和最短，即求解約束優(yōu)化問(wèn)題，有

由于該問(wèn)題是一個(gè)帶二次約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題，優(yōu)化方法使用逐步二次規(guī)劃法(sequential quadratic programming，SQP)，而初值可以用觀測(cè)點(diǎn)集中的任意3個(gè)點(diǎn)估計(jì)。

在獲得擬合的平面之后，將傳感器坐標(biāo)系下的原始觀測(cè)點(diǎn)(即通過(guò)重建得到的標(biāo)志點(diǎn)三維坐標(biāo){})投影到擬合平面上，作為新的注冊(cè)點(diǎn)集。投影點(diǎn)的計(jì)算方法為

2.3 共面約束下的配準(zhǔn)

步驟1:去中心。求解所有N組點(diǎn)對(duì)在兩個(gè)坐標(biāo)系下的質(zhì)心，并將兩組點(diǎn)平移到質(zhì)心重合。

步驟2:求解兩個(gè)平面之間的旋轉(zhuǎn)。變換前后的兩個(gè)平面法向量容易求出，分別記為nw、nm，所求轉(zhuǎn)軸即為兩個(gè)法向量的叉積。而轉(zhuǎn)動(dòng)的角度滿足cosφ =nw·nm，sinφ = ‖nw× nm‖。記這一步旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為Ra。

步驟3:求解平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)。定義

轉(zhuǎn)角滿足如下關(guān)系

這個(gè)變換的轉(zhuǎn)軸為nm，這一步得到的旋轉(zhuǎn)矩陣記為 Rb。

步驟4:得到結(jié)果。最優(yōu)旋轉(zhuǎn)矩陣Ropt和最優(yōu)平移分量topt分別為

通過(guò)上述步驟，求出旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量一同構(gòu)成的標(biāo)定變換，其齊次變換矩陣為

3 精度驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

3.1 實(shí)驗(yàn)方法

為了驗(yàn)證新的解算方法的精度，使用自行設(shè)計(jì)的N線模型進(jìn)行了實(shí)際標(biāo)定實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。該模型使用有機(jī)玻璃制造，長(zhǎng)寬高尺寸為28 cm ×11 cm ×24 cm;模型外壁和上緣分布了多個(gè)位置精確的小孔，作為該模型自身空間位置的定位孔。模型內(nèi)部分布了7層深度為4～16 cm的靶線，由尼龍線穿成，每層有4個(gè)N字母形狀的目標(biāo)，共28個(gè)。

在本研究中，采集系統(tǒng)包括:超聲成像設(shè)備(DC-6，邁瑞醫(yī)療)配臨床常用的3.5 MHz腹部探頭、交流脈沖電磁三維定位系統(tǒng)(Aurora，Northern Digital Inc)、PC工作站(xw8400，HP)。超聲影像以模擬信號(hào)方式輸出，在PC端由視頻采集卡對(duì)超聲影像進(jìn)行數(shù)字化;通過(guò) RS-232串口，將同步測(cè)量的探頭空間定位系統(tǒng)數(shù)據(jù)發(fā)送到PC端。標(biāo)定在室溫下進(jìn)行，標(biāo)定時(shí)向模型中注入去除氣泡的純凈水。由于標(biāo)定的結(jié)果需要應(yīng)用于人體組織的成像和測(cè)量，而聲速在人體組織和純水中并不相同，因此在圖像采集過(guò)程中，可使用超聲設(shè)備自帶的液性聲速補(bǔ)償功能，以減少掃描線方向距離測(cè)量誤差。

在實(shí)驗(yàn)中，對(duì)于同一個(gè)待求解的超聲影像與定位傳感器之間的變換關(guān)系，在模型上取7個(gè)不同位置，采集得到7幅可用于標(biāo)定的圖像。在實(shí)驗(yàn)中，選取的超聲成像深度為17.5 cm。由于成像位置不同，在7幅超聲圖像上可識(shí)別并用于標(biāo)定的N形靶線數(shù)目略有不同，分別為 13、11、10、9、14、5、6，共 68個(gè)標(biāo)志點(diǎn)。

