組合數(shù)學(xué)課程的教學(xué)實(shí)踐

劉瑞芳，賈會(huì)才

(1.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系，河南 鄭州 450001； 2.河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系，河南 鄭州 451191)

組合數(shù)學(xué)又稱離散數(shù)學(xué)，通常也把組合數(shù)學(xué)和圖論加在一起稱為離散數(shù)學(xué).組合數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后迅速發(fā)展起來的一門數(shù)學(xué)分支.計(jì)算機(jī)科學(xué)是算法的科學(xué)，而計(jì)算機(jī)所處理的對(duì)象是離散的數(shù)據(jù)，所以離散對(duì)象的處理就成了計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心，研究離散對(duì)象的科學(xué)就是組合數(shù)學(xué).組合數(shù)學(xué)的發(fā)展改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中分析和代數(shù)占統(tǒng)治地位的局面.

組合數(shù)學(xué)作為一門重要的數(shù)學(xué)課程，在教學(xué)中如何引入與展開才能使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)和掌握就成了一個(gè)重要的課題.組合數(shù)學(xué)有別于其他一些數(shù)學(xué)課程的是它與實(shí)際問題聯(lián)系密切，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)造能力的培養(yǎng).組合數(shù)學(xué)解決問題的方法沒有連續(xù)性和固定套路，往往一個(gè)問題一種解法，這些特征促使教師在教學(xué)中要避免填鴨式的講授，要在講解知識(shí)的過程中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造性思維能力.下面將結(jié)合教學(xué)中的實(shí)踐來論述組合數(shù)學(xué)教學(xué)的引入與展開方法.文中所涉及的一些概念和術(shù)語如無詳細(xì)說明，可參見文獻(xiàn)[1-3].

1 課程設(shè)計(jì)

學(xué)生經(jīng)過幾年數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課和專業(yè)課的學(xué)習(xí)之后,很容易對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生枯燥、難懂、脫離實(shí)際的印象，組合數(shù)學(xué)課正好為改變學(xué)生的這些想法提供了一個(gè)契機(jī)，要通過第一堂課的引入使學(xué)生對(duì)課程產(chǎn)生興趣.

例1 甲、乙兩個(gè)人輪流從k堆錢幣中取錢，每次選定一堆，從中至少取出一個(gè)錢幣(可全取)，取到最后一個(gè)錢幣者勝(組合數(shù)學(xué)中著名的Nim對(duì)策).

例2 獵人帶著一擔(dān)白菜、一只羊和一條狼要過河，但是只有一條小船，只有獵人會(huì)劃船并且他一次至多只能帶白菜、羊和狼三者之一過河.如果讓狼和羊在一起而獵人不在旁邊的話，狼就會(huì)把羊吃掉；如果讓羊和白菜在一起而獵人不在旁邊的話,羊就會(huì)把白菜吃掉.問如何讓他們都平安過河?(組合數(shù)學(xué)中著名的船過河問題)

組合數(shù)學(xué)中類似的有趣問題非常多，如河洛圖(幻方)、穩(wěn)定婚姻問題、鋪地磚問題等.這樣的課程引入方式通過一個(gè)個(gè)生動(dòng)有趣的問題組成了別致而生動(dòng)的第一堂組合數(shù)學(xué)課，完全顯示了組合數(shù)學(xué)的神奇和奧妙.

2 教學(xué)中的引入與展開

2.1 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

課程有了一個(gè)好的引入方式，能給學(xué)生帶來輕松的氣氛，進(jìn)一步展開課程以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣就成了下一個(gè)問題.在實(shí)際的教學(xué)中，可以從貼近生活的一個(gè)個(gè)有趣的例子入手來講解組合數(shù)學(xué)中重要的原理和概念，比如組合數(shù)學(xué)中重要的鴿籠原理.要想很好地運(yùn)用鴿籠原理激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,可以從日常生活中有趣的小問題入手.

例3 某棋手有11周的備戰(zhàn)訓(xùn)練，每天至少下一盤棋，但每周不超過12盤.試證：必有連續(xù)的若干天恰好下21盤棋.

例4 100個(gè)人參加一個(gè)聚會(huì)，其中每個(gè)人都有偶數(shù)(可能是零)個(gè)朋友.證明：在這100個(gè)人中必定有3個(gè)人有相同數(shù)目的朋友.

給半小時(shí)的時(shí)間讓學(xué)生自己試著證明上述兩個(gè)貼近生活的例子，學(xué)生們?cè)讵?dú)立思考與激烈爭(zhēng)論之后無形中已經(jīng)分別用了鴿籠原理的簡(jiǎn)單形式(n+1個(gè)球放入n個(gè)盒子中，必有一個(gè)盒子含有兩個(gè)或者更多的球)和平均形式(將nr+1個(gè)球放入n個(gè)盒子中，必有一個(gè)盒子至少含有r+1個(gè)球)解決了例3和例4.最后，教師可再提出鴿籠原理，并指出鴿籠原理運(yùn)用的關(guān)鍵是如何合理地選擇鴿子和籠子.這樣的講授方式學(xué)生很容易理解，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)鴿籠原理的積極性，讓學(xué)生感覺到學(xué)習(xí)組合數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單有趣，學(xué)習(xí)興趣得到了極大提高.

2.2 調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性

教師可以采用啟發(fā)式的教學(xué)方式使教學(xué)進(jìn)一步深入，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)生的自學(xué)能力和獨(dú)立思考問題的能力.

