非負(fù)矩陣譜半徑的新界值

李 華

(河南城建學(xué)院數(shù)理系,河南 平頂山 467044)

非負(fù)矩陣譜半徑的新界值

李 華

(河南城建學(xué)院數(shù)理系,河南 平頂山 467044)

非負(fù)矩陣譜半徑的估計(jì)是非負(fù)矩陣?yán)碚撝兄匾恼n題。對(duì)Frobenius界值方法加以研究,給出了一種易于計(jì)算且能得到較緊的界的方法，并通過(guò)數(shù)值算例與以往的結(jié)果進(jìn)行比較,有一定的精確性。

非負(fù)矩陣; 譜半徑; 界值

非負(fù)矩陣在計(jì)算數(shù)學(xué)、圖論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,對(duì)其譜半徑的估計(jì)有著很重要的意義。非負(fù)矩陣譜半徑的估計(jì)作為非負(fù)矩陣?yán)碚摰暮诵膯?wèn)題之一,最著名且應(yīng)用最多的估計(jì)由G.Frobenius[1]得到。

引理1[2]設(shè)A=(aij)為n階非負(fù)矩陣,具有非零行和r1,r2,…,rn,則：

引理2[2]設(shè)α是矩陣A的特征值,X=(x1,x2,…,xn)T,Y=(y1,y2,…,yn)T分別是矩陣AT和A對(duì)應(yīng)于α的特征向量,則:

引理3[2]若q1,q2,…,qn是正數(shù),則對(duì)任意實(shí)數(shù)p1,p2,…,pn,有：

下面，筆者將在文獻(xiàn)[3-5]的基礎(chǔ)上對(duì)非負(fù)矩陣譜半徑的估計(jì)作了進(jìn)一步的研究。

1 主要結(jié)果

定理1設(shè)A=(aij)為n階非負(fù)不可約矩陣,正對(duì)角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn),記B=X-1AX,則有:

當(dāng)X=diag(r1,r2,…,rn)時(shí),即為引理1的結(jié)果。

推論1設(shè)A=(aij)為n階非負(fù)不可約矩陣,正對(duì)角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn),記B=X-1AmX,Am=(aij)m,則有：

由引理3知:

注:對(duì)列和也有類(lèi)似結(jié)論。

證明證明方法類(lèi)似于文獻(xiàn)[6]中定理4的證明，

證明正對(duì)角矩陣D2可逆,對(duì)矩陣B2利用推論1可知:

注: 對(duì)列和也有類(lèi)似結(jié)論。

證明證明方法類(lèi)似于文獻(xiàn)[4]中定理4的證明。

2 數(shù)值例子

由文獻(xiàn)[1]知，4≤ρ(A)≤8。由文獻(xiàn)[2]知5≤ρ(A)≤6.25。在定理1中,m=1,p=2,λi=1，5.5995≤ρ(A)≤5.8257。m=1,p=3,5.68≤ρ(A)≤5.78。

實(shí)際上,ρ(A)=5.742,由此可知,定理1得到的結(jié)果在一定程度上要比以往的結(jié)果好。

[1]Frobenius.Uber matrizen aus nicht negativen elementen[M].Berlin: S B Press,1912:456-477.

[2]Minc H.Nonnegative Matrices[M].New York:Wiley,1988:11-19,24-36.

[3]殷劍宏.非負(fù)矩陣最大特征值的新界值[J].數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用,2002,23(4):282-295.

[4]岳嶸.非負(fù)矩陣譜半徑的新界值[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2009,39(17):206-209.

[5]孫文靜,楊晉,劉彥芝,等.非負(fù)矩陣譜半徑的新界[J].中北大學(xué)學(xué)報(bào),2011,32(1):29-31.

[6]李丹青.非負(fù)矩陣譜半徑的一個(gè)新界值[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2011,27(3):26-29.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.12.001

O151.21

A

1673-1409(2012)12-N001-03