3.2 精度驗(yàn)證結(jié)果

對(duì)解算方法精度的驗(yàn)證分為兩個(gè)方面:共面性和配準(zhǔn)準(zhǔn)確度。前者是為了論證在解算過(guò)程中重建共面性的必要性，后者是為了驗(yàn)證所提出方法在實(shí)際標(biāo)定中的精度。

在共面性驗(yàn)證中，將從超聲圖像中重建得到模型坐標(biāo)系點(diǎn)集，分別用前述的擬合方法估計(jì)一個(gè)虛擬的成像平面，并計(jì)算每幅圖像中的各個(gè)標(biāo)志點(diǎn)與虛擬成像平面之間的距離。得到結(jié)果如表1所示?？梢钥吹?，部分圖像上(1、2、4號(hào))的共面性偏離最遠(yuǎn)處可以超過(guò)1 cm。因此，若不進(jìn)行共面性約束面直接利用傳統(tǒng)最小二乘解算方法來(lái)計(jì)算標(biāo)定矩陣，顯然會(huì)導(dǎo)致較大誤差。

為了驗(yàn)證配準(zhǔn)準(zhǔn)確度，將共面性驗(yàn)證中得到的每幅圖像上距離虛擬成像平面最近的點(diǎn)保留作為目標(biāo)點(diǎn)，分別用傳統(tǒng)解算方法和所提出的方法對(duì)標(biāo)定變換進(jìn)行解算，計(jì)算并比較兩個(gè)標(biāo)定變換下目標(biāo)點(diǎn)的配準(zhǔn)誤差(TRE)。TRE可定義為

驗(yàn)證結(jié)果如表2所示，表明新的解算方法的TRE均比傳統(tǒng)解算方法的TRE要小。傳統(tǒng)方法的TRE均值為5.88 mm，而所提出方法的TRE均值為4.11 mm。如果將誤差明顯較大的2號(hào)標(biāo)定圖像排除(可能存在明顯的標(biāo)志點(diǎn)選取異常)，兩者的精度均值分別變?yōu)?.50和1.19 mm，依然有較為顯著的精度提高。

表1 標(biāo)志點(diǎn)三維坐標(biāo)到擬合平面的距離統(tǒng)計(jì)Tab.1 The statistical result of the distance from 3D fiducial markers to the fitted plane

表2 目標(biāo)注冊(cè)誤差(TRE)比較Tab.2 Comparison of target registration error(TRE)

3.3 共面性與波束

由于重建后標(biāo)志點(diǎn)的共面性與波束隨成像深度的變化有關(guān)，因此研究共面性指標(biāo)在不同深度上的變化，有驗(yàn)證本研究假設(shè)的意義。

將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中標(biāo)志點(diǎn)到其對(duì)應(yīng)的擬合平面的距離按其在平面兩側(cè)給定符號(hào)，構(gòu)成有向距離。接著，將標(biāo)志點(diǎn)按照其所在的成像深度(超聲圖像上y方向的坐標(biāo)值)排序。由于標(biāo)志點(diǎn)集中在深度0～160 mm的深度區(qū)間內(nèi)，因此按照0～30、30～60、60～90、90～120、120以上共5個(gè)區(qū)間，統(tǒng)計(jì)有向距離的標(biāo)準(zhǔn)差。落在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的標(biāo)志點(diǎn)數(shù)目分別為5、8、16、18、20，這能夠較可靠地統(tǒng)計(jì)各個(gè)深度的標(biāo)志點(diǎn)重建之后的散布情況。標(biāo)志點(diǎn)有向距離隨深度變化的散點(diǎn)情況和標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計(jì)情況如圖6所示。

