線性Schr?dinger方程的兩個(gè)時(shí)間分裂差分格式

王雪梅

(棗莊學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東 棗莊 277160)

0 引言

許多物理問題需要求解如下形式的Schr?dinger方程

(0.1)

u(a,t)=u(b,t),t∈R

(0.2)

u|t=0=u0(x),x∈[a,b]

(0.3)

其中v(x)為靜電電壓,是一個(gè)實(shí)函數(shù),u(x,t)是復(fù)函數(shù),i2=-1.

方程(0.1)～(0.3)在物理學(xué)(如固體物理學(xué))方面有著廣泛的應(yīng)用,近年來(lái)也有很多關(guān)于該方程的研究論文,如Bao等人對(duì)此方程的半經(jīng)典形式構(gòu)造了兩個(gè)譜格式[1],張魯明等人對(duì)帶波動(dòng)算子的Schr?dinger方程、自共軛Schr?dinger方程和帶五次項(xiàng)的Schr?dinger方程構(gòu)造了差分格式[2-4],都得到了較好的數(shù)值結(jié)果.據(jù)此本文中構(gòu)造了兩個(gè)時(shí)間分裂的隱式差分格式.

1 格式的構(gòu)造

類似文獻(xiàn)[1]中方法,把方程(0.1)式分為如下兩個(gè)方程

(1.1～1.2)

此格式為絕對(duì)穩(wěn)定的二階隱格式,精度為O(τ2+h2).

若把tn到tn+1分為3步計(jì)算,得到格式2.

該格式也是絕對(duì)穩(wěn)定的隱式格式,精度為O(τ2+h2).

2 格式的精度

下面用方程的平面波解來(lái)驗(yàn)證格式的精度.

當(dāng)v(x)=d(d為常數(shù))時(shí),方程有如下形式的平面波解

(2.1)

對(duì)于格式1

對(duì)于格式2,與格式1類似有

通過(guò)以上分析,我們得到了格式1、2的精度.

3 兩個(gè)格式的穩(wěn)定性和收斂性

定理的證明令r=τ/h2為網(wǎng)格比,我們用Fourier分析法求格式1、格式2的穩(wěn)定性條件,在此仍假設(shè)v(x)=d,d為常數(shù).

(3.1)

(3.2)

因?yàn)閨G(τ,θ)|=1,由穩(wěn)定性條件得格式1是絕對(duì)穩(wěn)定的.

對(duì)于格式2,與格式1類似分析可得 |G(τ,θ)|=1,所以格式2也是無(wú)條件穩(wěn)定的.

由于格式1和格式2是相容的,并且絕對(duì)穩(wěn)定,所以它們也是收斂的,并且收斂階為O(τ2+h2).

在已有結(jié)論中,文獻(xiàn)[1]中用的是分裂譜方法,格式絕對(duì)穩(wěn)定,但計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng).而文獻(xiàn)[2-4]中用離散泛函分析的方法證明了格式的穩(wěn)定性和收斂性,證明較繁瑣.而本文中證明過(guò)程中利用線性化的分析方法,較簡(jiǎn)單的得到了格式1和格式2的收斂性條件.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

表1 格式1與格式2計(jì)算結(jié)果

為了與文獻(xiàn)[1]中的格式進(jìn)行比較,我們記文獻(xiàn)[1]的兩個(gè)格式為格式3,格式4.比較在滿足精度為小于0.001的情況下,格式1,2與格式3,4的計(jì)算時(shí)間比較.在表1中我們已給出了在不同的步長(zhǎng)下格式的精度和計(jì)算時(shí)間,格式3,4的計(jì)算結(jié)果如下表2.

表2 格式3與格式4計(jì)算結(jié)果

由上面的比較可以看出,格式1,2與格式3,4的精度相當(dāng),但是省了不少的計(jì)算時(shí)間.所以在計(jì)算量比較大的情況下,我們的格式是很有效的.

圖1 格式1計(jì)算的解的?！瑄(x,t)‖

圖2 格式2計(jì)算的解的?！瑄(x,t)‖

數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明本文中的算法是有效而可靠的.

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