空間圓的參數(shù)方程及其應用羅治國

羅治國

(湖南師范大學數(shù)學與計算機科學學院，中國 長沙 410081)

當球面與平面相交時，其交線是圓. 反之，空間的任何圓都可以表示成為一個球面與一個平面的交線. 所以，空間圓的直角坐標方程為[1-3]

或

本文首先利用直角坐標變換給出了空間圓的參數(shù)方程，然后給出了空間任意方向圓柱面和圓錐面的參數(shù)方程，并用例子說明結(jié)論的正確性.

1 空間圓的參數(shù)方程

命題1圓心在原點，半徑為r，位于平面

cosαx+cosβy+cosγz=0, cos2α+cos2β+cos2γ=1,cosγ≠1

上的圓的參數(shù)方程可以寫為

(1)

圓心在原點、半徑為r、位于平面z=0上的圓的參數(shù)方程可以寫為：

x=rcosθ,y=rsinθ,z=0,0≤θ≤2π.

證只需證明命題的前半部分，以平面cosαx+cosβy+cosγz=0作為新坐標系Ox′y′z′的Ox′y′平面作旋轉(zhuǎn)變換

由于圓心在原點、半徑為r、位于平面Ox′y′上的圓的參數(shù)方程可以寫為

x′=rcosθ,y′=rsinθ,z′=0,0≤θ≤2π.

所以，所求圓的參數(shù)方程為(1). 證畢.

注簡單計算即知(1)滿足方程

所以，它表示給定條件的圓.

推論1圓心為(x0,y0,z0)，半徑為r，位于平面

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,A2+B2≠0

上的圓的參數(shù)方程可以寫為：

圓心為(x0,y0,z0)，半徑為r，位于平面z=z0上的圓的參數(shù)方程可以寫為[2]：

x=x0+rcosθ,y=y0+rsinθ,z=z0,0≤θ≤2π.

2 應用

首先，利用上面給出的空間圓的參數(shù)方程，容易得到空間任意方向圓柱面的參數(shù)方程.

利用上面的方法容易得到

解由題設知圓心在平面y=0上. 可設圓的參數(shù)方程為

所以

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