4 討論

將本研究得到的標(biāo)定準(zhǔn)確度與Pagoulatos等的結(jié)果［5］進(jìn)行比較，在本研究的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)上，傳統(tǒng)方法的標(biāo)定誤差5.88 mm比報(bào)道的3.14 mm的誤差要大一些。由于兩者的標(biāo)定方法和驗(yàn)證方法在理論上基本一致，這可能是由于所使用的定位系統(tǒng)、成像設(shè)備性能上的差異而造成的。使用筆者提出的新解算方法后，標(biāo)定誤差降低到4.11 mm。在設(shè)備性能落后的情況下，達(dá)到與其相近的準(zhǔn)確度。羅楊宇等未報(bào)道其使用的超聲設(shè)備和定位系統(tǒng)的具體型號(hào)，但所得到的標(biāo)定誤差4.80 mm與本方法得到的標(biāo)定誤差接近［6］。

圖6 共面性指標(biāo)隨成像深度的變化。(a)標(biāo)志點(diǎn)有向距離分布;(b)不同深度有向距離標(biāo)準(zhǔn)差Fig.6 Variance of indicator of planarity as depth changes.(a)distribution of signed distance of fiducials;(b)Standard deviation of signed distance

將表2中的標(biāo)定誤差與表1中的共面性指標(biāo)相對(duì)照。對(duì)于共面性較差的圖像，新的解算方法在配準(zhǔn)誤差上的改進(jìn)更為明顯。比如，對(duì)于偏移虛擬成像平面超過(guò)1 cm的3組數(shù)據(jù)(圖像編號(hào)為1、2、4)，本方法相對(duì)于傳統(tǒng)解算方法的改進(jìn)達(dá)到10%。這說(shuō)明，在能觀察到較為明顯的共面性丟失時(shí)，新的方法確實(shí)能夠起到較好的提高標(biāo)定精度的作用;而當(dāng)共面性丟失不明顯時(shí)，新的解算方法能穩(wěn)定地得到與原方法可比的標(biāo)定結(jié)果。

N線模型標(biāo)定過(guò)程中，標(biāo)志點(diǎn)共面性的丟失，本質(zhì)上是由于超聲波束在傳播過(guò)程中形狀逐漸發(fā)散而引起的。關(guān)于波束寬度問(wèn)題，Prager等在1998年就有提出［3］，在醫(yī)學(xué)超聲成像的專著［12］中也進(jìn)行了定性描述。Chen等定量測(cè)量了超聲探頭用于成像的波束寬度隨著成像深度的變化，使用了頻率較高的探頭(13～16 MHz)，波束在較淺的焦點(diǎn)處變窄，然后逐漸變寬［13］。圖6顯示了在本研究實(shí)驗(yàn)中得到的N線模型標(biāo)志點(diǎn)在擬合平面兩側(cè)的分布情況，而有向距離的標(biāo)準(zhǔn)差表征了點(diǎn)在平面兩側(cè)的散布?？梢钥吹?，共面性在30～60 mm之間是最好的，過(guò)深或過(guò)淺時(shí)都有所下降，在超過(guò)120 mm之后又稍有提高。這個(gè)結(jié)果與在超聲設(shè)備上設(shè)置了的5和15 cm兩個(gè)電子聚焦焦點(diǎn)有關(guān)，同時(shí)也與文獻(xiàn)［13］中得到的波束先聚合再擴(kuò)散的實(shí)測(cè)趨勢(shì)吻合，證明了共面性丟失與波束寬度和形狀變化有關(guān)。

5 結(jié)論

對(duì)于超聲引導(dǎo)介入手術(shù)等應(yīng)用，利用三維空間定位系統(tǒng)跟蹤超聲成像平面位置與姿態(tài)是重要的環(huán)節(jié)，標(biāo)定超聲探頭與定位系統(tǒng)傳感器之間的變換關(guān)系則是實(shí)現(xiàn)跟蹤的基礎(chǔ)。針對(duì)目前廣泛使用的N線模型方法，在討論傳統(tǒng)解算方法中重建的三維坐標(biāo)失去共面性的問(wèn)題及其對(duì)精度影響的基礎(chǔ)上，本研究提出一種通過(guò)重塑共面性、提高解算精度的方法。實(shí)際標(biāo)定實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所討論的共面性失去問(wèn)題，與傳統(tǒng)解算方法相比，新的解算方法在標(biāo)定精度上可以得到提高。

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