例如，在講授第二類Stirling數(shù)和第一類Stirling數(shù)時(shí)，因?yàn)槎呤菍?duì)偶的概念，先詳細(xì)給出第二類Stirling數(shù)的定義，接著介紹它的遞推公式及其詳細(xì)證明，最后給出第二類Stirling數(shù)的組合意義.利用反演和對(duì)偶的思想，關(guān)于第一類Stirling數(shù)的定義、遞推公式和組合意義，可以留給學(xué)生自己去證明.教師可采取上課提問的方式，這樣既可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性，也可以加深學(xué)生對(duì)兩類Stirling數(shù)的比較與理解.

除此之外，對(duì)于重要的原理和方法，可以給出很多例子讓學(xué)生練習(xí).教師可以首先給出一個(gè)典型的例子加以詳細(xì)介紹，然后找學(xué)生當(dāng)堂練習(xí)一些類似的題目，這樣既活躍了課堂氣氛，又調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，并且還能查漏補(bǔ)缺，從而達(dá)到最好的教學(xué)效果.

2.3 提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力

要提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)積極性，就必須讓學(xué)生自己想出一些問題并試著解決它.給學(xué)生一個(gè)好問題，不如教會(huì)學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)問題.在講解組合數(shù)學(xué)中的原理、模型及其思想方法時(shí)，應(yīng)該經(jīng)常提醒學(xué)生發(fā)散自己的思維，去建立一個(gè)新的概念或模型并研究其性質(zhì).當(dāng)然,這種發(fā)散不是漫無邊際的發(fā)散，通常是基于原有概念(模型)的推廣或者遷移.

以排列組合為例，n元集S的r-排列是指具有n個(gè)元素的集合S中r個(gè)元素的有序安排方式數(shù)，其中n個(gè)元素是完全不重復(fù)的.我們可以把集合的排列進(jìn)行推廣，引導(dǎo)學(xué)生考慮多重集合的r排列.首先，給出多重集S的定義，即集合S中每一個(gè)元素都有一個(gè)重?cái)?shù)，例如S={2·a，3·b，5·c}表示集合S由2個(gè)a，3個(gè)b和5個(gè)c組成.然后，讓學(xué)生思考重?cái)?shù)無限的多重集的排列和重?cái)?shù)有限的多重集的排列.在講授組合數(shù)學(xué)的過程中，當(dāng)講述完一個(gè)概念或者模型時(shí)，鼓勵(lì)大家提出改進(jìn)模型的辦法，并提醒大家注意兩個(gè)原則——合理性和可行性.教師在講解的過程中一定要引導(dǎo)學(xué)生采用推廣或者遷移的方式獨(dú)立地提出新的問題，能夠提出一個(gè)好的問題也是獨(dú)立科學(xué)研究能力的象征，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有裨益.

2.4 培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力

盡管如前所述，組合數(shù)學(xué)解題的具體方法是靈活的、離散的與不可模仿的，但我們還是可以在教學(xué)過程中有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生的宏觀證明能力.通常來說，解決組合數(shù)學(xué)問題有貢獻(xiàn)法、數(shù)學(xué)歸納法、容斥原理、鴿籠原理、母函數(shù)法和二項(xiàng)式(多項(xiàng)式)定理等幾種基本方法，有時(shí)需要結(jié)合使用，下面舉例介紹.

貢獻(xiàn)法適用于證明計(jì)數(shù)恒等式.首先選定一個(gè)特殊的元素x，然后分別分析等式的左端和右端，看看兩端對(duì)這個(gè)事先選定好的元素的統(tǒng)計(jì)次數(shù)是否一樣多，如果一樣多則原計(jì)數(shù)恒等式得證.貢獻(xiàn)法在組合數(shù)學(xué)的證明中應(yīng)用廣泛，起到了不可替代的作用.巧妙運(yùn)用貢獻(xiàn)法，可給出容斥原理的完美證明.

例5S中不具有任何一個(gè)性質(zhì)的元素?cái)?shù)目為：

證明：設(shè)任意元素xS,它恰有m個(gè)性質(zhì)中的n個(gè)性質(zhì)(0≤n≤m).若n=0,則上式兩端對(duì)它的計(jì)算次數(shù)都是1；若n≥1,則x在左端計(jì)數(shù)0次，而在右端的計(jì)數(shù)為上述等式成立.

上面例子給出了容斥原理的簡(jiǎn)單證明，可以發(fā)現(xiàn)該原理雖然重要，但是它的內(nèi)容和證明并不復(fù)雜，也不難理解.最重要的是，如何利用這個(gè)原理來解決更多的數(shù)學(xué)問題以及怎樣才能恰如其分地運(yùn)用它，這就需要一種解決數(shù)學(xué)問題的綜合品質(zhì).

3 結(jié)語

以上組合數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的引入和展開方式適用于各個(gè)層次的數(shù)學(xué)課程，教師要關(guān)注和重視這些課程教學(xué)中的技巧，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的積極性，傾聽他們的想法，使學(xué)生在交流互動(dòng)中增強(qiáng)數(shù)學(xué)技能.

參考文獻(xiàn)：

[1] Brualdi R A. Introductory Combinatorics[M].Beijing:China Machine Press,2009.

[2] Cameron P J.Combinatorics Topics, Techniques, Algorithms[M].Beijing:Posts Telecom Press,2009.

[3] 盧開澄，盧華明.組合數(shù)學(xué)[M].4版.北京：清華大學(xué)出版社，2006.